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Matemáticas para las Biociencias. Curso 2019-
Fernando Castañeda.
1. Resumen 2
1.1. Definición e interpretación de la derivada como tasa de cam-
bio. Reglas de derivación
A partir de los denominados cocientes incrementales (tasas de cambio) y mediante un proceso de paso al límite, definimos el concepto de derivada de una función en punto. La derivada es un número que vamos a representar por f ′(a). También veremos la interpretación geométrica de la derivada como la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto. Consideramos a continuación la función derivada y terminamos con las reglas de derivación y las derivadas de las funciones elementales.
1.2. La derivada
Una función f es derivable en un punto a si existe el límite de los cocientes incre- mentales, es decir, si existe:
l´ım h→ 0
f (a + h) − f (a) h
El valor de este límite es la derivada de f en el punto a y se representa por f ′(a). Cuando en (1) calculamos el límite para valores de h > 0 , es decir, por la derecha, se denomina derivada lateral por la derecha y se representa por f (^) +′(a). De la misma forma, f (^) −′(a) representa la derivada lateral por la izquierda, es decir, el límite (1) cuando se toman sólo valores de h < 0. Si existe la derivada, entonces existen también las derivadas laterales y todas coinciden. Desde el punto de vista matemático la derivada de una función en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual la función cambia en relación con las modificaciones de su argumento. Esto es, una derivada es una tasa de cambio.
a a+h
fHaL
fHa+hL
Figura 1: Una secante y la tangente en un punto.
En la Figura 1 vemos que las rectas secantes se aproximan a la recta tangente a la curva en ese punto, cuando el incremento h tiende a 0. En consecuencia, la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto es el valor de la derivada de la función en ese punto, con lo que, la ecuación de la recta tangente a la curva en un punto se escribe:
y − f (a) = f ′(a)(x − a) (2)
1.2.1. Ejemplo
Calcular la derivada de f (x) = x^2 + 3 en el punto x = 2. Tenemos que calcular el siguiente límite:
l´ım h→ 0
f (2 + h) − f (2) h = l´ım h→ 0
(2 + h)^2 + 3 − 7 h = l´ım h→ 0 (4 + h) = 4
Por lo tanto, la derivada es f ′(2) = 4.
1.2.2. Ejemplo
Calcular las derivadas laterales, en el punto x = 0, de la función f (x) = |x|. Para calcular la derivada lateral por la derecha, tenemos que calcular el siguiente límite:
f (^) +′(0) = l´ım h→ 0 , h> 0
f (0 + h) − f (0) h
= l´ım h→ 0 , h> 0
|h| h
= l´ım h→ 0
h h
Para la derivada por la izquierda, tenemos que:
f (^) −′(0) = l´ım h→ 0 , h< 0
f (0 + h) − f (0) h
= l´ım h→ 0 , h< 0
|h| h
= l´ım h→ 0
−h h
Los dos límites son distintos, luego las derivadas laterales son diferentes f (^) +′(0) 6 = f (^) −′(0), y , en consecuencia, la función no es derivable en ese punto (pincha).
1.2.3. Ejercicio
Determinar los valores de a, b y c para que la curva de ecuación y = ax^2 + bx + c pase por el punto (1, 3) y sea tangente a la recta x − y + 1 = 0 en el punto (2, 3).
1.3. Las reglas de derivación
La función derivada de una función f la representamos por f ′^ y es la función que a cada punto de su dominio asocia el valor de la derivada de la función en ese punto, es decir, el número f ′(x). Su dominio es el conjunto de puntos donde existe la derivada. No hay que confundir la función derivada f ′^ que es una función, con la derivada f ′(a) que es un número. Las principales propiedades de la derivación en relación con las operaciones habi- tuales de funciones son:
1.3.3. Ejemplo
Calcular la derivada de la función f (x) =
x^2 − 3 x + 2 log (1 + x^2 ). Teniendo en cuenta las reglas de derivación: derivadas y operaciones, regla de la cadena, y las derivadas de las funciones elementales, resulta que:
f ′(x) =
2 x − 3 2
x^2 − 3 x + 2
log (1 + x^2 ) +
x^2 − 3 x + 2
2 x 1 + x^2
1.3.4. Ejercicio
Dada una función f que cumple que f (0) = 0, f ′(0) = 0 y f ′′(0) = 1, se considera la función g(x) = log (1 + f (x)) , calcular g′′(0). (Nota: log es logarítmo neperiano)
