Análisis Matemático de Funciones: Derivadas Parciales, Convexidad y Homogeneidad, Apuntes de Matemática Empresarial

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MATEMATICA EMPRESARIAL

Diplomatura en Ciencias Empresariales

Parte 3

Profesora: Carmen Juan Martnez

Grupo SS. Curso 2006-

Tema 6

Funciones compuestas y homog´eneas

6.1 Derivaci´on de funciones compuestas

Definici´on Si f : A ⊂ Rn^ −→ Rm^ y g : B ⊂ Rm^ −→ Rk^ son funciones tales que f[A] ⊂ B, es decir, tales que las im´agenes por f de los puntos de A est´an en B, podemos calcular la funci´on compuesta, g ◦ f : A ⊂ Rn^ −→ Rk^ definida como la funci´on dada por (g ◦ f)(¯x) = g(f(¯x)).

En otras palabras, g ◦ f es la funci´on que a cada punto ¯x le asigna el resultado de aplicar f a ¯x y despu´es aplicar g al resultado f(¯x). Veamos ejemplos.

Ejemplo La demanda de una empresa D est´a en funci´on de los precios p 1 y p 2 a los que vende sus dos art´ıculos. A su vez, la empresa fija estos precios en funci´on de los precios q 1 y q 2 de las materias primas que emplea en su fabricaci´on. Digamos que D(p 1 , p 2 ) = 50/(p 1 p 2 ), donde a su vez p 1 = 3q 1 + q 2 , p 2 = q 1 + 2q 2. La composici´on de estas funciones es la funci´on D(q 1 , q 2 ) que nos da la demanda de la empresa en t´erminos de los precios q 1 y q 2 de las materias primas. En este caso

D(q 1 , q 2 ) =

(3q 1 + q 2 )(q 1 + 2q 2 )

En la pr´actica, calcular una composici´on de funciones se reduce a sustituir unas funciones en otras. Es muy importante no confundir la funci´on D(p 1 , p 2 ) con la funci´on compuesta D(q 1 , q 2 ). Es frecuente que se use el mismo nombre para ambas (en este caso D), y entonces se distinguen por las variables.

Regla de la cadena Se conoce como regla de la cadena una serie de f´ormulas que nos permiten calcular las derivadas parciales de una funci´on compuesta sin obtener expl´ıcitamente su expresi´on anal´ıtica. Para llegar a la expresi´on general de la regla de la cadena, vamos a hacerlo a trav´es de casos m´as sencillos que nos llevar´an hasta el caso general.

Caso 1: Supongamos f(u 1 , u 2 ,... , un), donde u 1 = u 1 (x), u 2 = u 2 (x),... , un = un(x). Entonces la funci´on compuesta depender´a ´unicamente de la variable x y, tendr´a sentido, calcular s´olamente una derivada parcial, la cual no es realmente la derivada parcial, sino la derivada como funci´on de una variable. La calcularemos del modo siguiente:

f′(x) =

∂f ∂u 1

A

∂u 1 ∂x

∂f ∂u 2

A

∂u 2 ∂x

∂f ∂un

A

∂un ∂x

donde A = (u 1 (x), u 2 (x),... , un(x)).

TEMA 6. FUNCIONES COMPUESTAS Y HOMOG ´ENEAS 3

Por otra parte calculamos: ∂p 1 ∂q 1

∂p 2 ∂q 1

∂p 1 ∂q 2

∂p 2 ∂q 2

Sustituimos en las correspondientes expresiones y obtenemos las dos derivadas parciales de la funci´on compuesta: ∂D ∂q 1

(3q 1 + q 2 )^2 (q 1 + 2q 2 )

(3q 1 + q 2 )(q 1 + 2q 2 )^2

∂D

∂q 1

(3q 1 + q 2 )^2 (q 1 + 2q 2 )

(3q 1 + q 2 )(q 1 + 2q 2 )^2

Caso general: Supongamos f(u 1 , u 2 ,... , un), donde u 1 = u 1 (x 1 ,... , xm), u 2 = u 2 (x 1 ,... , xm),.. ., un = un(x 1 ,.. ., xm). Entonces la funci´on compuesta depender´a de las variables x 1 ,.. ., xm, y tendr´a sentido, calcular m derivadas parciales mediante las expresiones siguientes:

∂f ∂x 1

∂f ∂u 1

A

∂u 1 ∂x 1

∂f ∂u 2

A

∂u 2 ∂x 1

∂f ∂un

A

∂un ∂x 1

∂f ∂x 2

∂f ∂u 1

A

∂u 1 ∂x 2

∂f ∂u 2

A

∂u 2 ∂x 2

∂f ∂un

A

∂un ∂x 2

... ∂f ∂xm

∂f ∂u 1

A

∂u 1 ∂xm

∂f ∂u 2

A

∂u 2 ∂xm

∂f ∂un

A

∂un ∂xm

donde A = (u 1 (x), u 2 (x),... , un(x)).

Resuelve los Problemas 1 al 13

6.2 Funciones homog´eneas

La homogeneidad es una propiedad de ciertas funciones que tiene inter´es te´orico en algunos modelos econ´omicos. la definici´on es la siguiente:

Definici´on Una funci´on f : D ⊂ Rn^ −→ R definida en un abierto D es homog´enea de grado m ∈ R si para todo ¯x ∈ D y todo λ > 0 tal que λ¯x ∈ D se cumple que f(λx¯) = λm^ f(¯x).

Ejemplo La funci´on f(x, y) = x/y^2 es homog´enea, pues si λ > 0 se cumple

f(λx, λy) = λx λ^2 y^2

x λy^2

= λ−^1 x y^2

= λ−^1 f(x, y).

Concretamente, vemos que f es homog´enea de grado m = −1. Veamos algunas propiedades elementales de las funciones homog´eneas:

TEMA 6. FUNCIONES COMPUESTAS Y HOMOG ´ENEAS 4

Teorema Sean f, g : D ⊂ Rn^ −→ R funciones definidas en un abierto D. Entonces

1. Si f y g son homog´eneas de grado m entonces f + g es homog´enea de grado m.
2. Si f es homog´enea de grado m y α ∈ R, entonces αf es homog´enea de grado m.
3. Si f es homog´enea de grado m y g es homog´enea de grado r, entonces fg es homog´enea de grado m + r.
4. Si f es homog´enea de grado m, g es homog´enea de grado r y g no se anula en D, entonces f/g es homog´enea de grado m − r.
5. Si f es de clase C^1 en D y es homog´enea de grado m, entonces sus derivadas parciales son ho- mog´eneas de grado m − 1.

El resultado principal sobre funciones homog´eneas es el siguiente:

Teorema de Euler Si f : D ⊂ Rn^ −→ R es una funci´on de clase C^1 en un abierto D, entonces f es homog´enea de grado m si y s´olo si

x 1

∂f ∂x 1

• · · · + xn

∂f ∂xn = mf

Resuelve los problemas 14 al 19

6.3 Problemas

1. Sea z = xy, x = u^2 + v, y = u − v. Calcula

∂z ∂u

(1,2)

por la regla de la cadena.

2. Sea w = x^2 + y^2 + z^2 , donde z = x + 2y. Entonces calcula

∂w ∂y

(

3. Sea f(x, y, z) = x^2 − y^3 − z, donde z = x^2 + y^3 + y. Calcula la derivada respecto de y de la funci´on compuesta mediante la regla de la cadena. Comprueba que da lo mismo que si la calculas directamente.
4. Sea h = t^4 , donde t = uv − w^2. Calcula las derivadas parciales de la funci´on compuesta por la regla de la cadena en el punto (u, v, w) = (2, 1 , 1). Calcula la funci´on compuesta y luego calcula directamente sus parciales en dicho punto (sin usar la regla de la cadena). Comprueba que da lo mismo.
5. Si P = x

xyz, y = x + z − 1, calcula sus derivadas parciales en (1, 2) por la regla de la cadena.

6. Sea M = t^2 + s^2 , donde t = x + y − z y s = z + 2y. Calcula las derivadas parciales de M (x, y, z) por la regla de la cadena.
7. Considera la funci´on f(x, y, t) = x cos(y + 2t), donde a su vez y = x^2 + t^3. Calcula las derivadas parciales de la funci´on compuesta por la regla de la cadena.

TEMA 6. FUNCIONES COMPUESTAS Y HOMOG ´ENEAS 6

13. Sea D(p, r, t) la funci´on de demanda de un art´ıculo en un mercado, donde p es el precio, r la renta media de los consumidores y t el tiempo en aos. Actualmente (t = 0) se tiene (p, r) = (5, 14) y D(5, 14 , 0) = 200. Adem´as

∂D ∂t

(5, 14 ,0)

∂D

∂p

(5, 14 ,0)

∂D

∂r

(5, 14 ,0)

(a) Interpreta estas derivadas. (b) Qu´e demanda cabr´ıa esperar dentro de un ao si la renta ha pasado a r = 15 u.m. y el precio a p = 4.5 u.m.?, qu´e hip´otesis sobre D es necesaria para responder a esta pregunta con los datos disponibles? (c) Supongamos que r = r(t) y p = p(t), de modo que

dr dt

0

dp dt

0

Interpreta estas derivadas. (d) Calcula dD(t) dt

0

(e) Interpreta esta derivada explicando especialmente la diferencia con la interpretaci´on de

∂D(p, r, t) ∂t

(5, 14 ,0)

14. Estudia la homogeneidad de las funciones siguientes:

(a) f(x, y) = 4

xy^2 − x^3 , (b) P (r, s) = r + 2s, (c) Q(K, L) = K^3 L^5 ,

(d) g(a, b, c) =

ac^2 + 2b^3 a − b − c

(e) h(u, v) = u^2 + v^4 , (f) t(x, y, z) = x sin(yz).

15. Aplica el teorema de Euler a las funciones del problema anterior.
16. Dada la funci´on f(x, y) = x^3 sin

x/y, estudia su homogeneidad y calcula mediante el teorema de Euler ∂f ∂x

x + ∂f ∂y

y.

17. Estudia la homogeneidad de la funci´on

f(x, y, z) =

x^2 yz

cos

x y

ey/z^.

y calcula ∂f ∂x

x +

∂f ∂y

y +

∂f ∂z

z.

TEMA 6. FUNCIONES COMPUESTAS Y HOMOG ´ENEAS 7

18. Sea f(x, y) = x 2 y/x^ sin

x/y. Estudia su homogeneidad y calcula mediante el teorema de Euler el valor de ∂f ∂x x +

∂f ∂y y.

Es homog´enea la funci´on

∂f ∂x

19. Dada la funci´on

f(x, y, z) = 3

x sin(y/z) y^6 z

Determina si las derivadas parciales de f son homog´eneas, y en caso afirmativo calcula su grado.

TEMA 7. CONVEXIDAD 9

(c) En otro caso A es indefinida.

2. En el caso en que |A| = 0:

(a) Si los menores principales son todos ≥ 0 entonces A se dice que es semidefinida positiva. (b) Si los menores principales tienen signos alternados empezando por negativo o son cero

A 1 ≤ 0 , A 12 ≥ 0 A 123 ≤ 0 , · · ·

entonces A se dice que es semidefinida negativa. (c) En otro caso A es indefinida.

Nota Para aplicar este criterio, en primer lugar tenemos que calcular el determinante de la matriz para saber si tenemos que utilizar los menores principales o los menores principales conducentes. Por ejemplo, si A es una matriz 3 × 3 y |A| 6 = 0, utilizaremos ´unicamnete sus 3 menores principales conducentes. Sin embargo, si |A| = 0, entonces tendremos que utilizar para clasificarla sus 7 menores principales.

Resuelve el problema 1.

7.2 Conjuntos convexos

Definici´on Si ¯p 6 = ¯q son dos puntos de Rn, el segmento que une ¯p y ¯q est´a formado por los puntos ¯x de la forma x¯ = λp¯ + (1 − λ)¯q, 0 ≤ λ ≤ 1.

Ejemplo Utilizando la definici´on de segmento anterior, representa gr´aficamente el segmento que une (2, 4) y (6, 8). El segmento viene dado por la expresi´on λ(2, 4) + (1 − λ)(6, 8), donde λ toma valores entre 0 y 1. Para poder representar gr´aficamente, dando valores a λ generamos una serie de puntos del segmento:

• λ = 0 → (6, 8)
• λ = 1/ 4 → 1 / 4 · (2, 4) + 3/ 4 · (6, 8) = (5, 7)
• λ = 1/ 2 → 1 / 2 · (2, 4) + 1/ 2 · (6, 8) = (4, 6)
• λ = 3/ 4 → 3 / 4 · (2, 4) + 1/ 4 · (6, 8) = (3, 5)
• λ = 1 → (2, 4)

Definici´on Se dice que un conjunto C ⊂ Rn^ es convexo si cuando ¯x, ¯y ∈ C y 0 ≤ λ ≤ 1, entonces λx¯ + (1 − λ)¯y ∈ C. Es decir, C es convexo si cuando contiene dos puntos contiene tambi´en a todos los puntos del segmento que los une. Se considera que Ø y los conjuntos con un solo punto ¯x son convexos.

La importancia de los conjuntos convexos viene dada por el hecho de que aparecen en el siguiente contexto:

Ejercicio Una empresa tiene capapcidad para producir hasta un maximo de 400 unidades de un pro- ducto A y hasta un m´aximo de 200 unidades de un producto B. El coste unitario de 2 u.m., y el de B es de 1 u.m. Adem´as hay unos costes fijos de 100 u.m. El presupuesto disponible de la empresa es de 700 u.m., el cual no es necesario que lo utilice en su totalidad. Representa gr´aficamente el conjunto de oportunidades, es decir, el conjunto de todas las posibles planificaciones de producci´on. ¿ Es un conjunto convexo?

Resuelve los Problemas 4, 5 y 6.

TEMA 7. CONVEXIDAD 10

7.3 Funciones c´oncavas y convexas

Definici´on Sea f : D ⊂ Rn^ −→ R una funci´on definida sobre un conjunto convexo D. Diremos que f es una funci´on convexa si cuando ¯x, y¯ ∈ D y 0 ≤ λ ≤ 1, se cumple que

f(λx¯ + (1 − λ)¯y) ≤ λf(¯x) + (1 − λ)f(¯y).

Es decir, que la imagen del segmento es menor o igual que el segmento de las imagenes. Si se da la relaci´on f(λx¯ + (1 − λ)¯y) ≥ λf(¯x) + (1 − λ)f(¯y),

es decir, que la imagen del segmento es mayor o igual que el segmento de las imagenes, entonces diremos que f es una funci´on c´oncava.

Teorema Las funciones lineales, es decir, las funciones de la forma g(x 1 ,.. ., xn) = a 1 x 1 +... + anxn son simult´aneamente c´oncavas y convexas.

Teorema Sea f : D ⊂ Rn^ −→ R una funci´on continua con derivadas parciales continuas hasta orden 2 sobre un conjunto convexo (abierto) D.

1. Si Hf(¯x) es definida positiva o semidefinida positiva en todo punto ¯x ∈ D, entonces f es una funci´on convexa en D.
2. Si Hf(¯x) es definida negativa o semidefinida negativa en todo punto ¯x ∈ D, entonces f es una funci´on c´oncava en D

Resuelve el Problema 2.

Principales conjuntos convexos Los principales conjuntos convexos con los que vamos a trabajar son los siguientes:

• Hiperplanos → S = {(x 1 ,... , xn) ∈ Rn^ | a 1 x 1 +... + anxn = α}
• Semiespacios → S = {(x 1 ,... , xn) ∈ Rn^ | a 1 x 1 +... + anxn ≤ (≥, <, >) α}
• Conjuntos de nivel superior donde la funci´on g(x 1 ,... , xn) que los define es una funci´on c´oncava → S = {(x 1 ,.. ., xn) ∈ Rn^ | g(x 1 ,... , xn) ≥ α}
• Conjuntos de nivel inferior donde la funci´on g(x 1 ,... , xn) que los define es una funci´on convexa → S = {(x 1 ,.. ., xn) ∈ Rn^ | g(x 1 ,... , xn) ≤ α}

Resuelve el Problema 3.

7.4 Problemas

1. Estudia el signo de la matriz hessiana de las siguientes funciones:

(a) f 1 (x, y, z) = 12x^2 + 8y^2 + 5z^2 + 3xy − xz + 5yz (Definida positiva: A 1 = 24, A 12 = 375 y A 123 = 2354) (b) f 2 (x, y, z) = − 5 x^2 − 2 y^2 − 8 z^2 + 4xy + xz + yz (Definida negativa: A 1 = − 10 , A 12 = 24 y A 123 = 188) (c) f 3 (x, y, z) = 5x^2 − 2 y^2 − 2 xy − 2 xz + yz (Indefinida: A 1 = 10, A 12 = − 44 y A 123 = 14)

TEMA 7. CONVEXIDAD 12

4. Un carpintero dispone de 20 m^2 de cristal y 30 m^2 de madera con los que puede fabricar dos modelos de mesas en cantidades x e y respectivamente. Las necesidades de madera y cristal para cada modelo vienen dadas por la tabla siguiente:

Mod. 1 Mod. 2 Cristal 1 2 Madera 2 1

Suponiendo que no es necesario que agote las existencias de cristal y madera, representa gr´aficamente el conjunto de oprtunidades con todas las planificaciones posibles de producci´on para los dos modelos de mesas. Razona que se trata de un conjunto convexo.

5. Una empresa sirve su producto a dos mercados diferentes, en cantidades x, y. La producci´on total de la empresa es de 200 u.p. diarias y el presupuesto que destina a costes de distribuci´on es de 600 C diarios. Los costes de distribuci´on unitarios en cada mercado son de 2 y 3 C respectivamente. Representa gr´aficamente el conjunto de las posibilidades de distribuci´on que tiene la empresa de acuerdo con estas restricciones. Da un ejemplo de un punto que pertenezca a dicho conjunto, y un ejemplo de otro que no pertenezca. Razona que se trata de un conjunto convexo.
6. Una empresa fabrica dos art´ıculos A y B. La empresa dispone de un total de 1200 horas diarias (que no es necesario que agote en su totalidad) de mano de obra. El tiempo necesario para producir una unidad de cada art´ıculo es de 2 y 1 horas respectivamente. Por otra parte, la empresa ha fijado su nivel de producci´on diaria en 500 unidades como m´ınimo (aunque puede superar esta cifra). Representa gr´aficamente las posibilidades de producci´on de la empresa. Usando el dibujo, escribe tres posibles planificaciones de producci´on distintas. Razona que se trata de un conjunto convexo.

Tema 8

Programaci´on Matem´atica.

Programaci´on Cl´asica

En este tema estudiaremos la resoluci´on de los llamados problemas de programaci´on matem´atica, consistentes en encontrar los puntos donde una funci´on dada toma su valor m´aximo o m´ınimo de entre los puntos que cumplen unas restricciones dadas.

8.1 Introducci´on a la programaci´on matem´atica

Consideremos un ejemplo sencillo, pero t´ıpico, de lo que es un problema de programaci´on matem´atica:

Ejemplo Un consumidor puede adquirir dos bienes A y B en cantidades x e y, y la utilidad que obtiene con dicha adquisici´on viene dada por la funci´on U (x, y) = x^2 + y^2. Determinar la cantidad que debe comprar de cada art´ıculo para maximizar la utilidad si el precio unitario de A es de 2 C, el precio de B es de 1 C, y su presupuesto es de 10 C.

Como ya vimos en los primeros temas, el primer paso para resolver este tipo de problemas es mod- elizarlos, es decir, escribirlos matem´aticamente en t´erminos de unas variables, unas restricciones y una funci´on objetivo. En este caso la modelizaci´on del problema es:

Max. x^2 + y^2 Funci´on objetivo s.a 2 x + y ≤ 10 Restricciones x, y ≥ 0 Condiciones de no negatividad

Este ejemplo nos permite ilustrar cual es la estructura b´asica de un problema de programaci´on matem´atica: Max.(Min.) FUNCIN OBJETIVO s.a RESTRICCIONES (≤ ≥ =) CONDICIONES DE NO NEGATIVIDAD

Sus principales elementos son:

• FUNCIN OBJETIVO: En un contexto econ´omico suele cuantificar los ingresos, los costes, los ben- eficios, la utilidad del consumidor ... y es aquel elemento del modelo que se desea maximizar (es decir, obtener su mayor valor posible) o minimizar (es decir, obtener su menor valor posible).
• RESTRICCIONES: Constituyen el conjunto de limitaciones cuantitativas que debemos tener en cuenta a la hora de encontrar el m´aximo (o el m´ınimo) de nuestra funci´on objetivo. En un contexto econ´omico suelen hacer referencia a limitaciones de tipo presupuestario, limitaciones de disponibili- dad de materias primas o recursos humanos, disposiciones legales sobre l´ımites m´aximos o m´ınimos...

TEMA 8. PROGRAMACI ´ON MATEM ´ATICA. PROGRAMACI ´ON CL ´ASICA 15

Definici´on Consideremos una funci´on objetivo f : Rn^ −→ R y un conjunto de oportunidades S ⊂ Rn. Sea ¯x∗^ ∈ S.

• Diremos que ¯x∗^ es un m´aximo global de f en S si para todo ¯x ∈ S se cumple f(¯x∗^ ) ≥ f(¯x), es decir, si el valor f(¯x∗^ ) no es superado (aunque tal vez sea igualado) por ninguna otra soluci´on factible.
• Diremos que ¯x∗^ es un m´aximo local de f en S si el valor f(¯x∗) no es superado (aunque tal vez sea igualado) por ninguna soluci´on factible cercana a ¯x∗^ (es decir, si existe un  > 0 tal que para todo x¯ ∈ S que cumpla ‖x¯ − x¯∗‖ <  se tiene f(¯x∗^ ) ≥ f(¯x)).
• Diremos que ¯x∗^ es un m´ınimo global de f en S si para todo ¯x ∈ S se cumple f(¯x∗^ ) ≤ f(¯x), es decir, si el valor f(¯x∗^ ) es es superado (aunque tal vez sea igualado) por cualquier otra soluci´on factible.
• Diremos que ¯x∗^ es un m´ınimo local de f en S si para todo ¯x ∈ S se cumple f(¯x∗) ≤ f(¯x), es decir, si el valor f(¯x∗) es es superado (aunque tal vez sea igualado) por cualquier otra soluci´on factible cercana a ¯x∗^ (es decir, si existe un  > 0 tal que para todo ¯x ∈ S que cumpla ‖¯x − x¯∗‖ <  se tiene f(¯x∗) ≤ f(¯x)).

Vamos a abordar en dos fases el estudio de los problemas de programaci´on matem´atica con restric- ciones lineales. En la primera fase, desarrollada en el apartado siguiente, aprenderemos a resolver los problemas de optimizaci´on sin restricciones o con restricciones lineales de igualdad. En el apartado 8. 3 incorporaremos desigualdades a los problemas y modelizaremos sencillos enunciados econ´omicos.

8.2 Programaci´on Cl´asica

Los problemas de programaci´on matem´atica con restricciones s´olamente de igualdad reciben un nom- bre espec´ıfico.

Definici´on Diremos que un problema de programaci´on matem´atica es de programaci´on cl´asica si s´olo tiene restricciones de igualdad (admitiendo la posibilidad de que no tenga ninguna restricci´on).

El primer paso para resolver un problema de programaci´on cl´asica es calcular la llamada funci´on lagrangiana del problema:

Definici´on Llamaremos funci´on lagrangiana de un problema de programaci´on cl´asica definido por una funci´on objetivo F (¯x) y unas restricciones g 1 (¯x) = b 1 ,... , gm(¯x) = bm a la funci´on

L(¯x, λ¯) = F (¯x) + λ 1 (b 1 − g 1 (¯x)) + · · · + λm (bm − gm (¯x)).

Observemos que la funci´on lagrangiana tiene las variables x 1 ,.. ., xn del problema dado m´as una nueva variable λi por cada restricci´on del problema. A estas variables λ 1 se las llama multiplicadores de lagrange del problema.

Ejemplo Escribe la funci´on lagrangiana de los ejercicios del problema 1 y del problema 2.

Definici´on Llamaremos punto cr´ıtico de un problema de programaci´on cl´asica a un punto ¯p tal que:

1. Es un punto factible, es decir, ¯p cumple las restricciones del problema.
2. El punto ¯p cumple que ∂L ∂xi

p¯

siendo L la lagrangiana del problema y x 1 ,... , xn las variables originales del problema.

TEMA 8. PROGRAMACI ´ON MATEM ´ATICA. PROGRAMACI ´ON CL ´ASICA 16

Ejemplo Obt´en los puntos cr´ıticos de los ejercicios del problema 1 y del problema 2.

Veamos a continuaci´on la utilidad de los puntos cr´ıticos en base a su relaci´on con los ´optimos del problema.

Condici´on necesaria de optimalidad Si p¯ es un ´optimo local de un problema de programaci´on cl´asica definido por funciones de clase C^2 y con restricciones todas ellas lineales, entonces ¯p es necesariamente un punto cr´ıtico.

En un problema de programaci´on cl´asica con restricciones lineales como los que vamos a estudiar, la soluci´on ´optima que buscamos (si existe) ser´a uno de los puntos cr´ıticos. Ahora bien, pueden existir puntos cr´ıticos que no sean ´optimos y problemas con puntos cr´ıticos pero sin ´optimo (problemas no acotados). Tendremos que aprender a identificar estas situaciones.

As´ı pues necesitamos un criterio para determinar si un problema dado tiene o no soluci´on ´optima y, en el caso de que s´ı la tenga, cu´al de los puntos cr´ıticos es el ´optimo. A este tipo de criterios se les llama condiciones suficientes de optimalidad. Vamos a estudiar s´olamente dos, que nos van a permitir concluir cual es el ´optimo global del problema. Existen otras condiciones suficientes pero s´olo nos permiten asegurar el caracter de ´optimo local del punto critico. La primera condici´on suficiente se basa en la definici´on de variable acotada y en el Teorema de Weierstrass.

Definici´on Diremos que las variables de un problema est´an acotadas si las restricciones obligan a que, para cada una de ellas, haya un valor m´aximo y un valor m´ınimo que no pueda ser rebasado.

Ejemplo En nuestro ejemplo de partida, con restricciones 2x + y ≤ 10, x ≥ 0, y ≥ 0, es evidente que las variables satisfacen las cotas: 0 ≤ x ≤ 5 , 0 ≤ y ≤ 10.

Teorema de Weierstrass Todo problema de programaci´on matem´atica definido por funciones contin- uas y con variables acotadas tiene ´optimo global.

Condici´on suficiente de optimalidad 1 Consideremos un problema de programaci´on cl´asica definido por funciones de clase C^2 , con restricciones todas ellas lineales y con variables acotadas. Entonces el problema tiene ´optimo global (m´aximo o m´ınimo) y adem´as, por la condici´on necesaria, ´este deber´a ser uno de los puntos cr´ıticos del problema.

La segunda condici´on suficiente se basa en los conceptos de concavidad y convexidad que estudiamos en el tema 7.

Condici´on suficiente de optimalidad 2 Consideremos un problema de programaci´on cl´asica que cumpla las dos condiciones siguientes:

1. El conjunto de oportunidades es convexo.
2. La funci´on objetivo es c´oncava (si el problema es de maximizar) o convexa (si es de minimizar).

Entonces todos los puntos cr´ıticos del problema son ´optimos globales.

Resuelve los problemas 1, 2 y 3 de la colecci´on de problemas.

TEMA 8. PROGRAMACI ´ON MATEM ´ATICA. PROGRAMACI ´ON CL ´ASICA 18

8.4 Interpretaci´on econ´omica de los multiplicadores

Al resolver un problema de programaci´on matem´atica utilizando la funci´on lagrangiana no s´olo obten- emos la soluci´on ´optima, sino tambi´en unos valores para los multiplicadores de Lagrange. Resulta que estos multiplicadores tienen una interpretaci´on econ´omica que conviene conocer:

Interpretaci´on de los multiplicadores de Lagrange Consideremos un problema de programaci´on matem´atica definido por funciones de clase C^1 y un ´optimo local ¯x∗^ con vector de multiplicadores λ¯. Entonces, el multiplicador λ asociado a una restricci´on con t´ermino independiente b representa el incre- mento que experimentar´ıa el valor ´optimo de funci´on objetivo si incrementamos el t´ermino independiente b. Si suponemos que b experimenta un incremento ∆b, el valor ´optimo de la funci´on objetivo experimen- tar´a un incremento aproximadamente igual a

∆f∗^ ≈ λ · ∆b.

Esta aproximaci´on s´olo ser´a aceptable para incrementos marginales de b, esto es, para incrementos pequeos en comparaci´on con el valor de b.

Ejemplo Consideremos el problema 4:

Max. ln (1 + xy) s.a 2 x + y = 12 x, y ≥ 0.

Hemos visto que la soluci´on ´optima es (x, y, λ 1 , μ 1 , μ 2 ) = (3, 6 , 0. 16 , 0 , 0). El valor λ = 0.16 significa que por cada unidad que aumente el presupuesto del consumidor la utilidad ´optima aumentar´a en λ·∆b =

1. 16 ∗ 1 = 0.16 unidades.

8.5 Conclusiones

En este tema hemos descrito la metodolog´ıa b´asica para abordar los problemas de programaci´on matem´atica. Nos hemos limitado a un tipo particular de problemas y hemos modelizado enunciados muy sencillos. Ahora bien, resulta l´ogico plantearse con qu´e dificulatades nos encontrar´ıamos si quisieras abordar un problema general de programaci´on matem´atica. Enumeremos algunas de ellas, las cuales las podemos intuir a partir de las t´ecnicas de resoluci´on que hemos aprendido:

• Los sistemas que hay que resolver para calcular los puntos cr´ıticos son muy grandes para ser resueltos manualmente, o bien, involucran funciones no lineales y su resoluci´on es muy compleja.
• No se cumple la condici´on necesaria, por lo que no podemos asegurar que el c´alculo de los puntos cr´ıticos aporte ninguna informaci´on valiosa para la resoluci´on del problema.
• Aunque se verifica la condici´on necesaria y hemos obtenido los puntos cr´ıticos, ninguna de las condiciones suficientes que conocemos se cumple. No podemos asegurar que nuestro problema tenga ´optimo global.

Para poder resolver estas dificultades se han desarrollado t´ecnicas espec´ıficas basadas, entre otros, en los resultados te´oricos que habeis visto. Dichas t´ecnicas, a su vez, han sido implementadas en software comercial, diseado para la resoluci´on de problemas de programaci´on matem´atica de tamao considerable. Vamos a ver un ejemplo a modo de ilustraci´on de lo que podr´ıa ser un problema real de programaci´on matem´atica en el campo de la log´ıstica. Este problema ha sido extraido de la colecci´on de problemas de la asignatura Programaci´on Matem´atica.

TEMA 8. PROGRAMACI ´ON MATEM ´ATICA. PROGRAMACI ´ON CL ´ASICA 19

Ejemplo La ciudad 1 produce diariamente 500 Tm. de basura y la ciudad 2 produce 400 Tm. Hay dos quemadores para destruir la basura, en cada uno de los cuales se puede incinerar hasta 500 Tm. de basura al d´ıa. El coste de quemar basura en el quemador 1 es de 40 $/Tm. y en el quemador 2 es de 30 $/Tm. La incineraci´on reduce cada tonelada de basura a 0.2 Tm. de desechos que hay que tirar en uno de dos basureros disponibles. Cada basurero puede recibir como m´aximo 200 Tm. de desechos al d´ıa. El coste de transportar una tonelada de basura o de desechos es de 3 $/milla, y las tablas siguientes contienen las distancias en millas entre las ciudades y los quemadores y entre los quemadores y los basureros.

Quemador 1 Quemador 2 Ciudad 1 30 5 Ciudad 2 36 42

Basurero 1 Basurero 2 Quemador 1 5 8 Quemador 2 9 6

¿Cu´anta basura deber´a quemarse en cada quemador y cu´antos desechos deber´an llevarse a cada basurero para minimizar los costes?

El modelo m´atem´atico de este problema es el siguiente:

Min. 40 ∗ C 1 Q1 + 40 ∗ C 2 Q1 + 30 ∗ C 1 Q2 + 30 ∗ C 2 Q 2 Coste total basura y desechos +90 ∗ C 1 Q1 + 15 ∗ C 1 Q2 + 108 ∗ C 2 Q1 + 126 ∗ C 2 Q 2 +15 ∗ Q 1 B1 + 24 ∗ Q 1 B2 + 27 ∗ Q 2 B1 + 18 ∗ Q 2 B 2 s.a C 1 Q1 + C 1 Q2 = 500 Basura Ciudad 1 a cada Quemador C 2 Q1 + C 2 Q2 = 400 Basura Ciudad 2 a cada Quemador C 1 Q1 + C 2 Q 1 ≤ 500 Basura recibida en Quemador 1 C 1 Q2 + C 2 Q 2 ≤ 500 Basura recibida en Quemador 2

1. 2 ∗ C 1 Q1 + 0. 2 ∗ C 2 Q1 = Q 1 B1 + Q 1 B 2 Desechos generados en Quemador 1
2. 2 ∗ C 1 Q2 + 0. 2 ∗ C 2 Q2 = Q 2 B1 + Q 2 B 2 Desechos generados en Quemador 2 Q 1 B1 + Q 2 B 1 ≤ 200 Desechos llevados al Basurero 1 Q 1 B2 + Q 2 B 2 ≤ 200; Desechos llevados al Basurero 2 C 1 Q 1 , C 1 Q 2 , C 2 Q 1 , C 2 Q 2 , Q 1 B 1 , Q 1 B 2 , Q 2 B 1 , Q 2 B 2 ≥ 0 No negatividad

Veamos como se resolver´ıa utilizando Excel.

8.6 Problemas

1. Resuelve: Min. x^2 + xy + y^2 − 6 x + 2, Max. x^2 + xy + y^2 + x + 5y,

Min. 3x^2 + 5y^2 + 5z^2 + 2yz + 6zx − 2 xy, Max. 4x − 6 y − x^2 − 2 y^2.

2. Encuentra los extremos globales de los problemas siguientes:

Max. (Min.) 3 x^2 + xy + 4y^2 s.a. 3 x + y = 6

Max.(Min.) x^2 + y^2 + z^2 + t^2 s.a. x + y + z + t = 1

Max.(Min.) x^2 + y^2 + z^2 − 2 x − 2 y s.a. x + y − 2 z = 0 y − x = 0

3. Calcular los m´aximos y los m´ınimos de la funci´on u(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 , sujeta a las restricciones

x − y = 2 z x + y + z = 1

4. Un consumidor puede adquirir dos bienes A y B en cantidades x e y, y la utilidad que obtiene con dicha adquisici´on viene dada por la funci´on U (x, y) = ln(1 + xy). Determinar la cantidad que debe comprar de cada art´ıculo para maximizar la utilidad si el precio unitario de A es de 2 C, el precio de B es de 1 C, y su presupuesto es de 12 C.