Facultat de Ciències Econòmiques i Empresarials
Estudi: Grau Administració i Direcció d’Empresa i Economia
Curs: 2n. Tipus d´assignatura: obligatòria
Convocatòria: 2ª Prova de Seguiment Data: 15 desembre 2016
Dades de l’estudiant
Cognoms: Nom: DNI: Grup:
PROVA DE SEGUIMENT DE MATEMÀTIQUES (II)
Professors: Joan Carles Ferrer i Xavier Molas.
Criteris d´avaluació: Cada exercici es valora sobre un total de 2,5 punts.
1. Donada la funció de dues variables independents: z = f(x, y) = e
2y
+ y·e
-x
+ 4x
a) Calculeu les matrius jacobiana i hessiana avaluades en el punt P(0,0) , així com les diferencials de
primer i segon ordre (dz i d
2
z) avaluades en el mateix punt P i per uns valors de les diferencials de les
variables independents de dx = 0,2 i dy = – 0,1.
b) El valor de la variació real de la funció ∆z (increment vertader de la funció z), i dels corresponents
error absolut
ε
a
i error relatiu
ε
r
comesos en prendre com a aproximació per a ∆z el valor de dz.
2. Sigui la funció composta
( )
−==
⋅
v
u
cosev,ufz
vu
, on se sap que les variables u i v depenen al
seu torn d’unes altres variables x i y segons les expressions:
(
)
yxy,xgu ⋅==
i
( )
x
y
y,xhv ==
.
Feu l’esquema de la funció
z. Aplicant la regla de la cadena per a la derivació d’una funció composta,
trobeu les dues derivades parcials primeres
∂z/∂x i ∂z/∂y
, posant les expressions un cop s’ha derivat
només en funció de les variables x i y , i simplificant perquè quedin en la forma més senzilla possible.
3. Donada la funció implícita F(x,y,z) : x
2
+ 2yz + z
2
− 1 = 0 , on la z no és independent, z = f(x,y).
Comproveu escrivint els càlculs pertinents, que el punt P(2,−2, 3) és un punt de la funció.
Determineu, utilitzant les tècniques per a la derivació implícita, les expressions de les dues derivades
parcials primeres
∂z/∂x i ∂z/∂y
, i calculeu els seus valors en el punt P. Tot seguit, trobeu l’expressió
de la derivada parcial segona creuada
∂
2
z/∂y∂x
ben simplificada, i avalueu-la en el mateix punt P.
4. Donada la funció de producció de Cobb-Douglas Q = 9·K
-2/3
·L
5/3
, comproveu que és homogènia.
Raoneu de quin tipus seran els seus rendiments d’escala i argumenteu com variarà la producció total
Q si en un moment donat tant el capital K com el treball L es dupliquen.
Calculeu les productivitats marginals del capital i del treball i comproveu que es verifica el teorema
d’Euler. Avalueu les productivitats marginals en el punt P(3,24) i expliqueu breument el significat dels
valors que obtingueu.
Finalment, calculeu les elasticitats parcials de la funció de producció i classifiqueu aquesta funció
segons l’elasticitat respecte cada variable.
Qualificació: