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cmge - Números 1
Números
A lo largo de la historia, diversos sistemas de números han ido surgiendo debido, en parte, a las necesida- des del momento. Más tarde, las matemáticas se han encargado de darle un sentido riguroso a la construcción de cada uno de esos sistemas de números. En esta exposición combinamos ambos puntos de vista, el histó- rico y el riguroso (aunque no tanto), para introducir los distintos conjuntos de números con los que vamos a trabajar. Los Números Naturales (N) surgen en los albores de la humanidad por la necesidad de contar. Estos son el 0, 1, 2, 3,.... En realidad, el cero, como número, puede incluirse (como hemos hecho nosotros), o no, en el con- junto de los números naturales. Depende, en muchos casos de las preferencias del autor o de la conveniencia de incluirlo o no según el asunto que se vaya a tratar. Como curiosidad, cabe decir que el cero, como número, no apareció en Occidente hasta fechas bien cercanas al primer milenio d.C.. Fue traído por los árabes desde la India. Los números naturales se caracterizan por tener un primer elemento, en este caso el 0, y luego porque para cada número n en N, el siguiente, n + 1, también está en N. Esta propiedad caracterizadora es la que se conoce como Principio de Inducción , de la que hablaremos más adelante. En el conjunto de los números naturales podemos sumar, multiplicar e, incluso, tenemos establecido un orden: dados dos números naturales, sabemos quién de los dos es el más pequeño. Un subconjunto distin- guido de N es el formado por los números pares {0, 2, 4,... }, o sea el conjunto de los números divisibles por 2. Todo número par es de la forma 2 n siendo n un número natural. Otro subconjunto distinguido de N es el de los números impares, {2 n + 1 : n ∈ N} = {1, 3, 5,... }. Hay otros subconjuntos de números naturales que pode- mos tener en cuenta, como por ejemplo, los múltiplos de 3, o los múltiplos de 7, o los números naturales que al dividirlos por 7 dan de resto 3. En especial, destacamos el conjunto de los números primos formado por aquellos números naturales que solo son divisibles por 1 y por sí mismos, {1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,... }. Preguntas: ¿Cuántos números naturales hay, una cantidad finita o infinita? ¿Cuántos números pares hay? ¿Cuántos números primos? La resta no está completamente definida en N: 3 − 5 no tiene cabida en N. Por eso necesitamos ampliar el conjunto de los números naturales, añadiéndole los números negativos. Pasamos entonces a considerar el conjunto de los Números Enteros Z = {... , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,... }, donde la resta, como operación “inversa” de la suma, está bien definida. Claramente, en el conjunto Z volvemos a observar una deficiencia: la división no siempre tiene sentido. De ahí surge la necesidad de ampliar el conjunto Z al conjunto de los Números Racionales Q =
{ (^) m n :^ m^ ∈^ Z,^ n^ ∈ N, n 6 = 0
, formado por todas las fracciones con numerador un número entero y denominador un número natural distinto de cero. En este conjunto la división, como operación inversa del producto, tiene perfecto sentido, siempre y cuando dividamos por un número distinto de cero. ¡No está permitido dividir por cero! En realidad los números racionales positivos surgieron mucho antes en la historia que los enteros nega- tivos. Esto se debe a que los racionales positivos sirven para medir: el pie de una persona puede medir un palmo y medio, o sea, 1 pie = 1.5 palmos =
palmos = 32 palmos. En nuestra exposición, hemos puesto los racionales tras los enteros por seguir un poco la lógica que se sigue en las matemáticas rigurosas. Dicho esto, observamos que existe una gran analogía entre los números racionales y los puntos de una recta. ¡Pode- mos utilizar los números racionales para construir una regla sobre una recta! Basta con señalar en la recta dos puntos, a uno de ellos lo llamamos 0 y al otro lo llamamos 1. De esta manera obtenemos la unidad con la que podemos “medir” cualquier cantidad racional. Manualidad: Sobre una línea recta que solo contiene el 0 y el 1 representar, solo con regla (no graduada) y compás, los números racionales 1/2, 3/5, 7/5, −2, y −3/2. Una vez hecha la analogía entre Q y la recta podemos darnos cuenta de una deficiencia que se conoce desde los tiempos de Pitágoras. A saber, la medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1 se corresponde con un punto de la recta (porque la podemos dibujar) y nos preguntamos si dicha medida se corresponde con un número racional. Por el teorema de Pitágoras, sabemos que en un triángulo rectángulo, cateto al cuadrado más cateto al cuadrado es igual a la hipotenusa al cuadrado. Usando esto, observamos que en el cuadrado de lado 1, la diagonal al cuadrado vale 2. Sin embargo, se puede probar sin mucho esfuerzo que no existe ningún número racional cuyo cuadrado sea 2.
Teorema. No existe ningún número racional cuyo cuadrado es 2_._
Demostración. Usaremos la técnica matemática de reducción al absurdo , que consiste en suponer lo contra-
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rio y llegar a una contradicción. Supongamos, pues, por reducción al absurdo, que existe una fracción, que
podemos suponer irreducible, p q , con^ p ,^ q^ ∈^ N^ primos entre sí,^ q^^6 =^ 0, tal que^
( (^) p q
= 2, o sea, que p^2 = 2 q^2. De
aquí se sigue que p^2 es par, o sea, es divisible por 2. Pero en la factorización en números primos de p^2 (y de cualquier número cuadrado) todo factor primo debe aparecer un número par de veces. Como antes hemos dicho que el 2 está en dicha factorización, entonces debe estar un número par de veces, lo que nos indica que en la factorización en números primos de p también debe aparecer el 2. Concluimos entonces que p es un número par, luego es de la forma p = 2 k. Elevando al cuadrado, obtenemos que p^2 = 4 k^2 , pero también es p^2 = 2 q^2. Esto es, 4 k^2 = 2 q^2 , que simplificado queda q^2 = 2 k^2 , lo que nos dice que q^2 es un número par y, por consiguiente, también q es un número par. Esto contradice que la fracción pq es irreducible, pues hemos obte- nido que ambos, numerador y denominador, son números pares. La contradicción proviene de suponer que existe una fracción cuyo cuadrado es 2. Por tanto hemos de admitir que no es posible encontrar una fracción cuyo cuadrado es 2.
Ejercicio. 1.– Probar, por reducción al absurdo , que no existe ningún número racional cuyo cuadrado es 3. 2.– ¿Existe algún número racional cuyo cuadrado sea 6? Razonar la respuesta.
Lo que el teorema anterior nos viene a decir es que la recta racional presenta agujeros. Hay al menos un punto de la recta que no se corresponde con ningún número racional, a saber, un número cuyo cuadrado sea 2 (en verdad, hay al menos dos agujeros, uno en el lado positivo y otro en el lado negativo). Para suplir esta deficiencia es por lo que extendemos el conjunto de los números racionales al conjunto de los números reales. Este conjunto se encarga de rellenar los huecos que los racionales dejan sobre la recta. Los números que corresponden a estos huecos se llaman irracionales.
Definición. Al número real positivo cuyo cuadrado es 2 lo llamamos raíz cuadrada de dos , y lo denotamos con el símbolo
p
Nota. En las matemáticas rigurosas habría que probar, a partir de las propiedades de los números reales, que existe un número real positivo cuyo cuadrado es 2. Estos son resultados que nos desviarían de nuestro foco de atención y, por ello, los omitimos. Por supuesto, también hay un número real negativo cuyo cuadrado es 2, y resulta ser −
p
- Además, ambos,
p 2 y −
p 2, son irracionales. De aquí surgen una serie de definiciones que son relevantes a la hora de trabajar con ellas.
Definición (Raíz cuadrada de un número real positivo). Para cada número real positivo x , existe un único número real positivo cuyo cuadrado es x. A este número lo llamamos raíz cuadrada de x y lo denotamos
p x. Nota: la raíz cuadrada de cero es cero, y los números reales negativos no tienen raíz cuadrada real. Nota: Para cada real positivo x , −
p x es el único real negativo cuyo cuadrado es x.
Ejemplo.
p 4 = 2,
p 8 = 2.828427... ,
p 1.21 = 1.1,
(−2)^2 =
p 4 = 2,
p x^2 =¿?.
Definición (Raíz n -ésima de un número real positivo). Para cada natural n y cada real positivo x , existe un único número real positivo a tal que an^ = x. Dicho número a recibe el nombre de raíz n -ésima de x y lo denotamos por n
p x. Nota: La raíz n -ésima de 0 siempre es 0. Nota: Si n es impar, entonces es posible extender la definición de raíz n -ésima a los números negativos. La raíz n -ésima ( n impar) de un número real negativo x es el único real negativo a tal que an^ = x. Así, por ejemplo, la raíz cúbica de 27 es 3, 3
p 27 = 3, y la raíz cúbica de −27 es −3, 3
p − 27 = −3. Nota: Manipulando las potencias vemos que podemos escribir n
p x como x 1/ n^. Esto da pie a la posibilidad de definir potencias de base real positiva y exponente real, x y^. Animamos al lector que busque en internet una definición adecuada para este tipo de objetos.
Definición (Valor absoluto de un número real). Para cada número real x , definimos el valor absoluto de x , denotado | x |, como la distancia (positiva) entre x y 0. Así, podemos escribir,
| x | =
x si x ≥ 0, − x si x < 0.
Nota: El valor absoluto de un número real es siempre positivo o cero. Es más, | x | = 0 si, y solo si, x = 0. Nota: | x − a | representa la distancia entre x y a. Nota:
p x^2 = | x |
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Los números complejos. Hasta ahora hemos extendido los distintos conjuntos de números a partir de sus deficiencias. Así hemos creado la cadena N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Cada subconjunto de R presentaba una deficiencia que era suplida por su extensión, hasta llegar a R. La pregunta ahora es saber si R tiene deficiencias o no, y en caso de tenerlas, si es posible construir una extensión de R que resuelva tal deficiencia y que mantenga (hasta cierto punto) sus propiedades. La deficiencia la encontramos cuando observamos que el polinomio x^2 + 1 NO tiene raíces reales. Para superarla, ampliamos el conjunto de los números reales a los números complejos,p C. Para ello, hacemos i = −1, le damos entidad de número y la llamamos unidad imaginaria. Luego definimos
C = { z = x + i y : x , y ∈ R}.
La unidad imaginaria i =
p −1 satisface las siguientes propiedades multiplicativas:
i =
p −1, i^2 = −1, i^3 = i^2 · i = − i , i^4 =
i^2
= (−1)^2 = 1, i^5 = i^4 · i = i ,....
La suma y producto de números complejos se definen de manera natural:
( a + i b ) + ( c + i d ) = ( a + c ) + i ( b + d ), ( a + i b ) · ( c + i d ) = ( ac − bd ) + i ( ad + bc ).
x = Re
y = Im 3 4
| z | =
5
z = 4 + 3 i ↔ (4, 3)
θ
El conjunto de los números complejos C se identifica con el conjunto de todos los pares ordenados con entradas reales, esto es, con R^2 = {( x , y ) : x , y ∈ R}. Dicha identificación se hace de forma natural: x + i y ↔ ( x , y ). Por tanto, como los puntos de R^2 (identificados a su vez con vectores) pueden representarse en un plano coordenado, eso mismo puede hacerse con los números complejos. Con esta representación, vemos también que no es posible establecer un orden natural en C, heredado del que existe en R. Hemos extendido R a C para suplir una deficiencia, pero ha sido a costa de perder la propiedad de conjunto ordenado. En el conjunto de los números complejos toda ecuación cuadrática tiene solución, ya que con ayuda del número i podemos calcular las raíces cuadradas de números negativos. Así, la ecuación x^2 + 1 = 0 tiene solu- ciones (en el campo de los complejos) x = ± i. En general, la fórmula x = − b ±
p b^2 − 4 ac 2 a , para resolver la ecuación ax^2 + bx + c = 0, tiene perfecto sentido en el campo de los complejos. Es más, profundizando en este tema, podemos llegar al conocido como Teorema Fundamental del Álgebra (TFA).
Teorema (Teorema Fundamental del Álgebra, TFA). Todo polinomio (con coeficientes complejos) tiene al me- nos una raíz en C_. O sea, toda ecuación polinómica tiene al menos una solución._
Este teorema permite dar una factorización completa de cualquier polinomio P ( x ) en la forma
P ( x ) = A ( x − r 1 ) ( x − r 2 ) · · · ( x − rn ).
Nota. A causa del TFA, decimos que C es un cuerpo algebraicamente cerrado , ya que toda ecuación polinómica tiene solución.
Definición (módulo, argumento, conjugado,... ). Dado un número complejo z = a + i b , definimos: Parte real: Re z = a. Parte imaginaria: Im z = b. Módulo, | z |: Es la distancia de z al origen. Por el teorema de Pitágoras resulta que | z | =
p a^2 + b^2. Argumento, θ = arg( z ): Es el ángulo (en radianes) que forma z con el eje x positivo (también llamado eje real positivo). Mediante fórmulas trigonométricas podemos calcular dicho ángulo. En condiciones normales, se tiene que tg θ = tg arg( z ) = b / a. También tenemos a = | z | cos θ , b = | z | sen θ. El argumento de z no es único, ya que siempre podemos añadirle un múltiplo entero de 2 π para volver a obtener el “mismo ángulo”. Conjugado, z : Es el reflejado de z con respecto al eje real. Es fácil ver que z = a − i b.
Volvemos a los números enteros. Para un entero a , consideramos el conjunto N a = { a , a + 1, a + 2,... }, y to- dos nos hacemos una idea bastante clara de cómo es este conjunto, aún cuando solo hemos mostrado tres de sus elementos, ya que el resto queda implícito en los puntos suspensivos: N a es el subconjunto de números enteros que tiene como primer elemento a a y, siempre que contiene a un número, también contiene al si- guiente. Por ejemplo, N 3 = {3, 4, 5,... }, N = N 0. Esta propiedad caracterizadora de N a es la que se conoce como Principio de Inducción , y es la que se emplea para probar que ciertos conjuntos son en realidad del tipo N a. O sea, si A es un conjunto de números enteros que contiene a a como primer elemento y, siempre que contiene
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a un número ( hipótesis de inducción (HI)), también contiene al siguiente, entonces podemos afirmar (por el Principio de Inducción) que A = N a. El principio de inducción es muy útil a la hora de probar ciertas fórmulas. Por ejemplo, probemos que
1 + 2 + · · · + n =
n ( n + 1) 2
, para todo n ≥ 1.
Para probarlo, procedemos por inducción sobre n. Para n = 1, la fórmula es obviamente cierta. (Ya tenemos un primer elemento, n = 1). Si queremos, nos aseguramos de que la fórmula también es cierta para n = 2: claramente, 1 + 2 = 3 = 2 ·(2 2 + 1). Ahora, suponemos que la fórmula es cierta para un natural n > 1 (esto es lo que se conoce como hipótesis de inducción (HI)) y tenemos que ver que el siguiente a n , o sea, n + 1, también satisface la fórmula:
1 + 2 + · · · n + ( n + 1) (HI) =
n ( n + 1) 2
- ( n + 1) factor común = ( n + 1)
( (^) n 2 +^1
= ( n + 1)
n + 2 2
La fórmula anterior también se puede escribir usando la notación " sigma ", "
∑^ n k = 1
k = n ( n 2 + 1). Notación muy adecuada porque evita el empleo de puntos suspensivos y simplifica la escritura. Trabajemos otro ejemplo: probemos que si x es un número real mayor que −1, entonces
(1 + x ) n^ ≥ 1 + nx , para todo n ≥ 1.
De nuevo procedemos por inducción sobre n. Claramente, la desigualdad es cierta para n = 1 (nuestro primer elemento). Supongamos ahora que la desigualdad se satisface para cierto natural n > 1 (HI), y veamos se satisface para el siguiente a n , o sea, para n + 1:
(1 + x ) n +^1 = (1 + x ) n^ (1 + x )
(HI) ≥ (1 + nx )(1 + x ) = 1 + nx + x + nx^2 = 1 + ( n + 1) x + nx^2 ≥ 1 + ( n + 1) x.
¡Ojo!: En la primera desigualdad la hipótesis de inducción (HI) nos da (1 + x ) n^ ≥ (1 + nx ); luego, al multipli- car ambos lados por (1 + x ), la desigualdad se mantiene si y solo si 1 + x > 0 (ya que si una desigualdad es multiplicada por un número negativo, el sentido de esta cambia), y esto es cierto si y solo si x > −1, de ahí la condición impuesta sobre x al principio. En la última desigualdad hemos usado que todo número real al cuadrado es mayor o igual a cero, multiplicado por un número positivo, sigue siendo mayor o igual a cero, por eso que nx^2 ≥ 0. La fórmula del Binomio de Newton también puede probarse por inducción:
(1 + x ) n^ =
∑^ n
k = 0
n k
xk^ ,
donde denotamos al número combinatorio
( n k
, leído n sobre k , como el número n! k !( n − k )! =^
n ( n −1)···( n − k +1) k! , que representa al número de subconjuntos de^ k^ elementos en un conjunto de n elementos. Aquí, n !, leído n factorial , es el producto de todos los números naturales desde el 1 hasta el n , o sea, n! = n · ( n − 1) · · · 2 · 1, y representa al número de reordenamientos que pueden hacerse con n objetos. Por convenio, ponemos 0! = 1. Los primeros números combinatorios aparecen en la tabla adjunta, conocida como triángulo de Pascal.
0 1 2 3 4 5 6 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1
n^ k
( 4 2
)
Para probar la fórmula del binomio de Newton, procedemos por inducción. Hemos de ver primero que la fórmula es cierta para n = 1. En efecto,
(1 + x )^1 = 1 + x , mientras que
∑^1
k = 0
k
xk^ =
x^0 +
x^1 = 1 + x.
Veamos también el caso n = 2. Para ello, necesitaremos la secuencia
0
1
2
= 1. En general,
( n 0
( n n
, y
( n 1
= n =
( (^) n n − 1
. Con esto tenemos
(1 + x )^2 = 1 + 2 x + x^2 , mientras que
∑^2
k = 0
k
xk^ =
x^0 +
x^1 +
x^2 = 1 + 2 x + x^2.
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A partir de que l´ n ım→∞
1 + (^) n^1
) n = e , (el límite tomado sobre el conjunto de los números naturales), también
se obtiene que l´ım x →∞
1 + (^1) x
) x = e , y, en general, que l´ım x → a
1 + (^) f (^1 x )
) f ( x ) = e , siempre que l´ım x → a f ( x ) = ∞.
Ejercicios.
1.- Evaluar las siguientes expresiones:
( a ) (−3)^4 , ( b ) − 34 , ( c ) 3−^4 , ( d )
, ( e )
, ( f ) 16−3/4,
( g )
, ( h )
, ( i )
, ( j ) 5! +
, ( k )
( n + 1)! ( n − 1)!
2.- Un determinado nutriente se compone de cuatro sustancias diferentes en la proporción de 7:3:19:5. Si se sabe que de la primera sustancia se han utilizado 3.5 g, ¿cuánto se ha utilizado del resto de las sustancias? 3.- Determinar cuánto cobre y cuánto zinc se necesita para hacer 99 kg de latón, sabiendo que la proporción de cobre y zinc a usar es de 8:3. 4.- El volumen V de una determinada levadura aumenta a razón de un 5 % cada hora. Supongamos que el volumen inicial es A. a ) Calcular el volumen que la levadura tendrá al cabo de 5 horas, y al cabo de t horas; b ) Hallar el tiempo necesario para que la levadura doble su volumen. 5.- En dos años sucesivos, una población aumenta su tamaño en un 50 % y un 20 % respectivamente, y en los dos años siguientes disminuye su tamaño en un 10 % y un 50 %. Estimar si la población ha crecido o no; ¿en qué porcentaje?; ¿en qué porcentaje medio por año? 6.- ¿Qué tasa de crecimiento es mayor: aquella que crece un x % el primer año y un 3 x % el segundo año, o aquella que crece a un ritmo estable de un 2 x % cada año durante 2 años? 7.- El ritmo de crecimiento R de una levadura en un cierto intervalo de tiempo es proporcional a la cantidad (4 + 3 t + t^2 )1/2, donde t indica tiempo. Expresar este enunciado en forma de ecuación. Si R = 6 cuando t = 0, probar que R = 3(4 + 3 t + t^2 )1/2. 8.- La presión a la que un gas está sometido es proporcional a su temperatura e inversamente proporcional a su volumen. Expresar este enunciado en forma de ecuación. 9.- Simplificar cada expresión.
( a )
p 200 −
p 32, ( b ) (3 a^3 b^3 ) (4 ab^2 )^2 , ( c )
( (^3) x 3/2 (^) y 3 x^2 y −1/
, ( d )
p 10 p 5 − 2
10.- Encontrar el conjunto de números reales x que satisfacen lo siguiente:
( a ) x + 1 > 2 x − 3, ( b ) ( x + 1)( x − 2) > 0, ( c )
x + 1 x − 2
< 0, ( d ) − 4 < 5 − 3 x ≤ 17,
( e )
2 x − 3 x + 1
≤ 1, ( f ) | x + 1 | ≤ 2, ( g ) | x + 1 | + | x − 1 | < 2, ( h ) | x^2 − 1 | < 2.
11.- Desarrollar y simplificar cada una de las siguientes expresiones: ( a ) 3( x + 6) + 4(2 x − 5), ( b ) ( x + 3)(4 x − 5), ( c ) (2 x + 3)^2 , ( d ) ( x + 2)^3 , ( e ) (
p a +
p b )(
p a −
p b ).
12.- Completar cuadrados, esto es, expresar de la forma k ( x + a )^2 + b cada una de las siguientes expresiones: ( a ) x^2 + 2 x + 2, ( b ) x^2 − 3 x − 3, ( c ) 2 x^2 + x − 1, ( d ) 3 x^2 − 4 x + 5, ( e ) 3 x^2 + 1, ( f ) x^2 − 6 x + 1.
13.- Factorizar cada una de las siguientes expresiones: ( a ) x^3 + 4 x^2 + x − 6, ( b ) 2 x^3 − 3 x^2 − 8 x − 3, ( c ) 6 x^3 − x^2 − 4 x − 1, ( d ) x^3 + 1, ( e ) x^3 − 3 x^2 − 4 x + 12, ( f ) x^4 + 27 x , ( g ) 3 x 3/2^ − 9 x 1/2^ + 6 x −1/2, ( h ) x^3 y − 4 x y.
14.- Calcular las siguientes expresiones, y escribirlas en la forma a + b i : ( a ) (5 − 6 i ) + (3 + 2 i ), ( b )
4 − 12 i
9 + 52 i
, ( c ) (2 + 5 i )(4 − i ), ( d ) (1 − 2 i )(8 − 3 i ), ( e ) 12 + 7 i , ( f ) 2 i
2 −^ i^
, ( g )
1 + 4 i 3 + 2 i
, ( h )
3 + 2 i 1 − 4 i
( i )
1 + i
, ( j )
4 − 3 i
, ( k ) i^17 , ( l ) i^539.
15.- Probar las siguientes propiedades: ( a ) z + w = z + w , ( b ) z w = z w , ( c ) zn^ = zn^.
16.- Calcular módulo y argumento de los siguientes complejos: ( a ) − 3 + 3 i , ( b ) 1 −
p 3 i , ( c ) 8 i.
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17.- Usar el Principio de Inducción para probar las siguientes expresiones.
( a ) 1 + 3 + 5 + · · · + (2 n − 1) =
∑^ n
k = 1
(2 k − 1) = n^2 , para todo n ∈ N, n ≥ 1;
( b ) 1^2 + 22 + 32 + · · · + n^2 =
∑^ n
k = 1
k^2 = 16 n ( n + 1)(2 n + 1), para todo n ∈ N, n ≥ 1;
( c ) n ( n^2 + 5) es divisible por 6, cualquiera que sea n ∈ N, n ≥ 1.
18.- Calcular los siguientes límites:
( a ) l´ n ım→∞
1 − (^) n^1
)− n , ( b ) l´ n ım→∞
1 + (^) n^12
) 2 n , ( c ) l´ n →∞ım
( (^) n − 1 n − 4
) 2 n + 3 ,
( d ) l´ n ım→∞
( (^) n (^2) + 3 n^2 + 4 n
) n^2 n − 1 , ( e ) l´ x →∞ım
( (^2) x + 3 2 x + 1
) 3 x + 1 , ( f ) l´ x ım→∞
( (^3) x (^2) − 5 3 x^2 + 2 x
) (^35) x .
Soluciones 1.- ( a ) 81, ( b ) −81, ( c ) 1/81, ( d ) 25, ( e ) 9/4, ( f ) 1/8, ( g ) 12, ( h ) 24, ( i ) 24, ( j ) 124, ( k ) 44, ( l ) n^2 + n. 2.- 3.5 g : 1.5 g : 9.5 g : 2.5g. 3.- 72 kg de cobre y 27 kg de zinc. 4.- ( a ) V (5) = (1.05)^5 V (0) = 1.276281 V (0), V ( t ) = (1.05) t^ V (0), ( b ) t ≈ 14.21 h ≈ 14 h 12 m 24 s. 5.- La población ha decrecido un 19 % en los 4 años, lo que significa una tasa media de decrecimiento anual del 5.13 %. 6.- Haciendo y = x /100, la primera población crece según la fórmula (1 + y )(1 + 3 y ) p 0 , mientras que la segunda crece según la fórmula (1 + 2 y )^2 p 0. Conclusión: la segunda población crece más. 7.- R = k (4 + 3 t + t^2 )1/2. Sustituyendo t = 0 y R = 6, obtenemos k = 3. 8.- P = k TV. 9.- ( a ) 6
p 2, ( b ) 48 a^5 b^7 , ( c ) 9 xy 7 , ( d ) 5
p 2 + 2
p
10.- ( a ) (−∞, 4), ( b ) (−∞, −1) ∪ (2, ∞), ( c ) (−1, 2), ( d ) [−4, 3), ( e ) (−1, 4], ( f ) [−3, 1], ( g ) ∅, ( h ) [−
p 3,
p 3]. 11.- ( a ) 11 x − 2, ( b ) 4 x^2 + 7 x − 15, ( c ) 4 x^2 + 12 x + 9, ( d ) x^3 + 6 x^2 + 12 x + 8, ( e ) a − b. 12.- ( a ) ( x + 1)^2 + 1, ( b )
( x − (^32)
) 2 − 214 , ( c ) 2
( x + (^14)
) 2 − 98 , ( d ) 3
( x − (^23)
) 2
- 113 , ( e ) 3 x^2 + 1, ( f ) ( x − 3)^2 − 8. 13.- ( a ) ( x −1)( x +2)( x +3), ( b ) 2( x −3)( x +1)
( x + (^12)
) , ( c ) 6( x −1)
( x + (^12)
)( x + (^13)
) , ( d ) ( x +1)( x^2 − x +1) = ( x +1)
( x − 1 + i^
p 3 2
)( x − 1 − i^
p 3 2
) , ( e ) ( x −3)( x −2)( x +2), ( f ) x ( x +3)( x^2 − 3 x +9) = x ( x +3) ( x − 3 +^3 i^
p 3 2
)( x − 3 −^3 i^
p 3 2
) , ( g ) 3 x −1/2( x −2)( x −1), ( h ) x y ( x −2)( x +2). 14.- ( a ) 8 − 4 i , ( b ) − 5 − 3 i , ( c ) 13 + 18 i , ( d ) 2 − 19 i , ( e ) 12 − 7 i , ( f ) 2 − i , ( g ) 1113 + 1013 i , ( h ) − 175 + 1417 i , ( i ) 12 − 12 i , ( j ) 1225 + 259 i , ( k ) i , ( l ) − i. 15.- Escribir z = a + i b , w = c + i d , y hacer cálculos con ellos. 16.- ( a ) | − 3 + 3 i | = 3 p 2, arg = 3 π /4, ( b ) | 1 − i p 3 | = 2, arg = − π /3, ( c ) | 8 i | = 8, arg = π /2. 17.- ( a ) Cierto para n = 1. Supuesto cierto para n , probarlo para n + 1 es cuestión de darse cuenta de que n^2 + (2 n + 1) = ( n + 1)^2 , ( b ) Hacer cálculos, ( c ) Hacer cálculos y tener en cuenta que 3 n ( n + 1) es siempre divisible por 6. 18.- ( a ) e , ( b ) e^0 = 1, ( c ) e^6 , ( d ) e −^4 , ( e ) e^3 , ( f ) e (^25) .
