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3º examen parcial de Matemáticas. 1º Día 20 de diciembre de 2016. Grupos 4 y 5
RESOLUCIÓN EXAMEN PRÁCTICA DE APRENDIZAJE COOPERATIVO
(TERCERA PRUEBA DE EVALUACIÓN)
Problema 1. (0,35 puntos)
En una fábrica de muebles se producen sofás utilizando para cada uno de ellos, 2 unidades de acero, 1 de tela y 2 de madera, con un coste total de 1320 euros.
En una segunda fábrica y con un coste de producción de 1040 euros se fabrican máquinas análogas, utilizando 1 unidades de acero, 2 de tela y 2 de madera.
El proveedor de materias primas que más confianza da a la dirección, por su seriedad y compromiso, ha ofrecido por 720 euros una unidad de cada uno de los materiales (acero, tela y madera).
Se quiere saber el coste de cada uno de los elementos utilizados en el proceso de fabricación. En consecuencia se pide:
- Planteamiento correcto del problema 1. ( 0,10 puntos)
- Resolución correcta aplicando método de Cramer. (0,25 puntos)
Solución: Sean x , y , z los precios en euros de cada unidad de acero, de tela y de madera, respectivamente.
1.- Planteamiento:
x y z
x y z
x y z
En forma matricial: AX = B ;
z
y
x
- Resolución por Cramer: |A| = -1 ≠ 0; luego rango ( A ) = rango ( A|B ´) = 3; por lo tanto el sistema es compatible y determinado.
Solución :
A
z A
y A
x
Los precios de cada unidad de acero, plástico y madera son 400, 120 y 200 euros, respectivamente
3º examen parcial de Matemáticas. 1º Día 20 de diciembre de 2016. Grupos 4 y 5
Problema 2. (0,40 puntos) Estudiar el siguiente sistema según los valores de λ,
x y z
x y z
x y z
a) Indíquese el número de soluciones para cada valor del parámetro. (0,20 puntos)
b) Resuélvase para los valores de λ para los que el sistema posee más de una solución (0,20 puntos)
Solución : Sea A la matriz del sistema, B el término independiente y (A|B) la matriz ampliada.
A A B^ ;
2
A A ó
- Si 0 y 1 entonces A 0 , por tanto rango(A) = rango(A|B) = 3 = nº de incógnitas.
Por tanto el sistema es compatible y determinado; es decir el sistema tiene una única solución.
- Si 0 entonces | A| = 0. El sistema es
De 1 0
es rango(A) = rango(A|B) = 2 < 3 = nº de incógnitas.
Por tanto el sistema es compatible e indeterminado, tiene por tanto infinitas soluciones.
El sistema es equivalente a:
𝑦 = 3 − 𝑧}^ y el conjunto de soluciones es 𝑆 = {(𝑧 − 1; 3 − 𝑧; 𝑧)/𝑧 ∈ ℜ}
- Si 1 entonces | A| = 0. El sistema es
x y z
x y z
x y z .
Se tiene que rango(A) = 2, pues 1 0
, mientras que rango(A|B) = 3;
pues^10
^ por consiguiente el sistema es incompatible
3º examen parcial de Matemáticas. 1º Día 20 de diciembre de 2016. Grupos 4 y 5
Problema 4. (0,35 puntos)
La función de beneficio marginal de la empresa “LAMEJOR” está dada, para x las unidades producidas y vendidas del producto “A”, por: 𝐵′(𝑥) = −0,003𝑥^2 + 5,6𝑥 − 250
- (0,20 puntos) ¿Qué indica la función de beneficio marginal?
Evalúe e interprete el beneficio marginal para x = 50, x = 60 y x = 70. ¿Es creciente o decreciente el beneficio marginal en los puntos considerados? Interprete el resultado.
- (0,15 puntos) Calcule la función de beneficio total de dicha empresa si se conoce que si no se vende ninguna se incurre en una pérdida de 10.000 u.m. Evalúe e interprete el beneficio total para x = 50. Compruebe si el beneficio con las 50 unidades primeras de producto es 𝐵(50) = 2575 𝑢. 𝑚. Solución. Esta función indica el coste por artículo de crecimiento de la producción cuando ya se han producido “ x ” artículos.
𝐵′(50) = 22,5. Beneficio aproximado al vender la unidad 51 de producto cuando ya están vendidas 50 unidades. Es el beneficio aproximado de incrementar en una unidad (hasta 51) la producción y venta.
Análogamente 𝐵′(60) = 75,2 y 𝐵′(70) = 127,3. Según los puntos considerados (que nos piden) el beneficio marginal es creciente, lo que implica que con cada nueva unidad producida y vendida el beneficio es mayor que con el anterior. Economías de escala.
b) 𝐵(𝑥) = ∫ 𝐵′(𝑥)𝑑𝑥 = ∫(−0,003𝑥^2 + 5,6𝑥 − 250)𝑑𝑥 = −0,001𝑥^3 + 2,8𝑥^2 − 250𝑥 + 𝐶 𝐵(0) = −10.000 ⇒ 𝐶 = −10.000, luego 𝐵(𝑥) = −0,001𝑥^3 + 2,8𝑥^2 − 250𝑥 − 10. Esta función nos indica el beneficio obtenido produciendo y vendiendo “ x ” unidades de producto. En particular se tiene que
𝐵(50) = −0,001. 50^3 + 2,8. 50^2 − 250.50 − 10.000 = − El beneficio con las 50 unidades primeras de producto no es 𝐵(50) = 2575 𝑢. 𝑚.
