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Este documento, proveniente del departamento de economía aplicada i de la universidad de sevilla, presenta el tema 4 sobre el cálculo de primitivas y diversos métodos de integración, incluyendo integrales inmediatas, linealidad de la integral, descomposición, sustitución o cambio de variable, integración por partes y casos cíclicos. También proporciona ejemplos y una tabla de integrales inmediatas clasificadas por tipos.
Tipo: Apuntes
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Definici´on Sea f : [a, b] ⊆ R −→ R. Una primitiva de f es una funci´on F : [a, b] ⊆ R −→ R continua en [a, b] y derivable en (a, b) con
F ′(x) = f (x) ∀ x ∈ (a, b). El conjunto de primitivas de f recibe el nombre de integral indefinida de f y se representa por
f (x)dx
Nota Si F (x) es una primitiva de f entonces F (x) + C tambi´en lo es ∀ C ∈ R, por tanto: ∫ f (x)dx = {F (x) + C /C ∈ R}
Ejemplo 1
F 1 (x) = x^2 , F 2 (x) = x^2 + 5, F 3 (x) = x^2 − 3 ,... son primitivas de la funci´on f (x) = 2x, ya que en todos los casos
F 1 ′(x) = F 2 ′(x) = F 3 ′(x) = · · · = 2x = f (x)
Por tanto, la integral indefinida de f (x) = 2x es ∫ 2 xdx = x^2 + C ♣
Linealidad de la integral La integral indefinida verifica: ∫ [αf (x) + βg (x)] dx = α
f (x)dx + β
g (x)dx
Tipo Logar´ıtmicas
Ejemplo ∫ (^3)
x dx^ = 3
x dx^ = 3 ln^ |x|^ +^ C ∫ (^) x
x^2 + 1
dx =^1 2
∫ (^2) x x^2 + 1
dx =^1 2
ln |x^2 + 1| + C
∫ tg xdx =
∫ (^) sen x cos x
dx = −
∫ (^) − sen x cos x
dx = − ln |cos x| + C
Tipo Exponenciales
Ejemplo ∫ earc tg^ x 1 + x^2
dx =
earc tg^ x^1 1 + x^2
dx = earc tg^ x^ + C
∫ x 3 x^2 dx =^1 2
2 x 3 x^2 dx =^1 2
3 x^2 ln 3
x^2 2 ln 3
Tipo Trigonom´etricas II
Ejemplo ∫ x cos 2 (x^2 + 1)
dx =^12
2 x cos 2 (x^2 + 1)
dx =^12 tan (x^2 + 1) + C
∫ 1 x sen^2 (ln x)
dx =
x sen^2 (ln x)
dx = − cot (ln x) + C
Tipo Inversas de Trigonom´etricas
Ejemplo ∫ (^) ex
1 + e^2 x^ dx^ =
∫ (^) ex 1 + (ex^ )^2 dx^ = arc tg (e
x (^) ) + C
∫ (^) x
1 + x^4
dx =
∫ (^) x 1 + (x^2 )^2
dx =^1 2
∫ (^2) x 1 + (x^2 )^2
dx = 1 2
arc tg (x^2 ) + C
Ejemplo ∫ (x^2 +^2 x^3
x^2 )dx =
x^2 dx + 2
x−^3 dx −
x 23 dx = x^3 3 + 2^
x−^2 − 2 −^
x 53 5 3
x^3 3 −^
x^2 −^
x^5 5 +^ C
∫ (^1)
5 x + 3
dx =^1 5
5 x + 3
dx =^1 5
ln | 5 x + 3| + C
∫ (^) x + 1
1 + x^2 dx^ =
∫ (^) x 1 + x^2 dx^ +
1 + x^2 dx^ = 1 2
2 x 1 + x^2
dx +
1 + x^2
dx =^1 2
ln |x^2 + 1| + arc tg x + C
Se trata de sustituir la variable x por otra variable t relacionadas mediante una funci´on biyectiva y derivable que transforme el integrando en otro m´as sencillo. Se termina el proceso al hallar la integral en t y deshacer el cambio de variable. Forma directa t = g (x) =⇒
f (g (x))g ′(x) dx =
f (t) dt Forma indirecta x = h(t) =⇒
f (x) dx =
f (h(t))h′(t) dt
Ejemplo Integrales inmediatas por sustituci´on
1
x(x^2 + 5)^25 dx = t^ = (x
∫^ dt^ = 2x dx^ = t^25 dt 2 =^12
t^25 dt =^12 t
26 26 =^
t^26 52 =
(x^2 + 5)^26 52 +^ C (^2) o bien∫ x(x^2 + 5)^25 dx =^12
2 x(x^2 + 5)^25 dx =^12 (x
Ejemplo ∫ x ex^ dx= (^) dvu =^ = e^ xx (^) dx duv == edxx = x ex^ −
ex^ dx =
x ex^ − ex^ + C
∫ ln xdx = u^ = ln^ x^ du^ =
x
dx dv = dx v = x
= x ln x −
dx = x ln x −x +C
arc tg xdx = u^ = arc tg^ x^ du^ =^
1 + x^2
dx dv = dx v = x
= x arc tg x −
∫ (^) x 1 + x^2
dx = x arc tg x − 1 2
∫ (^2) x 1 + x^2
dx
= x arc tg x −
2 ln(x
Para la elecci´on de u utilizaremos la regla mnemot´ecnica “ALPES” que nos dice que la prioridad es:
u −→
A:funciones Arcos (arcoseno, arcocoseno, arcotangente)
L: funciones Logar´ıtmicas (loga, Ln, log )
P: funciones Polinomios
E: funciones Exponenciales (ex^ , ax^ )
S: funciones Seno, coseno
Ejemplo Integraci´on por partes de tipo c´ıclico ∫ ex^ cos xdx = u^ =^ e
x (^) du = ex (^) dx dv = cos xdx v = sen x =
ex^ sen x −
ex^ sen xdx
Al aplicar la integraci´on por partes a la integral resultante obtenemos la integral de partida: ∫ ex^ sen xdx = u^ =^ e
x (^) du = ex (^) dx dv = sen xdx v = −cos x =
−ex^ cos x +
ex^ cos xdx
Esto nos permite obtener una ecuaci´ ∫ on:
ex^ cos xdx = ex^ sen x −
−ex^ cos x +
ex^ cos xdx
ex^ sen x + ex^ cos x −
ex^ cos xdx
Ejemplo Integraci´on por partes de tipo c´ıclico Si llamamos I a la integral original podemos despejar la integral buscada
I = ex^ sen x + ex^ cos x − I =⇒ 2I = ex^ sen x + ex^ cos x
=⇒ I = e
x (^) sen x + ex (^) cos x 2
Por tanto
ex^ cos xdx = e
x (^) sen x + ex (^) cos x 2
