espacios vectoriales, Ejercicios de Matemática Empresarial

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Matemáticas Empresariales

Tema 1: Espacios Vectoriales

Universidad Rey Juan Carlos Matemáticas Empresariales Tema 1: Espacios Vectoriales Universidad Rey Juan Carlos Idea e “Flechas” del plano Usadas para representar magnitudes “con dirección”: velocidad, fuerza,... Se suman: regla del paralelogramo Se multiplican por un número: “prolongación” del vector e Espacio vectorial = conjunto con operaciones parecidas Matemáticas Empresariales — Tema 1 — Espacios Vectoriales 2 Universidad Rey Juan Carlos Definición * Definición: Un espacio vectorial sobre el cuerpo k es un conjunto Y con dos operaciones (una interna y otra externa) suma uv EV ———ou+v eV producto escalar por vector cueV ueV, cel de modo que se satisfacen los siguientes axiomas: 1) u+v=v+4u Vu,veV 2) + Gm) = (a+) + w Vo, v,weV 3) existe un vector 0 eV tal que 0+v4=v VveW 4) Wu eV An) eV tal que 7 +(=4)=0 Matemáticas Empresariales — Tema 1 — Espacios Vectoriales Universidad Rey Juan Carlos S) c(U+v)=c:U+c-v Week Vu, veV 6) (e +0, U=c,U+c, 4 We,.c, el Vu eV DTD 0 (e, u)=(c c,).u We,,c, Ek Vu eV 8) lu =4 Vu eV e Notación: vectores (elementos de Y ) y escalares (elementos de k ) Ejemplos + Ejemplo: El conjunto R* = ((x,.1,) XX, € Rj con las operaciones (x,.,) +09) = (X, +31.) + 9) A (x,1,)=(4x,.4x,). AsR. Matemáticas Empresariales — Tema 1 — Espacios Vectoriales 5 Universidad Rey Juan Carlos e Ejemplo: Consideramos el conjunto IR? con las operaciones siguientes (1.2).04.9,) ER”. (5.)+ 01. Ya) = (4 +92 + y2) 2€R,(x,.1,)€R”, 40(x,,x,)=(4x,,0). La tripla (R”,+,0) NO tiene estructura de R -espacio vectorial porque 1063,2)=(G3,0)+(3,2). e Teorema: Sea Y un k -espacio vectorial, y eV, 4 e k. Entonces: . 0-%=0 . 4:-0=0 . EDá=- . 4=0=>4=0657=0 Matemáticas Empresariales — Tema 1 — Espacios Vectoriales 7 Universidad Rey Juan Carlos Combinación lineal de vectores e Definición: Si Y es un k -espacio vectorial, decimos que un vector weY es una combinación lineal de v,....,1. EV si w=4, 1, +-+A, *v, para algunos Ap-,% Ek. » Ejemplo: En R' todo vector se puede escribir como combinación lineal de 7 =(10,0),7 =(0,1.0).% =(0,0.1): v=(a,b,c)=a:i+b:¡+ek. Matemáticas Empresariales — Tema 1 — Espacios Vectoriales 8 Universidad Rey Juan Carlos e Ejemplo: el conjunto (7 =(1.0,0), 7 =(0,1,0),/ =(0,0,1)) es linealmente . 5 independiente en R”: A(1,0,0)+ 2, -(0,L0)+2,-(0,0,1)=(0,0.0)=-- <= (4,4,.4,)=(0,0,0) 5 4 =0,4, =0,2, =0. e Teorema: Sea Y un espacio vectorial y S