¡Descarga TEMA 4 MATES 1 y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
TEMA V: INTEGRACIÓ.
1. Definició de primitiva. Càlcul de primitives.
1.1 Definició de primitiva.
Definició. Anomenem funció primitiva de una altra funció que compleix que:
és primitiva de quan
Exemple.
Siguin i , llavors és fàcil comprovar que és una primitiva de , ja que.
Ara bé, considerem també :
Si les derivem resulten ser també primitives de la funció.
Aquest exemple ens dona la següent proposició.
Proposició. Si és una funció primitiva de , qualsevol altra funció primitiva de és de la forma , amb.
Demostració.
Hem de veure que si i són funcions primitives de , aleshores i només diferencien en una constant,. És a dir, es verifica que
és una primitiva de , ja que.
és una primitiva de , ja que.
Aleshores;
Com que sabem que la resta de derivades és la derivada d’una resta tenim que:
Per tant l’única funció derivada de la qual és 0 és la funció constant:
Per tant
Teorema. (Fonamental del càlcul integral)
Dues primitives d’una mateixa funció es diferencien en una constant, és a dir, la primitiva d’una funció no és única, és més, existeixen infinites primitives d’una funció.
1.2 Càlcul de primitives.
Definició. La integral d’una funció és el conjunt de totes les seves primitives, i es representa per. Per tant, si és una primitiva de
On és la constant d’integració.
Proposició.
Siguin i dues funcions i. Aleshores,
En el moment de fer el canvi hem de canviar també pel corresponent.
Un cop fet el canvi, resolem l’integral i per últim haurem de desfer el canvi per tal de tenir l’expressió original.
Exemple.
Canvi de variable:
Integració per parts.
Aquest mètode d’integració s’utilitza per a integrar el producte de dues funcions no trivials, i quant el canvi de variable no és efectiu.
Per integrar per parts, aplicarem la fórmula següent:
El més important per poder fer una integració per parts és l’elecció de la funció a derivar i quina triem per integrar.
Exemple.
2. Integral definida.
La integral definida és la interpretació geomètrica de la integral. L’integral definida és la mesura de l’àrea d’una regió delimitada per aquesta funció.
Definició.
Sigui una funció una funció continua i positiva es l’interval.
Anomenem i ho llegim integral definida entre i de , el
valor de l’àrea compresa entre la gràfica de , l’eix d’abscisses i de les rectes verticals i i la calcularem així:
On són els valors de la primitiva de en els punts i
Exemple.
Sigui entre els punts i
Exemple.
Troba l’àrea continguda entre les gràfiques de les funcions
i
Els límits d’integració els trobarem igualant les dues funcions, ja que aquets han de coincidir en els punts de tall de les gràfiques.
Aleshores,
Per no treballar amb el valor absolut, mirem de fer la resta de manera que a la gràfica que va per sobre se li resti la que va per sota;
En aquest cas va per sobre, llavors calculem
Per últim fem el càlcul de la integral.
