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MATEMÁTICAS II PARA LA EMPRESA 23/05/
PRUEBA FINAL CONVOCATORIA ORDINARIA
APELLIDOS …………………………………………………. NOMBRE ……………
GRUPO ………
1.- Sea f: R^2 ----> R definida por
0 si(x,y) (0,0)
f(x, y) x^2 5xy4y^2 si (x,y) (0,0)
Se pide: a) Calcular el dominio de f. Representar gráficamente. S = { (x,y) ∈ R^2 / x ≠ 2y ó x ≠ -2y } ∪ { (0,0) }
b) Estudiar si f es continua y diferenciable en el punto (0,0). Los límites iterados son iguales a 0. Calculamos los límites direccionales haciendo y = mx
1 - 4m
5m x (1-4m ) lim 5mx
2 x → (^0) x^22 =^ x→ 0 = Como este límite depende del valor m, podemos concluir que no existe el límite de la función f en (0,0). Por tanto, f(x,y) no es continua en (0,0) y en consecuencia, f no es diferenciable en (0,0). c) Calcular df en el punto (0,0) y en el punto (1,1). Como f no es diferenciable en (0,0) no existe df(0,0).
Como la función está definida en (1,1), es continua y diferenciable en (1,1) para calcular df(1,1) calculamos las derivadas parciales y sustituimos en ese punto
(x 4y ) 5 x 4xy y
f (x 4y ) 5 - x y 4y x
f 2 2 2
3 2 2 2 2
2 3 −
Entonces df(1,1) =-^259 dx +^259 dy
2.- Analiza la especie a la que pertenece la integral impropia ∫ 0 ∞x 2 e-2xdxy encuentra
su valor en caso de que sea convergente. Es una integral impropia de 1ª especie porque está definida en el intervalo [0,∞) que es no acotado. Para resolverla que aplica el método de integración por partes y queda:
e - 2x^2 + +^ ∞
Calculamos el límite aparte
lim^2 4
lim 2x^1 2
2 -^1
x x^1
- 2 1 lim 2x L`H 2x L´Hôpital
2x
2 = + = =
x → ∞ e (^) ∞∞ x →∞ e x → ∞ e
L`H=^ - 4 1 lim x → ∞ e^1 2x = ∞^1 =^0 Por tanto,
4
) 0 - -^1
(x x^1 2
0
e - 2x^2 + +^ ∞ = e =
Es decir, es una integral impropia convergente cuya solución es 1/4.
3.- Dado el conjunto S = { (x,y) ∈ R^2 / y ≤ x + 1; 2x ≥ 2 – y ; x ≤ 3 } se pide calcular
el valor de la integral ∫∫ S3x-ydxdy.
Calculamos
Hf(x, y,z ) y clasificándola por el criterio de
Jacobi, ocurre que A 1 = - 8 < 0, A 2 = 32 > 0, A 3 = -56 < 0. Por tanto, es definida negativa y podemos concluir que f es cóncava. b) Razona: ¿es convexo el conjunto factible? Utilizando cualquiera de las siguientes propiedades del tema 7:
- Si f es convexa, entonces ∀ α ∈ R los conjuntos Λα = { x ∈ S / f(x) ≤ α }son convexos
- Si f es cóncava entonces ∀ α ∈ R los conjuntos Ωα = { x ∈ S / f(x) ≥ α } son convexos. Llamamos por ejemplo, f(x,y,z) = x + y , g(x,y,z) = y + z. Como ambas son lineales, son cóncavas y convexas a la vez. Como f es convexa (respectivamente, cóncava) tomando α = 16, por la propiedad 5 (respectivamente, propiedad 6) {(x,y)∈R^2 / f(x,y,z) = 16} es convexo, es decir, { (x,y) ∈ R^2 / x + y = 16 } es convexo. Análogamente, como g es convexa (respectivamente, cóncava), tomando α = -8, por la propiedad 5 (respectivamente, propiedad 6) {(x,y)∈R^2 / g(x,y,z) = -8} es convexo, es decir, { (x,y) ∈ R^2 / y + z = -8 } es convexo. Como ambos son convexos, la intersección es un conjunto convexo, luego el conjunto S inicial es convexo. También se podría haber demostrado ambas condiciones utilizando la definición (el segmento que une cualquier par de puntos de S está contenido en S) c) Resuelve por multiplicadores de Lagrange. La función Lagrangiana asociada a este problema es: L(x,y,z,λ,μ) = yz − z^2 − 4x^2 − 8x − 2y^2 − 4 + λ(16 – x – y) + μ(-8 –y – z) Calculamos los puntos estacionarios de esta función, derivando parcialmente e igualando a 0.
L - 8 - y-z 0
L 6 - x-y 0
Lz -2z y- 0
Lx -4y z- - 0
Lx -8x- 8 - 0
∂∂ =^ =
x^ = 9, y^ = 7, z^ = -15, λ= -80, μ*^ = 37
Como en el apartado a) hemos comprobado que f es cóncava, podemos concluir que x^ = 9, y^ = 7, z^ = -15, λ= -80, μ*^ = 37 es un máximo del problema. De hecho, utilizando la matriz hessiana calculada en ese apartado, como es definida negativa, el punto estacionario es definitivamente un máximo.
