Facultat de Ciències Econòmiques i Empresarials
Estudi: Grau Administració i Direcció d’Empresa i Economia
Curs: 2n. Tipus d´assignatura: obligatòria
Convocatòria: 2ª Prova de Seguiment Data: 14 desembre 2017
Dades de l’estudiant
Cognoms: Nom: DNI: Grup:
PROVA DE SEGUIMENT DE MATEMÀTIQUES (II)
Professors: Joan Carles Ferrer i Xavier Molas.
Criteris d´avaluació: Exercici 1: 3 punts , exercicis 2 i 4: 2’5 punts cadascun , exercici 3 : 2 punts.
1. a) Enuncieu el teorema de Schwartz. Digueu com s’anomena la classe de funcions que el compleix
i quines característiques tenen aquestes funcions. I, degut a aquest teorema, donada una funció
qualsevol d’aquesta classe, quina característica especial tindrà la seva matriu hessiana?
b) Donada la superfície representada per la funció:
y2x32
eyx)y,x(fz
+
⋅+==
, determineu-ne el
pendent de les rectes tangents a les corbes que s’obtenen en tallar aquesta superfície en el punt
P(6,−3) seguint les direccions paral·leles als eixos X, Y, i la que ve donada pel vector v = (3,−4) .
A partir d’ells, raoneu si la funció és creixent o decreixent en P en les tres direccions indicades.
c) Considereu la funció de tres variables independents: zlny
y
x
)z,y,x(gu
2
⋅+==
Calculeu les matrius jacobiana i hessiana avaluades en el punt Q(4,2,1) , i també les diferencials
de primer i de segon ordre (du i d
2
u) avaluades en el punt Q , i per uns valors de les diferencials
de les variables independents de dx = 0’2 , dy = 0’3 i dz = 0’5.
2. Sigui la funció composta z = f(x,y) = x
2
+ xy + y
2
, on se sap que les variables x i y depenen al seu
torn d’unes altres variables r i t segons les expressions: x = g(r,t) = r·cos(t) i y = h(r,t) = r·sin(t) .
Feu l’esquema de la funció z. Aplicant la regla de la cadena per a la derivació d’una funció composta,
trobeu les dues derivades parcials primeres
∂z/∂r i ∂z/∂t
. Poseu les expressions un cop s’ha derivat
només en funció de les variables r i t, i aplicant la relació sin
2
(t) + cos
2
(t) = 1, simplifiqueu perquè
quedin en la forma més senzilla possible i pugueu comprovar la igualtat de les derivades parcials de
segon ordre creuades respecte r i t.
3. Donada la funció implícita F(x,y,z) :
011zyxe
2z
=+++
, on la z no és independent, z = f(x,y).
Comproveu, escrivint els càlculs pertinents, que el punt P(2,−3, 0) és un punt de la funció.
Determineu, utilitzant les tècniques per a la derivació implícita, les expressions de les dues derivades
parcials primeres
∂z/∂x i ∂z/∂y
, i calculeu els seus valors en el punt P. Tot seguit, trobeu l’expressió
de la derivada parcial segona
∂
2
z/∂y
2
, i avalueu-la també en el mateix punt P.
4. Donada la funció de dues variables
20y18x39xy6yx)y,x(fz
23
++−−+==
, trobeu-ne els seus
punts crítics i analitzeu la naturalesa de cadascun amb les condicions de segon ordre. Quant val la
imatge de la funció en el punt òptim?
Qualificació: