NOMBRE:
ELEMENTOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA. CONVOCATORIA ENERO 2015.
1) Demostración de la fórmula que da el número de combinaciones de orden nde melementos.
(1 punto)
2) Demostrar que toda sucesión de conjuntos monótona creciente es convergente y calcular su
límite. (1 punto)
3) Enunciar y demostrar las desigualdades de Markov y Tchebychev para variables aleatorias
continuas. (1 punto)
4) Definir el modelo geométrico, deducir su función puntual de probabilidad y calcular su función
de distribución. (1 punto)
5) Se tienen tres urnas que contienen respectivamente 1 bola blanca y 1 negra (U1), 2 blancas y
1 negra (U2) y 3 blancas y 1 negra (U3). Si se extrae una bola de una urna elegida al azar, calcular:
5.1) La probabilidad de que sea blanca.
5.2) La probabilidad de que provenga de la urna 1 sabiendo que es blanca.
5.3) La probabilidad de que sea blanca o provenga de la urna 1.
5.4) Son independientes los sucesos ‘la bola es blanca’ y ‘la bola proviene de la primera urna’
(razona la respuesta).
(1 punto)
6) Si la variable aleatoria Xtiene función de densidad
f(x) = ½x, para 0< x ≤1
2−x, para 1< x < 2
(cero en otro caso), calcular:
6.1) La función de distribución.
6.2) La media.
6.3) El tercer cuartil. ¿Es único? (razona la respuesta).
6.4) La función de densidad de la variable Y=X2.
(2 puntos)
7) En un juego se lanza un dado ganándose 4 euros si sale un 6 y perdiendo 1 euro en caso
contrario. Si la v.a. Xrepresenta las ganancias (o perdidas) tras jugar 10 partidas, calcular:
7.1) La probabilidad de ganar dinero Pr(X > 0).
7.2) Calcular las ganancias esperadas E(X). ¿Conviene jugar? (razona la respuesta).
(1 punto)
8) Si lanzamos una moneda 100 veces y Xrepresenta el número de caras, se pide:
8.1) Calcular Pr(45 < X < 52).
8.2) Calcular el valor de ε > 0tal que Pr(50 −ε < X < 50 + ε) = 0.9.
Nota: No usar corrección de continuidad. (1 punto)
9) Calcular la función generatriz de momentos del modelo gamma y usarla para calcular su
media. (1 punto)
