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Asignatura: est, Profesor: semi semi, Carrera: Administración y Dirección de Empresas, Universidad: UGR
Tipo: Ejercicios
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EKONOMIA ETA ENPRESA ZIENTZIEN FAKULTATEA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
ISBN: 978-84-9860-461-
© Servicio Editorial de la Universidad del País Vasco Euskal Herriko Unibertsitateko Argitalpen Zerbitzua ISBN: 978-84-9860-461- Bilbao, noviembre 2010 www.argitalpenak.ehu.es
Programa de Matemáticas III
2º curso de la Licenciatura en Administración y Dirección de Empresas
I. Álgebra Lineal
Conceptos previos: Coordenadas de un vector respecto a una base. Matriz de paso. Bases de referencia ortonormales. Matrices ortogonales.
Diagonalización: Planteamiento del problema. Valores propios y vectores propios. Condiciones de diagonalizabilidad. Polinomio característico. Método operativo de diagonalización. Diagonalización de matrices simétricas.
Formas Cuadráticas: Definición, representación matricial y clasificación. Criterio de los menores principales.
II. Programación Lineal
Introducción: Planteamiento general del problema.-Teoremas básicos. Análisis gráfico.
Método Simplex: Forma estándar. Soluciones básicas factibles. Base teórica del método simplex. Sistematización del análisis mediante tablas. Formulas de paso de una tabla a otra. Multiplicidad de óptimos. Solución básica factible inicial. Método de las penalizaciones. El problema de minimización. Análisis post óptimo.
Referencia Bibliográfica Básica:
Temas de Matemáticas para Economistas. Autores: F. Valenciano y M. Aramendia, Editorial: Servicio Editorial de la UPV, 1991.
a) Sea
a A b
i) ¿Para qué valores de a y b es ( 2,1, 0) un vector propio de la matriz A? ii) ¿Para qué valores de a y b es 1 un valor propio de la matriz A? iii) ¿Para qué valores de a y b es la matriz A diagonalizable?
b) Sea
a M Q a
Clasificar la forma cuadrática Q para los distintos valores de a.
algún número real λ. Es decir, si 1 0 2 2 2 2 0 1 0 1 1 1 0; 1 0 1 0 0 2 0
a a a b b b
ii) 1 es un valor propio de la matriz A si cumple: A -1 I⋅ = 0. Esto es, si 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0
a a
b b
Luego 1 es un valor propio de la matriz A para todo valor de a y b.
3 3
0 1 0 (1 ) y (1 ) 0 1 ( ) 0 1
a triple b
Entonces A es diagonalizable si y sólo si dimS (1)=3. Como dim S(1)=3 - rg (A-1.I), se tiene que A es diagonalizable si y sólo si rg (A-1.I) = 0.
a) x 1 denota el número de litros de cerveza rubia y x 2 el número de litros de cerveza negra,
La restricción 2 no afecta al conjunto de soluciones factibles. Además:
m 3 =-2 < mf =-4/5 < m 1 =-1/2 (ó | m 1 |=1/2 < | mf |=4/5 < | m 3 |=2).
Luego la solución es el punto de corte de las restricciones 1 y 3, es decir, el punto
(400/3, 400/3). En ese punto los ingresos son 120 €.
b) Para que la solución sea el mismo punto se necesita que la pendiente de la función
objetivo esté entre las pendientes de las restricciones 1 y 3, es decir,
-2 < mf =- ph /0,5 < -1/2 (ó 1/2 < | mf |= ph /0,5 < 2)
donde ph es el precio de la cerveza rubia. Entonces, 0,25 < p (^) h < 1.
c) La nueva restricción M ’ 3 es: 0,2 x 1 +0,1 x 2 ≤44 y la nueva solución es el punto de corte
de M 1 con M 3 esto es: (160, 120) y el ingreso 124 €; como en el caso inicial los ingresos
eran 120, la empresa estaría dispuesta a pagar 4 € por los 4 kg de malta.
d) Ahora tenemos una nueva restricción M 4 : x 2 ≤ 0,4( x 1 + x 2 ) y la nueva solución es el
punto de corte de M 3 y M 4, esto es: (150,100).
M 3 M^2 M^1
(400/3, 400/3)
(200,0)
M 4
(^1 2) M ’ (^3) 1 2 1 2 1 2 1 2
max 0, 4 0, 0,1 0, 2 40 0,1 0,1 30 0, 2 0,1 40 0, 0
x x x x x x x x x x
(0,200)
3. Sea el problema max (4x 1 +x 2 ) 1 2 1 2 1 2
x x x x x ≥ x ≥
a) Completar la siguiente tabla sabiendo que corresponde a una solución básica
factible de este problema: A 1 A 2 A 3 A 4 b 1 -1 4 1 1 4 -3 -1 4
b) La siguiente es una tabla óptima de este problema:
4 1 0 0 A 1 A 2 A 3 A 4 b (^4) A 1 1 1/2 0 1/2 4 (^0) A 3 0 -1/2 1 1/2 0 0 1 0 2 16
i) ¿Cambia la solución óptima si el término independiente de la segunda restricción es 12? ii) ¿Cuál tiene que ser el término independiente de la segunda restricción para que el óptimo sea el punto (8,0)? iii) Si el coeficiente de x 2 en la función objetivo es 6 ¿varía la solución óptima? En caso afirmativo, calcula la nueva solución óptima. iv) ¿Cuál tiene que ser el coeficiente de x 1 en la función objetivo, si se mantienen el resto de los datos del problema, para que el valor óptimo sea 24?
a) La matriz de coeficientes es:
⎢⎣ ⎥⎦. La base tiene que ser A^2 y A^4 ya que
son las únicas columnas que pueden ser (1,0,0) y (0,1,0) respectivamente. Luego sólo
falta por determinar un coeficiente de A 1 respecto de esta base. (1,2)= a (1,1)+1(0,1),
luego a = 1 y la tabla queda así:
4 6 0 0 A 1 A 2 A 3 A 4 b θ (^4) A 1 1 1/2 0 1/2 (^4 8) → (^0) A 3 0 -1/2 1 1/2 0 (^0) -4 0 2 16 ↑
Como –4<0, no es una tabla óptima, así que la solución cambia. Para calcularla
4 6 0 0 A 1 A 2 A 3 A 4 b (^6) A 2 2 1 0 1 8 (^0) A 3 1 0 1 1 4 8 0 0 6 48
Esta ya es una tabla óptima, luego la nueva solución es (0,8).
iv) n 1 0 0 A 1 A 2 A 3 A 4 b n (^) A 1 1 1/2 0 1/2 4 (^0) A 3 0 -1/2 1 1/2 0 0 -1+n/2 0 n/2 (^) 4n
Para que 4 n =24, tiene que ser n =6 y para este número la última fila no tiene números negativos, así que es una tabla óptima.
1. Sea la matriz
a A a a
a) ¿Para qué valores de a es diagonalizable la matriz A?
b) Sea la forma cuadrática Q( x )=t^ M( x )AM( x ). Halla M(Q) y clasifica dicha forma
cuadrática para los diferentes valores de a.
a) El polinomio característico de A es:
(^2) ( 2 2 )
a p a a a a a a a
reales y distintos para todo valor de a , se tiene que la matriz tiene tres valores propios
simples y por tanto es diagonalizable para cualquier valor de a.
b)
a M Q a a
. Criterio de los menores principales:
Q es definida positiva si todos los menores son positivos (>0), esto es: a >0, a^2 -9>0, a^2 -
16>0, a^2 >0, a ( a^2 -25)>0. Solución: a > 5.
Q es semidefinida positiva si: a ≥0, a^2 -9≥0, a^2 -16≥0, a^2 ≥0, a ( a^2 -25)=0. Solución: a = 5.
Q es definida negativa si : a <0, a^2 -9>0, a^2 -16>0, a^2 >0, a ( a^2 -25)<0. Solución: a < -.
Q es semidefinida negativa si: a ≤0, a^2 -9≥0, a^2 -16≥0, a^2 ≥0, a ( a^2 -25)=0. Solución: a = -.
Y Q es indefinida en los demás casos. Solución: –5 < a < 5.
b) La pendiente de las curvas de nivel de la función objetivo tiene que coincidir con la
pendiente de la primera restricción:
−^ a = − 1 2 ; a = 25/2=12,5.
Si el beneficio en cada mesa es de 12,5 la solución óptima es el segmento (0,8)(4,6) y
si el beneficio es menor que 12,5 la solución es el punto (0,8) y por tanto sólo producirá
sillas.
c) Se calculan los precios sombra, y la solución es el mayor de ellos.
División A: x 1 +2 x 2 ≤ 16 El óptimo: (4,6)→(0,18) El término independiente: 16 → 36
f − f = 11€
División B: 3 x 1 + x 2 ≤ 18 El óptimo (4,6)→(16,0) El término independiente : 18 → 48
f − f = 3€
Luego elegiría la división A.
d) La nueva restricción es 7 x 1 ≤ 2 x 2. El anterior óptimo, (4,6), ya no es solución factible,
luego la solución óptima cambia y el nuevo óptimo es el punto (2,7).
3. Sea el problema: max (3 x 1 +2 x 2 ) 1 2 1 2 1 2 1 2
x x x x x x x x
a) Completar la siguiente tabla sabiendo que corresponde a una solución básica
factible de este problema:
A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 b 1 1 0 5 0 1 -1 4 0 10
b) Sabiendo que la siguiente tabla es una tabla óptima de este problema:
3 2 0 0 0 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 b (^2) A 2 0 1 -1/2 3/2 0 3 (^3) A 1 1 0 1/2 -1/2 0 2 (^0) A 5 0 0 -3/2 7/2 1 4 0 0 1/2 3/2 0 12
i) Determinar el rango de variación del término independiente de la primera restricción para que la base óptima no varíe. ii) ¿Cuál tiene que ser el término independiente de la segunda restricción para que el óptimo sea el punto (0,9)? iii) Determinar el rango de variación del coeficiente de x 1 en la función objetivo para que la solución óptima no varíe. iv) ¿Cuál tiene que ser el coeficiente de x 2 en la función objetivo para que el valor óptimo sea 9?
a) Matriz de coeficientes:
iv)
3 n 0 0 0 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 b n (^) A 2 0 1 -1/2 3/2 0 3 (^3) A 1 1 0 1/2 -1/2 0 2 (^0) A 5 0 0 -3/2 7/2 1 4 0 0 3/2-n/2 3/2-3n/2 0 3n+6=
3 n +6=9 para n =1. (para n =1 la tabla es óptima).
1. Sea la matriz
a A b a
donde a , b ∈R.
a) ¿Para qué valores de a y b es diagonalizable la matriz A?
b) Para b =0 sea Q la forma cuadrática tal que M ( Q )= A. Clasifica esta forma
cuadrática para los distintos valores de a.
a) El polinomio característico de la matriz A es:
2 2 2 2
a p b a a a
Así que los valores propios son: 3, 1+ a , 1- a.
a =0 valores propios: 3 y 1 (doble); dim S (1)=3-rg
b
=2 (para todo b ∈R) y A es
diagonalizable.
a =2 valores propios: 3 (doble) y -1;
dim S (3)=3-rg
2, 0, y entonces A es diagonalizable. 0 0 1, 0, y entonces A no es diagonalizable. 2 0 2
si b b si b
a =-2 valores propios: 3 (doble) y -1;
dim S (3)=3-rg
2, 0, y entonces A es diagonalizable. 0 0 1, 0, y entonces A no es diagonalizable. 2 0 2
si b b si b
a ≠ 0, a ≠ 2, a ≠ -2 tres valores propios distintos, y por tanto, la matriz A si es
diagonalizable (para todo b ∈R).
b) Para a =1/4 la solución es el punto (0,16).
c) Para valores de a menores o iguales que cero, el conjunto de soluciones factibles no
está acotado y es inmediato comprobar que el problema no tiene solución.
3. Una empresa textil produce dos modelos de bufanda (I y II). Para ello usa dos tipos
de lana ( A y B ) de las cuales se dispone de 400 y 600 kg respectivamente. Para producir
una bufanda del modelo I se necesitan 0.2 kg de lana A y el doble de lana B. Para una
bufanda II se necesitan 0.25 kg de lana A y 0.45 kg de lana B. El tiempo necesario para
producir una bufanda del modelo I es la mitad del necesario para una bufanda II. Con el
tiempo disponible para la producción de bufandas se pueden producir el equivalente a
1500 bufandas del modelo I. Un estudio de mercado indica que la demanda para este
año del modelo I está limitada a 1000 bufandas y que por cada 100 bufandas modelo I
conviene producir al menos 50 del modelo II. Por último el beneficio obtenido por la
venta de una bufanda I es 2/3 del beneficio obtenido por una del modelo II.
Formula un problema de programación lineal para determinar el número de bufandas de
cada modelo que debe producir la empresa para maximizar el beneficio ( sólo
formular ).
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2
max^2 3 0, 2 0, 25 400 0, 4 0, 45 600 2 1. 1000; 50 100 0, 0
x x x x x x x x x x x x x
M 1^ M^2
(4,0)
(0,2)
M 1^ M^2
(0,2) (4,0)
(0,16)
M (^1) M 2
(0,2) (4,0)
i) (^) ii) (^) iii)
4. Sea el problema:
max (2 x 1 + x 2 ) 1 2 1 2 1 2 1 2
x x x x x x x x
a) Completa la siguiente tabla sabiendo que corresponde a la solución básica factible
(0,3,0,3,5): A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 b 1/2 1 1/2 -1/2 1 -1/
b) Sabiendo que la siguiente tabla es una tabla óptima de este problema: 2 1 0 0 0 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 b (^1) A 2 0 1 3/5 0 -1/5 2 (^0) A 4 0 0 -2/5 1 -1/5 2 (^2) A 1 1 0 -1/5 0 2/5 2 0 0 1/5 0 3/5 6
i) Determina el valor máximo del término independiente de la primera restricción para que la base óptima no varíe. ii) Si el término independiente de la tercera restricción fuera 13, ¿cuál sería el nuevo óptimo? iii) Determina el valor máximo del coeficiente de x 1 en la función objetivo para que el punto (2,2) sea un óptimo del problema. iv) Si el coeficiente de x 2 en la función objetivo fuera 6, ¿cuál sería el nuevo óptimo?
a) El problema en forma estándar es:
1 2 1 2 3 1 2 4 1 2 5
max 2 2 6 6 3 8 i 0 (^ 1,...,5)
x x x x x x x x x x x x i
Y la matriz de coeficientes:
