NOMBRE:
ELEMENTOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA. CONVOCATORIA JUNIO 2015.
1) Definición axiomática de espacio de probabilidad.
(1 punto)
2) Demostrar que la función de distribución es continua por la derecha.
(1 punto)
3) Enunciar la desigualdad de Jensen y demostrarla para variables aleatorias de tipo continuo.
Aplicarla a la función g(x) = x2.
(1 punto)
4) Calcular la media y la función generatriz de probabilidad del modelo Binomial.
(1 punto)
5) Se reciben tres cajas con 20 unidades cada una. En la primera hay 3 unidades defectuosas,
en la segunda 2 y en la tercera 1. El resto son unidades no defectuosas.
5.1) Se elige una caja al azar y se examina una unidad de esa caja. Calcular la probabilidad de
que la unidad sea defectuosa. ¿Son independientes los sucesos “la unidad es defectuosa” y “la unidad
proviene de la segunda caja”? (razona la respuesta).
5.2) La primera unidad resulta ser defectuosa por lo que se decide examinar una segunda unidad
(distinta) de la misma caja. Calcular la probabilidad de que la segunda unidad también sea defec-
tuosa (sabiendo que lo fue la primera).
(1 punto)
6) La variable aleatoria Xque mide la duración en años de unos componentes tiene función de
distribución
F(x) = ½x/2,para 0≤x < 1
c−1
2e−(x−1),para x≥1
(cero en otro caso), calcular:
6.1) El valor de cy la función de densidad.
6.2) La probabilidad Pr(X < 2) y la duración esperada E(X).
6.3) La moda. ¿Es única? (razona la respuesta).
6.4) La función de distribución de la variable Y=X2.
(2 puntos)
7) En un juego se ganan 3 euros si al tirar dos monedas salen dos caras. Si no, se pierde 1 euro.
Se pide:
7.1) Calcular la probabilidad de que tras jugar 5 partidas, hayamos ganado dinero.
7.2) Calcular las ganancias esperadas tras jugar 5 partidas.
7.3) Si decidimos jugar hasta que ganemos tres veces, calcular las ganancias esperadas.
7.4) Si jugamos 100 partidas, calcular la probabilidad de ganar más de 20 euros.
(2 puntos)
8) El tiempo de espera X(en minutos) necesario para recibir un determinado servicio tiene
una media µ= 2 y una varianza σ2= 2. Calcular la probabilidad de tarden más de 5 minutos en
atendernos si Xsigue una distribución Gamma.
(1 punto)
