¡Descarga Matemáticas I: Diagonalización, ortogonalidad y simetrías. - Prof. Cruells y más Exámenes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Resolució
1.- Donada la matriu d’un endomorfisme de ^3
1 1 1 1 1 0 2
M
a^ a (^) − −
a) Estudieu-ne la diagonalització segons els valors de a.
Calculem el polinomi característic per trobar els valors propis:
( ) (^2 ) ( ) ( ) ( ) (^2 )
a a a a a
Així, els valors propis, que no depenen de a , són ( ) (^2 )^1
2 2
m m
=^ =
=^ =
Estudiem el subespai de vectors propis associats a (^) λ = 1 1 , ja que és el valor propi de multiplicitat 2.
ker , , 1 0 1 0 1 0 1 0
x f id x y z y z
− = ^ ^ − − ^ ^ =^
1 0 1 1 si^0 2 si 0 1 0 1
a a rang a a
Distingim dos casos:
1) Si a = 0 tenim que rang ( M − Id ) = 1 → dim ker ( f − id ) = 2 = m 1 i l’endomorfisme és
diagonalitzable.
2) Si a ≠ 0 tenim que rang ( M − Id ) = 2 → dim ker ( f − id ) = 1 ≠ m 1 i l’endomorfisme no és
diagonalitzable.
b) Per a = 0 trobeu una base en la que diagonalitzi i doneu la matriu diagonal.
Calculem els vectors propis de valor propi λ = 1 1 :
( ) ( ) {( ) } ( ) ( )
ker , , 1 0 1 0 , , 0 1, 0, 1 , 0,1, 0 1 0 1 0
x f id x y z y x y z x z z
− = ^ ^ − − ^ ^ = ^ = + = = −
I els de valor propi (^) λ 2 = 2 :
( ) ( ) (^) {( ) } ( )
ker 2 , , 1 1 1 0 , , 0, 0 0,1, 1 1 0 0 0
x f id x y z y x y z x y z z
− = ^ ^ − − − ^ ^ = ^ = = + = = −
^ ^ ^ ^
Així doncs, una base formada per vectors propis, en que la matriu M diagonalitza és
{ ( 1, 0,^ −1 , 0,1, 0 , 0,1,^ ) ( ) ( −^1 )}i la matriu diagonal és
D
= ^
(2 punts)
2.-
a) Quina transformació ortogonal de ^2 s’obté al fer la composició d’un gir de 120º seguit d’una simetria respecte l’eix d’ordenades? Doneu-ne la matriu en base canònica i els elements característics.
Mirem gràficament quina és la imatge del primer vector de la base canònica. Si g és el gir de 120º i s la simetria respecte l’eix d’ordenades, és fàcil veure que la imatge per la composició és un vector que forma un angle de 60º amb l’eix d’abscisses. La composició serà una simetria, ja que
det ( s g ) = det ( ) s ⋅ det ( g ) = ( − 1 ) ( ⋅ + 1 ) = −1.Per tant,
el resultat de la composició és una simetria respecte d’una recta que forma un angle de 30º amb l’eix d’abscisses, és a dir, la recta d’equació
tan 30º 3. 3
y = x → y = x La matriu d’aquesta
simetria és: cos 60º^ sin 60º^11 sin 60º cos 60º (^2 3 )
− ^ ^
=^ ^
Una altra manera de fer aquest exercici és a partir de les matrius del gir i de la simetria i fer-ne el producte.
La matriu del gir serà cos120º sin120º 1 1 3 sin120º cos120º (^2 3 )
G
−^ ^ −^ −
, mentre que la matriu de la simetria
(es veu a ull) és
S
. Aleshores, la composició demanada té matriu:
M S G
−^ ^ −^ − ^ ^
que correspon a una simetria respecte d’una recta. Aquesta recta es pot trobar de diverses maneres, per exemple, és la recta que té vector director la suma d’un vector qualsevol (diferent del nul) i el seu
simètric. Fem el càlcul amb el vector w^ ^ =( 2, 0). El vector director de l’eix de simetria és:
w^ ^ + f (^) ( w ^ ) = (^) ( 2, 0 (^) ) + (^) (1, 3 ) =( 3, (^3) ),
per tant la recta és (^3). 3 3 3
x (^) = y (^) → y = x
a) A quina cònica correspon l’equació
2 2 1 4 9
y (^) − x =? Doneu-ne tots els seus elements característics
i feu-ne un dibuix aproximat.
Es tracta d’una hipèrbola que té semieix real sobre l’eix d’ordenades a = 2 i semieix imaginari sobre l’eix d’abscisses b = 3. Així, la semidistància
focal és c = 22 + 32 = 13 i l’excentricitat 13 2 e c a
Els focus són els punts (^) ( 0, ± (^13) )i els vèrtexs són (^) ( 0, ± (^2) ).
Les seves asímptotes són les rectes d’equacions 2 3 y = ± x.
b) Definiu la paràbola com a lloc geomètric de punts.
Feu servir aquesta definició per a calcular l’equació i el vèrtex de la paràbola de focus F =(1,1 )
i directriu x =2.
La paràbola es pot definir com el lloc geomètric dels punts del pla que equidisten d’un punt, anomenat focus, i d’una recta, anomenada directriu.
Busquem els punts del pla ( x y , )que equidisten del punt (1,1 ) i de la recta x = 2 :
( ( ) ( )) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) (^) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
d x y d x y x x y x x y x
y x x x x y x y x
→ − = − + − − + → − = − + → − = − ^ −
Així veiem que el vèrtex d’aquesta paràbola és en el punt de coordenades 3 , 2
i la seva equació és:
(^ y^ −^1 )^2 = −^2 ^ x −^32
(2 punts)
