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Una introducción a los números complejos, su origen histórico, su definición, las operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicación y división), la potenciación y la extracción de raíces de números complejos, así como la resolución de ecuaciones polinómicas de primer, segundo, tercer y cuarto grado. Además, se explica la forma polar y exponencial de un número complejo y se presenta el teorema de moivre.
Tipo: Apuntes
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Instituto Tecnológico de Tláhuac III
NOMBRE DEL ALUMNO: Sabdi Yutzil Jiménez
Alcantar
CATEDRÁTICO : Leobardo Sánchez
Ciudad de México, a 05 de septiembre del
2023
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Desarrollo
Números complejos
reales e imaginarios. La parte real puede ser expresada por un número entero o
sus decimales, mientras que la parte imaginaria es aquella cuyo cuadrado es
negativo
naturaleza imaginaria de los números, planteando que «uno puede imaginar
tantos (números) como ya se dijo en cada ecuación, pero a veces no existe una
cantidad que coincida con lo que imaginamos».
No obstante, la conceptualización de los números complejos se remonta al siglo
XVI gracias al aporte del matemático italiano Gerolamo Cardano, quien
demostró que teniendo un término negativo dentro de una raíz cuadrada se
puede obtener la solución a una ecuación. Hasta ese momento, no se creía
posible conseguir la raíz cuadrada de un número negativo.
Posteriormente, en el siglo XVIII, el matemático Carl Friedrich Gauss,
consolidó las premisas de Cardano, además de desarrollar un tratado sobre
números complejos en un plano, estableciendo las bases modernas del término.
Operaciones fundamentales
misma manera que en algebra.
La suma y resta de números imaginarios se realiza exactamente como la suma y resta
de términos semejantes en algebra; es decir, los números reales se suman o se restan
con los otros números reales y los números imaginarios se suman y se restan con los
otros números imaginarios.
Para que al final solo quede un numero complejo: (a + bi)
resueltos usando el método de distribución de la multiplicación, similar al usado para
multiplicar a dos binomios. La diferencia es que, cuando tenemos a la unidad unitaria
elevada al cuadrado, i², tenemos que recordar que esto es igual a -1.
numerador como al denominador por el conjugado del número complejo en el
denominador. Esto logrará que obtengamos un número real en el denominador y
obtengamos el resultado a la división. Para dividir números complejos, tenemos que
empezar escribiendo al problema en forma fraccionaria. Luego, debemos multiplicar
tanto al numerador como al denominador por el conjugado del denominador.
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a la distancia en el plano complejo entre el punto y el origen del plano.
Se calcula así: |𝑧| =
2
La forma polar de un número complejo es otra forma de representar un número
complejo. La forma z = a + bi es llamada la forma coordenada rectangular de un
número complejo. El eje horizontal es el eje real y el eje vertical es el eje imaginario.
Básicamente es una forma mas de expresar los números complejos.
𝑖 𝜃
𝑖 (𝜃1+ 𝜃2)
𝑧
|
𝑧
|
𝑖(𝜃1−𝜃2)
𝑧2 |𝑧2|
Este teorema simplifica las operaciones al momento de calcular las potencias de
números complejos. Al mismo tiempo, permite dar elementos que originan la
definición de raíz compleja.
Recuerde que cualquier número complejo z=a+bi, puede expresarse en forma
trigonométrica, es decir
z=|z|(cosθ+isenθ)
donde |z| y θ corresponden al módulo de z y al argumento del mismo, respectivamente.
Es necesario, previamente al teorema de moivre, realizar la multiplicación de dos
complejos en forma trigonométrica, lo cual permitirá visualizar cierta propiedad
importante.
Sean z1=|z1|(cosθ1+isenθ1) y z2=|z2|(cosθ2+isenθ2).
Entonces z1z2=|z1|(cosθ1+isenθ1)|z2|
(cosθ2+isenθ2)
=|z1||z2|(cosθ1+isenθ1)(cosθ2+isenθ2)
6
=|z1||z2|(cosθ1cosθ2+icosθ1senθ2+isenθ1cosθ2+i2senθ1senθ2)
Aquí ocupamos la propiedad i2=−1 y reagrupamos z1z2=|z1||z2|
(cosθ1cosθ2−senθ1senθ2+i(cosθ1senθ2+senθ1cosθ2))
En este punto es necesario recordar dos identidades trigonométricas, a saber
cos(x+y)= cosxcosy−senxseny
sen(x+y)= senxcosy+senycosx
En nuestro caso:
z1z2=|z1||z2|(cos(θ1+θ2)+isen(θ1+θ2))
En particular, lo anterior aplicado para el número z=|z|(cosθ+isenθ), se obtiene que
z2=z⋅z=|z||z|(cos(θ)+θ))+isen(θ)+θ)))=|z|2(cos(2θ)+isen(2θ))
es decir z2=|z|2(cos(2θ)+isen(2θ)). De la misma forma, escribiendo z3=z2⋅z, es fácil
llegar a que
z3=|z|3(cos(3θ)+isen(3θ))
Tal parece que no hay problema en genralizar este proceso multiplicativo para
cualquier número natural. Esto es precisamente lo que afirma el teorema de moivre.
Potencias y raíces de números complejos
Potencia n de un número complejo
Para calcular la potencia de un número complejo aplicamos la fórmula de Moivre
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Las ecuaciones polinómicas son un enunciado que plantea la igualdad de dos
expresiones o miembros, donde al menos uno de los términos que conforman cada
lado de la igualdad son polinomios P(x). Estas ecuaciones son nombradas según el
grado de sus variables. Y sus equivalentes a una ecuación cuyo primer término es un
polinomio y el segundo es cero. Así como, una ecuación polinómica de grado n se
puede escribir de la forma
En general, una ecuación es un enunciado que establece la igualdad de dos
expresiones, donde en al menos una de estas se tienen cantidades desconocidas, que
son llamadas variables o incógnitas. Aunque existen muchos tipos de ecuaciones,
generalmente estas son clasificadas en dos tipos: algebraicas y trascendentes. Las
ecuaciones polinómicas solo contienen expresiones algebraicas, que pueden tener una
o más incógnitas que intervienen en la ecuación. Según el exponente (grado) que
tengan pueden clasificarse en: primer grado (lineales), segundo grado (cuadráticas),
tercer grado (cúbicas), cuarto grado (cuarticas), de grado mayor o igual que cinco e
irracionales
Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es una igualdad algebraica cuya
potencia es equivalente a uno, puede contener una, dos o más incógnitas.
Pasos para resolver una ecuación de primer grado
términos con incógnita y en el otro miembro los términos independientes).
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Una ecuación de segundo grado, llamada también cuadrática, es toda ecuación en la
cual, una vez simplificada, el mayor exponente de la incógnita es 2.
Una ecuación de la forma ax2+bx+c=0 donde a,b,c ∈ R y a, ≠ 0, es una ecuación
de segundo grado; al término ax2 se le llama cuadrático, a bx lineal, c el término
independiente.
ax2+bx+c=
la formula para realizar este tipo de ecuaciones es:
La forma tradicional de resolver una ecuación cúbica es reducirla a una ecuación
cuadrática y luego resolverla mediante la factorización o la fórmula cuadrática.
Al igual que una ecuación cuadrática tiene dos raíces reales, una ecuación cúbica
puede tener posiblemente tres raíces reales. Pero a diferencia de una ecuación
cuadrática, que puede no tener solución real, una ecuación cúbica tiene al menos una
raíz real.
Conclusión
En conclusión, podemos decir e incluso afirmar que el conocimiento de los números
complejos aplicado en todas las áreas vistas, ha sido tan importante y será muy
importante para nuestro desarrollo como profesionales, a su vez, esto será una parte de
la vida cotidiana en la vida de un ingeniero.
Para terminar, puedo decir que este tema es muy interesante y cuenta con su cierto
grado de complejidad, cosa que ya se esperaba. Muy interesante.
Bibliografía
C. d. J. Cruz Villalobos. “Que son las ecuaciones polinómicas”.
https://www.studocu.com/es-mx/document/instituto-tecnologico-de-tapachula/algebra-
lineal/ecuaciones-polinomicas-algebra-lineal-del-ano-pasado/19170252. Accedido el 6 de
septiembre de 2023. [En línea]. Disponible: https://www.studocu.com/es-
mx/document/instituto-tecnologico-de-tapachula/algebra-lineal/ecuaciones-
polinomicas-algebra-lineal-del-ano-pasado/19170252.
ferrovial. “Números complejos: qué son, origen, características, relevancia - Ferrovial”.
Ferrovial. Accedido el 7 de septiembre de 2023. [En línea]. Disponible:
https://www.ferrovial.com/es/stem/numeros- complejos/#:~:text=No%20obstante,%20la
%20conceptualización%20de,la%20solució n%20a%20una%20ecuación.
aulafacil. “Potencias y raíces de números complejos - Números Complejos”.
AulaFacil.com - Cursos Online Gratis. Accedido el 7 de septiembre de 2023. [En
línea]. Disponible: https://www.aulafacil.com/cursos/matematicas/numeros-
complejos/potencias-y-raices-de-numeros-complejos-l
Universidad de Guanajuato. “Clase digital 5: Métodos de solución de ecuaciones de
segundo grado - Recursos Educativos Abiertos”. Recursos Educativos Abiertos.
Accedido el 7 de septiembre de 2023. [En línea]. Disponible:
https://blogs.ugto.mx/rea/clase-digital-5-metodos-de-solucion-de-ecuaciones-de-
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ejerciciosecuaciones. “𝖣 Cómo resolver ecuaciones de tercer grado (o cúbicas) ”.
Ejercicios de ecuaciones. Accedido el 7 de septiembre de 2023. [En línea]. Disponible:
