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INTRODUCCIÓN A LOS DETERMINANTES Considere A = [a] con a, + 0. Si se multiplican la segunda y tercera filas de A por a;¡ y luego se restan múltiplos apropiados de la primera fila a las otras dos filas, se encuentra que A es equivalente por filas a las siguientes dos matrices: a11 ar 413 a11 ar 413 aji aida ada | | 0 aja, apa) ajd2 — 413021 (1) ajid31 aida a1id33 0 ajaz2 — ay2d31 411433 — 413431 Como A es invertible, la entrada (2, 2) o bien la entrada (3, 2) a la derecha de (1) es dife- rente de cero. Suponga que la entrada (2, 2) es diferente de cero. (De lo contrario, puede hacerse un intercambio de filas antes de proseguir.) Multiplique la fila 3 por a¡¡a2 — 41241, y luego sume a la nueva fila 3 —(a¡ az, — a12a3,) veces la fila 2. Esto demostrará que a ar 413 AZ | 0. ajaz— and 411433 — 413421 0 0 ayA donde A = 411422433 + 412423431 + 413421432 — 411423432 — 412421433 — 413022431 Q) Como A es invertible, A debe ser diferente de cero. El recíproco también es cierto, como se verá en la sección 3.2. El valor A en (2) se llama determinante de la matriz A de 3x3. Recuerde que el determinante de una matriz de 2 x 2, A = [a;¡], es el número det A = a1147, — 412471 Para una matriz de 1 x 1 —por ejemplo, A = [a¡¡]— se define det A = a¡¡. Para gene- ralizar la definición del determinante para matrices más grandes, se utilizarán determi- nantes de 2 x 2 para reescribir el determinante A 3 x 3 descrito con anterioridad. Dado que los términos de A pueden agruparse como (a 42433 — 411423432) — (412421433 — 012423431) + (413421432 — 413422031), da da d21 42 da 42 A = 411 det — aya det Ñ ál + 413" det z da 33 d31 433 d3 da Por brevedad, se escribe A = ay det A¡, — aya det A¡> + aj3 det Ajz (3) donde A¡¡, A12 y Ay3 se obtienen de A al eliminar la primera fila y una de las tres colum- nas. Para cualquier matriz cuadrada A, Aj; denotará la submatriz formada al borrar la i-ésima fila y la ¡-ésima columna de A. Por ejemplo, si | 203 +9 Ao 2 0 4-1 $. 1 0 7 0.42 0 entonces Az, se obtiene tachando la fila 3 y la columna 2, 1H 5 0 2.0 4 —1 EOS 0.42 0 de manera que Ap=|2 4 —1 02 0 Ahora puede darse una definición recursiva de un determinante. Cuando n = 3, det A se define usando determinantes de las submatrices A; de 2 x 2, como ya se vio en (3). Cuando n = 4, det A utiliza los determinantes de las submatrices Ay; de 3 x 3. En ge- neral, un determinante 2 x n se define mediante determinantes de submatrices (n — 1) x (n= D. Para enunciar el teorema siguiente resulta oportuno escribir la definición det A en una forma un poco diferente. Dada A = [a;;], el cofactor (i,j) de A es el número C;; dado por Ci = (=D) det Aj (4) Entonces det A =a41 Cp +49C12 +->*+41nCin Esta fórmula se llama desarrollo por cofactores a lo largo de la primera fila de A. Se omite la demostración del teorema fundamental siguiente para evitar una larga inte- rrupción. TEOREMA 1 El determinante de una matriz A de n x n puede calcularse mediante un desarrollo por cofactores a lo largo de cualquier fila o descendiendo por cualquier columna. El desarrollo a lo largo de la ¡-ésima fila usando los cofactores en (4) es det A=a1Cj1 + 4j2Cj2 +++ inCin El desarrollo por cofactores bajando por la ¡-ésima columna es det A = ar Cr; + a2¡Coj Hors dn Eaj Los signos más o menos del cofactor (i, j) dependen de la posición de a en la matriz, sin importar el signo de aj; en sí mismo. El factor (—1)'Y determina la tabla siguiente para el patrón de signos: Í EJEMPLO 2 Use un desarrollo por cofactores a lo largo de la tercera fila para calcular det A, donde Lo 5 0] A=|2 4-1 0-2 0 Solución Calcule det A = a3¡C3, + a432C32 + a33C33 = (1) az, det As, + (—1)5Yaz, det Ay + (-1)5Y az det Ass 5 0 LO los =04 -1 -D Ao), 4 =0+2-1)+0=-2 n El teorema 1 es útil para calcular los determinantes de una matriz que contiene muchos ceros. Por ejemplo, si una fila está formada en su mayoría por ceros, entonces el desarrollo por cofactores a lo largo de esa fila tiene muchos términos que son cero, y no es necesario calcular los cofactores en esos términos. El mismo enfoque funciona con una columna que contiene muchos ceros. TEOREMA 2 Si A es una matriz triangular, entonces det A es el producto de las entradas sobre la diagonal principal de A. PROBLEMA DE PRÁCTICA NS NES 0 3 0-4 Calcule | 5-8 0 3' O 5 10. =6 37. Sea A= h a! . Escriba 5A. ¿Es det 5A = 5 det A? b d que relacione det kA con k y det A. 38. Sean A= : y k un escalar. Encuentre una fórmula En los ejercicios 1 a 8, calcule el determinante utilizando un desa- rrollo por cofactores alo largo de la primera fila. En los ejercicios 1 a4, calcule también el determinante aplicando un desarrollo por cofactores y bajando por la segunda columna. 3-0 4 0-5 1 1,122 3 2 2. [4 3 0 0. 5 
