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INTEGRALES INDEFINIDAS.
PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN. INTEGRAL INDEFINIDA.
Sean f y F dos funciones reales definidas en un mismo dominio.
Diremos que F es una función primitiva de f , o simplemente una primitiva
de f , si F tiene por derivada f.
F es primitiva de f F^ '^ ( x ) f ( x )
En notación diferencial:
F es primitiva de f ^ d^ F ( x ) f ( x ) dx
EJEMPLOS:
Si f^ (^ x ) ^2 x , entonces puede ser
2 F ( x ) x
Si f^ (^ x ) cos x , entonces puede ser F^ (^ x ) sen x
La operación que permite obtener una primitiva F a partir de una
función f recibe el nombre de INTEGRACIÓN. Si existe la función F se
dice que la función f es integrable.
Una función puede tener varias primitivas, por ejemplo, la función
f ( x ) 2 x , podría tener como primitivas las funciones ( ) ,
2
F 1 x x
( ) 2 ,
2 F 2 x x
2
F 3 x x
ya que
' 3
' 2
'
F 1 x F x F x f x
Teniendo en cuenta esto, podríamos demostrar la siguiente
Proposición.
Sean f , F , G tres funciones definidas de D en R, tal que F y G son
dos primitivas de f****. Entonces, la función F^ G es otra función de D
en R y además es constante.
De otro modo:
Dos primitivas de una misma función se diferencian a lo sumo en
una constante.
En efecto, si F y G son primitivas de la misma función f , quiere decir
que F^ '^ ( x ) f ( x ) y G^ '^ ( x ) f ( x ).
Restando, miembro a miembro, ambas igualdades, tendremos:
F'(x) G'(x) 0 (F G)'(x) 0
(F G)(x) cte.
F(x) G(x) cte.
F ( x ) G ( x ) cte.
DEFINICIÓN.
Dada una función f , se llama integral indefinida de f al conjunto
de sus infinitas primitivas F K .
La integral indefinida se representa por f^ ( x ). dx
El símbolo (^) se lee «integral de...» y f^ ( x ). dx se llama
integrando. El número real K recibe el nombre de «constante de
integración».
EJEMPLOS:
- (^) cos x.^ dx ^ sen x K ya que la derivada del seno es el coseno.
- x^ dx ^ x K
3 4 4
- xdx^ ^ x K
2
La integral indefinida es una familia de funciones dependiente de un
parámetro cuyas gráficas se obtienen por traslación de una primitiva.
Para la determinación de una primitiva es necesario conocer la
constante de integración; para ello necesitamos alguna otra condición,
como puede ser el valor que toma la función primitiva en un punto del
dominio o un punto por el que pasa la gráfica de la función.
Ejemplo:
1. Halla una primitiva de la función f^ (^ x ) ^2 x , cuya gráfica pasa por
el punto P (1, 3). Las primitivas de f son de la forma F^ x ^ x K
2 ( )
Puesto que la gráfica pasa por P (1,3), tendremos
F ( 1 ) 3 3 1 K K 2
k f x dx. ( ). k f x dx ( ).
Ejemplo:
- 3 3
x x x e dx e dx e C
La utilización de estas dos propiedades constituye el método de
descomposición: conviene descomponer lo más posible el integrando
aplicando la propiedad distributiva, sustituyendo la expresión de la
función por otra equivalente, sumando o restando una misma cantidad,
multiplicando y dividiendo por un mismo número.
Ejemplos:
2 2
x x x x
dx dx
x x x x
x dx xdx dx dx
x x
2 x x Ln | x | C
2 2
2
tg (1 tg 1)
(1 tg ) 1 tg
x dx x dx
x dx dx x x C
TIPOS FUNDAMENTALES DE INTEGRACIÓN.
La integración es el proceso recíproco de la derivación; por eso, la
lectura de la tabla de derivadas de derecha a izquierda nos proporciona las
primitivas de las funciones elementales tanto en la forma simple como en
la forma compuesta.
Estas primitivas que se obtienen directamente de la tabla de derivadas
se llaman inmediatas, y el conjunto de ellas, integrales inmediatas.
Todas las técnicas de integración consisten en transformar el
integrando hasta obtener una función que reconozcamos como inmediata.
Por ello, el conocimiento y memorización de los siguientes tipos es
imprescindible para iniciarse en la integración.
INTEGRALES DE FUNCIONES ELEMENTALES:
T I P O S
F O R M A S
S I M P L E S COMPUESTAS
Potencial 1
K
x x dx 1
1
K
f f f dx 1
1
Logarítmico
dx Ln | x | K x
Ln | |
f dx f K f
Exponencial
e^ dx ^ e K
x x f^ e dx ^ e K
f f '.
Ln
x x a dx a K a
Ln
f f f a dx a K a
Seno ^
cos x. dx sen x K f '.cos f. dx sen f K
Coseno ^
sen x. dx cos x K f '.sen f. dx cos f K
Tangente
sec x^. dx ^ tg x K
2 f^ '^ sec f. dx ^ tg f K
2
(^1 ^ tg x^ ) dx tg x K
2 (^1 ^ tg f^ ) f ' dx tg f K
2
dx x K x
tg cos
2 dx f K f
f tg cos
2
Cotangente
cosec x^. dx ^ ctg x K
2 f^ '.cosec^ f. dx ^ ctg f K
2
(^1 ^ ctg x^ ) dx ctg x K
2 (^1 ^ tg f^ ) f ' dx tg f K
2
dx x K x
ctg sen
2 dx f K f
f ctg sen
2
Arco seno (= arco
coseno)
dx x K x
arcsen 1
2
arccos x K f K
dx f K f
f
arccos
arcsen 1
2
K
a
x dx a x
arcsen
2 2
K
a
x arccos K a
f
K
a
f dx a f
f
arccos
arcsen
2 2
Arco tangente
= Arco cotangente.
dx x K x
arctg 1
2
arcctg x K
dx f K f
f arctg 1
2
arcctg f K
K
a
x
a
dx a x
arctg
2 2
K
a
x
a
arcctg
K
a
f
a
dx a f
f arctg
2 2
K
a
f
a
arcctg
4 3 2 4 3 2 5 7 2 5 7 3 3 4 3 2 2 3 2
x x x x x x x K x K
Vemos que el proceso de integración lo hemos aplicado a las
funciones potenciales dejando los coeficientes al margen del
proceso. Sin embargo, no hace falta dar todos los pasos como
en el ejemplo anterior, sino que se puede y se debe integrar
directamente como en el siguiente ejemplo:
6 3 2 5 2 2 2 (2 3 7) 2 3 7
3 6 3 3 2
x x x x x x dx x K
(^1 6 2 3 3 ) 7 3 9 2
x x x x K
K
x x
x x dx x x dx xdx x dx
1 2
1 11 2
1 2
1
K
x x K
x x 3
2
2
2
2 3
2
3 2 2
3 2
(^2 1 25 )
(^2 2 3 43 )
3
8 1 (^5 3 )
1 ( 2 ).
2 5 8 1
3 3
x dx x x dx x x x dx
x
x x x K
^ ^ (^) (^) (^)
x x x x K
x x x K x x x K
(^523 )
3 5 3 8 3
1 3
8 5
1 (^3 1 ) (^2 ) 2
1 4 2 ( 4 2). 4 2 1 1
2
1 8 2
x x dx x x dx x K x (^) x x
x K x (^) x
Tipo potencial: forma compuesta.
4 3 3 (^ 2) ( 2). ( 2). ( 2) 4
x x dx x d x K
2 31 2 30 2 30 2 (^ 1) (2 1).( 1). 1 d 1 31
x x x x x dx x x x x K
K
x K
x x x dx x x dx x x dx f f
^ 4
2 2 2 2 2
'
2 2
4 3 3 sen sen .cos.. ( ) 4
x x^ x dx^ ^ sen x d senx^ ^ K
3 2 2 2 tg tg .sec.. ( ) 3
x x^ x dx^ ^ tg x d tgx^ ^ K
K
x x x dx x x dx
f f
^ ^ 4
tg (tg tg ). tg ( 1 tg ).
4
'
3 5 3 2
3
x x dx x x dx x x dx x x dx
f f f f f
. 1. .( 1 ).^2
1 3
'
2 2
1 3
'
2 2
1 2 3 2 3
K x K x x K
x
3 3
Tipo logarítmico:
3 1 Opposite 3 3 2 2 2 Hypotenuse
dx dx Ln x K x x
2 2 2
x x dx dx Ln x K x x
dx L x K x
x dx x
x x dx cos cos
sen
cos
sen tg
cos ctg sen sen
x x dx dx Ln x K x
Es una consecuencia directa de la derivación de funciones
compuestas.
Como su nombre indica, se trata de sustituir la variable " x " por una
función de otra variable " t ", x = g( t ), de forma que el integrando se
transforme en otro más sencillo.
Este proceso puede hacerse de dos formas:
FORMA DIRECTA
Se hace x^ g ( t ), de donde dx^ g '^ ( t ) dt. Sustituyendo en la
integral, nos queda:
f ( x ). dx f g ( t ) g '( t ). dx
FORMA RECÍPROCA
Se hace t^ u ( x ), de donde dt^ u '^ ( x ). dx , y se despeja a
continuación x y dx para sustituirlos en la integral.
Para terminar el proceso se calcula la integral en la nueva variable y
después se deshace el cambio.
Es evidente que si la integral resultante del cambio es más complicada
que la de partida, el cambio realizado no es el adecuado y debemos
buscar otro.
NOTA: Siempre que se pueda debemos de evitar emplear este método
y utilizar los tipos fundamentales.
EJEMPLOS.
Calcula
dx x x
I 1
1
Hacemos la sustitución^1
2 2 x t x t
Calculamos la diferencial de x : dx^ ^2 t dt y sustituimos en la integral
que deseamos calcular. Tendremos:
2 2 2
2
1 ( 1). (^ 1).
2 2arctg
I dx t dt t dt
x x t t t^ t
dt t K
t
{deshaciendo el cambio de variable} 2arctg x 1 K
Calcula
5 x 2
dx I
Hacemos el cambio (^2 )
5
1 5 x 2 t x t
Calculamos la diferencial de x : dx^ ^ dt
y sustituimos
deshaciendo el cambio x K
K t K
t
dt t dt
x t
dx
I
2
1
2
1
Se podría resolver la integral directamente, sin necesidad de utilizar el
método de sustitución, empleando la fórmula de integración de
funciones potenciales en su forma compuesta:
dx x dx x dx x x
dx I
f
5 ( 5 2 ). 5
1 ( 5 2 ). ( 5 2 )
1
5 2
2
1 2
1
(^12)
K x K
x
x dx
f f
2
1
2
1
'
3
2
(arctg )
x
I dx
x
Hacemos el cambio arctg^ x^ t y calculamos la diferencial de x.
Tendremos:
dx dt dx x dt x
( 1 ). 1
(^1 )
2
Sustituyendo en la integral nos queda:
y a qué " dv ". Si la integral que queda, después de aplicar dicha fórmula, es
más complicada que la de partida, significa que habrá que cambiar nuestra
elección.
En algunas ocasiones la integral que queda después de aplicar la
fórmula de integración por partes, es del mismo tipo que la de partida y
tendríamos que volver a aplicar el método.
En otras ocasiones, después de aplicar la integración por partes una o dos
veces, puede ocurrir que obtengamos la misma integral de partida. En este
caso, basta despejar la integral para obtener la primitiva.
EJEMPLOS:
I^ ^ Lnx dx
Si hacemos u^ ^ Lnx^ y dv^ dx obtenemos: dx v x
x
du y
Aplicando la fórmula de integración por partes, resulta:
1 I Lnx dx x Lnx x dx x Lnx dx x Lnx x K x
En ocasiones el método de integración por partes no es tan directo como
podría parecer observando el ejemplo anterior, sino que llegamos al
resultado final después de aplicar dos o más veces dicho método:
2 I x sen x dx
Hacemos el cambio
2
sen cos
u x^ du^ x dx
dv x dx v^ x
(^)
(^)
Sustituyendo en la fórmula de integración por partes nos queda:
2 2 2
x sen x dx x cos x cos x (2 x dx ) x cos x 2 x cos x dx
En la nueva integral que nos ha resultado, volvemos a aplicar el método
de partes; hacemos:
cos sen
u x du dx
dv x dx v x
^ ^
y sustituimos
2 2 2
x sen x dx x cos x 2 x cos x dx x cos x 2 x .sen x sen x dx.
(^)
2 2
x cos x 2 x sen x ( cos ) x K x .cos x 2 .sen x x 2cos x K
sen(^ Lnx )^ dx
Hacemos
v x
dx
x
du Lx
dv dx
u Lx
sen( ) cos( )
y sustituimos en la fórmula de integración por partes:
dx x Lx Lx dx x
Lx dx x Lx x Lx .sen( ) cos( )
1 sen( ) .sen( ) .cos( )
La integral que nos queda, después de aplicar partes, es del mismo
tipo que la que queremos calcular. En consecuencia, volvemos a aplicar
el mismo procedimiento.
En ella hacemos:
1 u cos( Lnx ) (^) du sen( Lnx ) dx x dv dx v x
^ (^) (^)
y sustituimos nuevamente:
sen( ) .sen( ) cos( )
.sen( ) .cos( ) .sen( )
Lnx dx x Lnx Lnx dx
x Lnx x Lnx x Lnx dx
x
x .sen( Lnx ) x .cos( Lnx ) sen( Lnx dx ).
Nos ha vuelto ha quedar la misma integral del principio. Entonces,
pasando al primer miembro nos queda:
