ELEMENTOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA. CONVOCATORIA JULIO 2013.
1) Demostrar que si A1, A2,··· ∈ S es una sucesión de sucesos en un espacio de probabilidad,
entonces:
Pr(l´ım inf An)≤l´ım inf Pr(An)≤l´ım sup Pr(An)≤Pr(l´ım sup An).
(1 punto)
2) Enunciar y demostrar el teorema de la probabilidad total. (1 punto)
3) Definición de variable aleatoria absolutamente continua. (1 punto)
4) Deducir la función puntual de probabilidad del modelo Binomial negativo. (1 punto)
5) Calcular la probabilidad de que al sentarse 5 personas en una mesa redonda, estén ordenados
alfabéticamente (hacia la izquierda o la derecha). (1 punto)
6) Una urna contiene 3 bolas blancas y 1 negra y otra 3 negras y 1 blanca. Se elige al azar una
bola de la primera urna y se pasa a la segunda. Entonces se extrae una bola al azar de la segunda
urna. Calcular:
6.1) La probabilidad de que la bola extraída de la segunda urna sea blanca.
6.2) La probabilidad de que la bola extraída de la primera urna fuese blanca sabiendo que la
bola extraída de la segunda urna es blanca. ¿Son independientes los sucesos “la bola extraída de la
primera urna es blanca” y “la bola extraída de la segunda urna es blanca”? (razona la respuesta).
(1 punto)
7) Si la variable aleatoria Xtiene función de distribución
F(x) = 1 −1
x+ 1,para x≥0
(cero en otro caso), se pide:
7.1) Comprobar que es una función de distribución y calcular su función de densidad.
7.2) Calcular Pr(1 ≤X≤2) y la mediana. ¿Es única? (razona la respuesta).
7.3) Calcular la media.
7.4) Calcular la función de densidad de la variable Y=X2.
(2 puntos)
8) Una familia decide tener hijos hasta que tengan su primera niña y ya no tener más hijos. Sea Y
el número total de hijos (niños y niñas) en esa familia. Suponiendo que Pr(niño) = Pr(niña)=1/2,
calcular:
8.1) La probabilidad de que Yvalga 3.
8.2) La probabilidad de que Ysea mayor 3.
8.3) El número esperado de hijos E(Y).
8.4) Si 100 familias siguen esta misma política y al final hay 100 niñas (una por familia) ¿cuál
será el número esperado de niños?
(2 puntos)
