NOMBRE:
ELEMENTOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA. CONVOCATORIA JUNIO 2014.
1) Demostrar la fórmula del binomio de Newton usando combinatoria. (1 punto)
2) Demostrar que la función de distribución F(x)tiende hacia 1 cuando xtiende hacia +∞.
(1 punto)
3) Calcular la función generatriz de probabilidad y la media del modelo de Poisson. (1 punto)
4) Demostrar que si Xsigue una distribución normal y aybson dos números reales con a6= 0,
entonces aX +btambién sigue una distribución normal. (1 punto)
5) Una urna contiene tres bolas blancas y una negra y otra contiene dos blancas y dos negras.
Se elige una urna al azar y se saca una bola de esa urna. Calcular:
5.1) La probabilidad de que la bola sea blanca. ¿Son independientes los sucesos “la bola es
blanca” y “la bola proviene de la primera urna”? (razona la respuesta).
5.2) La primera bola es blanca y no se devuelve a su urna. Se elige de nuevo una urna al azar y
se extrae una segunda bola. Calcular la probabilidad de que la segunda bola sea blanca.
(1 punto)
6) Si la variable aleatoria Xtiene función de densidad
f(x) = ½−x−1,para −2≤x≤ −1
c·x−1,para 1≤x≤2
(cero en otro caso), calcular:
6.1) El valor de c.
6.2) V ar(X).
6.3) La mediana. ¿Es única? (razona la respuesta).
6.4) La función de densidad de la variable Y=X2y su media.
(2 puntos)
7) Se sabe que la velocidad Xmarcada por un radar sigue una distribución normal de media
igual a la verdadera velocidad vdel vehículo y de desviación típica igual al 5% de v. Si un vehículo
circula a 60 Km/h en un tramo limitado a 50 Km/h y se multa cuando el radar marca una velocidad
superior a 57 km/h, calcular:
7.1) La probabilidad de que sea multado.
7.2) La probabilidad de que el error del radar sea menor que 3 Km/h.
(1 punto)
8) Dos amigos A y B apuestan 4 euros cada uno jugando de la forma siguiente: Lanzan una
moneda, si sale cara, A se anota un punto y si sale cruz, Bse anota un punto. Gana todo el dinero
el primero que consiga 4 puntos.
8.1) Calcular la probabilidad de que tras jugar 4 partidas los jugadores estén empatados.
8.2) Tras jugar 4 partidas, A tiene 3 puntos y B solo 1. ¿Cuál es la probabilidad de que gane
A? Si tienen que acabar la partida en ese momento, ¿cómo deberían repartirse el dinero de forma
justa? ¿Cuál es el número esperado de partidas adicionales?
(1 punto)
9) Calcular la función generatriz de momentos del modelo exponencial y usarla para calcular
E(X)yE(X2).(1 punto)
