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NOMBRE:
ELEMENTOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA. CONVOCATORIA ENERO 2016.
Definición axiomática de espacio de probabilidad. (1 punto)
Demostrar que la función de distribución F verifica l´ımx→∞ F (x) = 1. (1 punto)
Deducir la fórmula para calcular μ 3 = E((X − μ)^3 ) a partir de μ = E(X), α 2 = E(X^2 ) y α 3 = E(X^3 ). (1 punto)
Definición del modelo Geométrico. Deducir su función puntual de probabilidad, su media y su moda. (1 punto)
En la urna uno hay 2 bolas blancas y 2 negras. En la urna dos hay 2 bolas blancas y 1 negra. Se extrae una bola de la urna uno y se introduce en la dos. Se pide: 5.1) Si se extrae una bola de la urna dos, calcular la probabilidad de que sea blanca. 5.2) Calcular la probabilidad de que las bolas extraídas de las dos urnas sean blancas. 5.3) ¿Son independientes los sucesos “la bola extraída de la urna uno es blanca” y “la bola extraída de la urna dos es blanca”? (razona la respuesta). 5.4) Sabiendo que la bola extraída de la urna dos es blanca (y sin devolverla a la urna dos), calcular la probabilidad de que al extraer una nueva bola de la urna dos, ésta sea blanca. (2 puntos)
La variable aleatoria X que mide la duración de unas bombillas (en años) tiene función de densidad
f (x) =
c · x, para 0 ≤ x < 2 (4 − x)/ 4 , para 2 ≤ x ≤ 4
(cero en otro caso). Calcular: 6.1) El valor de c 6.2) La función de distribución. 6.3) La media. 6.4) El tercer cuartil. ¿Es único? (razona la respuesta). 6.5) La función de densidad de la variable Y = X^2. (2 puntos)
7.1) Calcular la probabilidad de que al votar 8 personas sobre una propuesta se produzca un empate sabiendo que votan todos ‘sí’ o ’no’ de forma independiente y que para cada uno de ellos Pr(sí) = Pr(no) = 1/ 2. 7.2) ¿Cuál es la probabilidad de que ganen los votos afirmativos? 7.3) Si X mide el número de votos afirmativos calcular el valor esperado para X. 7.4) ¿Cuál es el valor más probable de X? (razona la respuesta) (2 puntos)
SOLUCIONES
Ver apuntes, pág. 31.
Ver apuntes, pág. 71.
Ver apuntes, pág. 113.
Ver apuntes, pág. 155.
En la urna uno hay 2 bolas blancas y 2 negras. En la urna dos hay 2 bolas blancas y 1 negra. Se extrae una bola de la urna uno y se introduce en la dos. Se pide: 5.1) Si se extrae una bola de la urna 2, calcular la probabilidad de que sea blanca. Aplicando el teorema de la probabilidad total a la partición: H 1 =la bola extraída de U 1 es blanca, H 2 =la bola extraída de U 1 es negra, obtenemos
Pr(B) = Pr(H 1 ) Pr(B|H 1 ) + Pr(H 2 ) Pr(B|H 2 ) =^1 2
+^1
=^5
5.2) Calcular la probabilidad de que las bolas extraídas de las dos urnas sean blancas. Aplicando el teorema de la probabilidad compuesta obtenemos
Pr(H 1 ∩ B) = Pr(H 1 ) Pr(B|H 1 ) =^1234 =^38 = 0. 375.
5.3) ¿Son independientes los sucesos “la bola extraída de la urna uno es blanca” y “la bola extraída de la urna dos es blanca”? (razona la respuesta). No, ya que
Pr(H 1 ) Pr(B) =^1 2
= 0. 3125 6 = Pr(H 1 ∩ B) =^3 8
5.4) Sabiendo que la bola extraída de la urna dos es blanca (y sin devolverla a la urna dos), calcular la probabilidad de que al extraer una nueva bola de la urna dos, ésta sea blanca. Aplicando el teorema de la probabilidad total a Pr(·|B 1 ) obtenemos
Pr(B 2 |B 1 ) = Pr(H 1 |B 1 ) Pr(B 2 |H 1 ∩ B 1 ) + Pr(H 2 |B 1 ) Pr(B 2 |H 2 ∩ B 1 ),
donde aplicando el teorema de Bayes
Pr(H 1 |B 1 ) =
Pr(B 1 |H 1 ) Pr(H 1 ) Pr(B 1 ) =
5 = 0.^6
y
Pr(H 2 |B 1 ) = Pr(B^1 |H^2 ) Pr(H^2 ) Pr(B 1 )
=^2
Luego
Pr(B 2 |B 1 ) =
3 =^
7.1) Calcular la probabilidad de que al votar 8 personas sobre una propuesta se produzca un empate sabiendo que votan todos ‘sí’ o ’no’ de forma independiente y que para cada uno de ellos Pr(sí) = Pr(no) = 1/ 2. Si X mide el número de votos afirmativos, X sigue una Binomial con p = 1/ 2 y n = 8. Por lo tanto
Pr(empate) = Pr(X = 4) = p(4) =
24 =^
128 = 0.^2734375.
7.2) ¿Cuál es la probabilidad de que ganen los votos afirmativos? Por la simetría del modelo tenemos Pr(X > 4) = Pr(X < 4) y
2 Pr(X > 4) = Pr(X > 4) + Pr(X < 4) = 1 − Pr(X = 4) = 1 − 35 128
con lo que
Pr(X > 4) =
2 · 128 =^
256 = 0.^363281
7.3) Si X mide el número de votos afirmativos calcular el valor esperado para X. Como es una Binomial, tenemos E(X) = np = 8(1/2) = 4. 7.4) ¿Cuál es el valor más probable de X? (razona la respuesta) Como la función puntual de probabilidad es
p(x) =
x
se tiene p(x) = p(8−x) (es simétrica). Como el máximo de los números combinatorios
x
se alcanza en el centro para x = 4, el valor más probable (moda) de X será mo = 4.
