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RESOLUCIÓN 2º EXAMEN PARCIAL DE MATEMÁTICAS. 1º.
GRUPOS 4 Y 5. DÍA 19 DE DICIEMBRE DE 2016
Cuestión 1. ( 1 punto). Siendo A , B , C y X matrices regulares de rango 3, A y B matrices
ortogonales, y siendo A 1 , B 1 , C 3 :
a) (0,5 puntos) Despéjese la matriz X en la ecuación
2 A ( Xt^ A ) t B ^1 ( AXtBt ) tA B B tA ABt ( ABt ) t
b) (0,5 puntos) Calcúlese C^5 B ^1 AC
Solución:
a)
X X A BAA X A B
AAX B BXAA BB A BABBA
A X A B AX B A BB A AB AB t
t t t t t
t t t t t t t t t
2
2
2 ( ) ( ) ( ) 1
1
b)^5 5112527111. 31259
1 3
CB ^ AC C B AC
Cuestión 2****. ( 1 .5 puntos). Siendo
A calcúlese, si es posible:
c) (1 punto). La inversa de A.
d) (0.5 puntos). 3 ( AA )^1.
Solución: a) Para saber si una matriz tiene inversa hay que calcular en primer lugar su determinante y ver si
se anula o no. Se tiene que A 1 0 , luego A es una matriz no singular y por tanto tiene
inversa. La matriz adjunta es
566 211 322 23 14 01 14 01 23
63 64 11 64 11 63
62 61 10 61 10 62 Adj ( A )
Por tanto
(^1 1) Adj ( A ) t^1 A A
b)^3 (^ AA )^ ^1 ^33 A^1 A A^27 A (^271 ) 2 ^27
Cuestión 3. ( 1 .5 puntos). Discútase el sistema AX 0 4 x 1 , donde
1 0 0 2
1 3 4 4
1 2 2 2
1 1 1 1 (^) A ,
Solución: Como es un sistema homogéneo es compatible. Como se tienen cuatro ecuaciones ycuatro incógnitas, será compatible y determinado si rg(A) = 4 = nº incógnitas. Si el rango es menor será un sistema compatible e indeterminado. Para saberlo debemos calcular el determinante de A.Empleamos para ello en primer lugar el método de Gauss. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 F2-F1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 3 4 4 F3-F1 0 2 3 3 F3-2F2 0 0 1 1
- 1 0 0 2 F4+F1 0 1 1 3 F4-F2 0 0 0 2
Por tanto A 1 1 1 2 2 0 luego rg( A ) = 4 = nº incógnitas, el sistema es compatible y
determinado siendo la única solución la nula. También se puede obtener el determinante desarrollándolo por la cuarta fila:
0 2 ( 8 2 3 2 6 4 ) 2 0 1 3 4
A
Cuestión 4. (1 punto). a) (0.5 puntos) Sean A y B matrices cuadradas de orden 4. Calcúlese el determinante de A,
sabiendo que B 4 ; 2 AB ^1 8.
b) (0.5 puntos) Explique y justifique si es verdadero o falso que
^2 3 //^5433 // 45 5141 ^2333 201 ^2333 ^.
Solución:
a)^2 AB ^1 ^8 ^24 A^1 B ^8 ^164 A ^8 A ^416 ^8 ^2
b) No porque para sacar un escalar de una matriz como factor común debe estar multiplicandoa cada uno de sus elementos, lo cual no ocurre. Esto podría hacerse si tuviésemos un determinante, pero no en el producto escalar de una matriz y un número.
Problema 3. tres grandes distribuidoras ( 2 puntos)****. Una empresa de productos lácteos vende leche. La leche la sirve en cartones de 6 cajas de 1 litro de leche, quesos y yogures a, los yogures en paquetes de 8 unidades y los quesos en unidades. primera distribuidora 10.000 cartones de leche e igual número de paquetes de yogu En total ha vendido a lart, la segunda distribuidora ha comprado 11.000 paquetes de leche, 10.000 quesos y 11.000 paquetes de yogurt; por último, la tercera distribuidora ha comprado 10.000 paquetes de leche y 10.000 quesos, no llevándose ningún yogurt. La empresa ha ingresado como resultado de las ventas 20.000 euros de la distribuidora 1,42.000 euros de la segunda distribuidora y 30.000 de la tercera. Se quieren conocer los precios de venta del cartón de leche, del queso y del paquete deyogures. a) (1 punto) Plantéese el correspondiente sistema de ecuaciones. b) (1 punto) Discútase y resuélvase por Cramer. Solución: a) Notemos las incógnitas por xy (precio de un queso)(precio del cartón de 6 cajas de 1 litro leche), z (precio del paquete de 8 yogures) La información que nos facilitan puede representarse mediante la matriz: Producto Dist 1 10000 Leche Queso 0 Yogurt 10000 Ventas 20000 Dist 2 Dist 3 (^1100010000 1000010000 110000 ) Precio x y z Las ecuaciones del sistema podemos escribirlas como:
3
11 10 11 42
2
000 10. 000 30. 000
000 10. 000 11. 000 42. 000
000 10. 000 20. 000 x y
x y z
x z x y
x y z
x z
AX B
z
y
x ^
b) Se tiene A 10 0 luego se trata de un sistema compatible y determinado.
Resolviéndolo por Cramer tenemos
(^1131)
11 10 42
1 0 2 (^1302) ;
11 42 11
1 2 1 (^31010101) ;
42 10 11
2 0 1 x (^) A y A z A
