mates ii, Ejercicios de Administración de Empresas

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OPERACIONES DE MATRICES Si A es una matriz m x n, esto es, una matriz con m filas y n columnas, entonces la entrada escalar en la ¿-ésima fila y la j-ésima columna de A se denota mediante aj; y se llama entrada (i, ¡) de A. Vea la figura 1. Por ejemplo, la entrada (3, 2) es el número a32 en la tercera fila, segunda columna. Las columnas de A son vectores en RR” y se denotan mediante a¡, ...., a, (en letras negritas). La atención se centra sobre estas columnas cuando se escribe A=la a -«-: ay] Observe que el número a; es la ¡-ésima entrada (de arriba a abajo) del j-ésimo vector columna ay. Columna y a Pa al e Aja Filai | aj ... Aj me. din | =A 77 1 ' T EN aj a FIGURA1 Notación matricial. Las entradas diagonales en una matriz m x n A = [aj] son 411, 427, 433, ..., Y forman la diagonal principal de A. Una matriz diagonal es una matriz cuadrada cuyas entradas no diagonales son cero. Un ejemplo es la matriz identidad n x n, 1,. Una ma- triz de m x n cuyas entradas son todas cero es una matriz cero y se escribe como 0. El tamaño de 0, por lo general, resulta evidente a partir del contexto, Sumas y múltiplos escalares La aritmética para vectores que se describió anteriormente admite una extensión natural hacia las matrices. Se dice que dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño (es decir, el mismo número de filas y de columnas) y sus columnas correspondientes son iguales, lo cual equivale a decir que sus entradas correspondientes son iguales. Si A y B son matrices m x n, entonces la suma A + B es la matriz m x n cuyas columnas son las sumas de las columnas correspondientes de A y B. Como la suma vectorial de las columnas se realiza por entradas, cada entrada en A + B es la suma de las entradas correspondientes de A y B. La suma A + B está definida sólo cuando A y B son del mismo tamaño. A! TEOREMA 1 Sean A, B y C matrices del mismo tamaño, y sean r y s escalares. a. A+B=B+A d. r(A+B)=rA +rB b. (A+ B)+C=A+(B+C) e. (r+s)A=rA+sA Cc. A+0=A f. r(sA) = (rs)A DEFINICIÓN Si A es una matriz m x n, y si B es una matriz n x p con columnas by, ..., b,, entonces el producto AB es la matriz m x p cuyas columnas son Aby,..., Ab). Esto es, AB=A[b¡ b> --* b,]=[Ab, Ab, --- Ab,] EJEMPLO3 Calcule AB, donde A = E Ls y B= h po al Solución Escriba B= [b, b» bx], y calcule: A A NES 1,0 | 21 =1 11 =113 =|-9 Entonces E | q AB=AT[b¡ b, bs1=| a E] 3 do de Ab; Abz Ab; Cada columna de AB es una combinación lineal de las columnas de A usando pe- sos de la columna correspondiente de B. Á EJEMPLO 4 SiA es una matriz de 3 x 5 y B una matriz de 5 x 2, ¿cuáles son los tamaños de AB y de BA, si tales productos están definidos? Solución Como A tiene 5 columnas y B tiene $5 filas, el producto AB está definido y es una matriz de 3 x 2: A B AB o * ok ox * ox * * ok ok ok * *|=|x* xh E * o* * ok * o* * o* 3x5 5x2 3x2 Corresponden! Tamaño de AB El producto BA no está definido, porque las dos columnas de B no corresponden con las tres filas de A. REGLA FILA-COLUMNA PARA CALCULAR AB Si el producto AB está definido, entonces la entrada en la fila ¿ y la columna ¡ de AB es la suma de los productos de entradas correspondientes de la fila ¿ de A y la columna ¡ de B. Si (4B);; denota la entrada (1, j) en AB, y si A es una matriz m Xx n, entonces (AB)¡¡ =411b1¡ + O2b>; +-=--++indnj II TEOREMA 2 Sea A una matriz m x n, y sean B y C matrices con tamaños para los cuales las sumas y los productos indicados están definidos. a. A(BC) = (AB)C (ley asociativa de la multiplicación) b. A(B+ C)=ABH+ AC (ley distributiva izquierda) c. (B+ C)A = BA + CA (ley distributiva derecha) d. r(AB) = (rA)B = A(rB) para cualquier escalar r e. TA = A = Al, (identidad de la multiplicación de matrices) Advertencias: 1. En general, AB 4 BA. 2. Las leyes de la cancelación no se aplican en la multiplicación de matrices. Esto es, si AB= AC, en general no es cierto que B = C. (Vea el ejercicio 10.) 3. Si un producto AB es la matriz cero, en general no se puede concluir que A=0 oB =0. (Vea el ejercicio 12.) Potencias de una matriz Si A es una matriz n x n y k es un entero positivo, entonces A* denota el producto de k copias de A: AF=A--A =—— k La transpuesta de una matriz Dada una matriz A de m x n, la transpuesta de A es la matriz n x m, denotada mediante AT, cuyas columnas se forman a partir de las filas correspondientes de A. A EJEMPLOS Sean a [a > BE ñ z cal E le dj” > 0.4 Sl 5-2 7 Entonces 1-3 r_ja e FE p=S TY '"B US alo gl E ee aj Sr y 7 8. ¿Cuántas filas tiene B si BC es una matriz de 3 x 4? 3 1 3 k 9. Sean A = Js El | ybB= ba =% l ¿Qué valor(es) de 10. 11. 12, k, si hay, hacen que AB = BA? 2 =3 S. 4 $7 =2 Verifique que AB = AC y que sin embargo B + C. 1 1 1 2.0.0 Sean A=| 1 2 3|yD=|0 3050 Calcule O 0: 0008 AD y DA. Explique cómo cambian las filas o columnas de A cuando se multiplica por D a la derecha o a la izquierda. En- cuentre una matriz B de 3 x 3, que no sea la matriz identidad O la matriz cero, tal que AB = BA. le El Construya una matriz B de 2 x 2 tal sera =| que AB sea igual a la matriz cero. Las columnas de B no de- ben ser ¡iguales entre sí y deben ser distintas de cero. 16. 17. 18. . a. SiA y B son de 2 x 2 con columnas ay, a, y by, b», respec- tivamente, entonces AB= [ajb; ab]. b. Toda columna de AB es una combinación lineal de las co- lumnas de B usando pesos de la columna correspondiente de A, c. AB+ AC=A(B+C) d. A+ BT=(A + By e. La transpuesta de un producto de matrices es igual al pro- ducto de sus transpuestas en el mismo orden. a. SIAyBsonde3x3yB=TI[b, b, bs], entonces AB= [Ab, + Ab, + Ab3]. b. La segunda fila de AB es la segunda fila de A multiplicada a la derecha por B. c. (AB)C =(ACIB d. (4B) =ATBT e. La transpuesta de una suma de matrices es igual a la suma de sus transpuestas. =o 5 6 =. 3 primera y la segunda columnas de B. sia=| . =5)y as=[7 2 y | determino ta Suponga que las dos primeras columnas de B, b, y b, son iguales. ¿Qué puede decirse acerca de las columnas de AB (si AB está definida)? ¿Por qué? SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DE PRÁCTICA LS AE A í Pf ién. xTAT — 1. Ax = Us AB =| 3). as que (Ax)” = [-4 2]. También, x'A* = —2 [5.3 1; Al =[-4 2]. Las cantidades (Ax)” y x7A” son iguales, como cabe esperar por el teorema 3(d). Enseguida, ls 315%] ] 125 49134 Una matriz de l x 1 comox”x generalmente se escribe sin corchetes. Por último, ATxT no está definida, porque x” no tiene dos filas que correspondan a las dos columnas de Az 2. La manera más rápida de calcular Ax es determinando A(Ax). El producto Ax requiere 16 multiplicaciones, 4 por cada entrada, y A(AX) requiere 16 más. Por contraste, el producto A? requiere 64 multiplicaciones, 4 por cada una de las 16 entradas en A?, Después de eso, A?x requiere 16 multiplicaciones más, para un total de 80. A TEOREMA 4 Sea A= B :s | Si ad — bc + 0, entonces A es invertible y d AT 1 d —b ad=bc|=c a Si ad — be =0, entonces Á no es invertible. La demostración sencilla del teorema 4 se describe en términos generales en los ejercicios 25 y 26. La cantidad ad — be se llama determinante de A, y se escribe det A =ad — be El teorema 4 establece que una matriz A de 2 x 2 es invertible si, y sólo si, det A + 0. fl EJEMPLO 2 Encuentre el inverso de A = E 5 ¿ Solución Como det A = 3(6) — 45) = —2 + 0, A es invertible, y | 6 3]-[ 6/(-2) ula ] A 2 | =S5: -3 =S/(2) 3/2) 5/2 3/2 O TEOREMA 6 a. Si A es una matriz invertible, entonces A7! es invertible y (47D71=A b. Si A y B son matrices invertibles de n x n, entonces también lo es AB, y el inverso de AB es el producto de los inversos de A y B en el orden opuesto. Esto es, (AB)! = B-147! Cc. Si A es una matriz invertible, también lo es A”, y el inverso de A7 es la trans- puesta de A7!, Esto es, ADA = AY Un algoritmo para encontrar A! Si se colocan lado a lado A e 7 para formar una matriz aumentada [A 17], entonces las Operaciones de fila en esta matriz producen operaciones idénticas sobre A e 7. Por el teorema 7, o hay operaciones de fila que transforman a A en /, y a[, en A7!, 0 A no es invertible. ALGORITMO PARA ENCONTRAR 4”! Reduzca por filas la matriz aumentada [A 1]. Si A es equivalente por filas a /, en- tonces [A 1] es equivalente por filas a [7 47*]. Sino es así, A no tiene inversa. PROBLEMAS DE PRÁCT ICA 1. bles: E] En los ejercicios 1 a 4 encuentre los inversos de las matrices. 8 6 3 2 1 Ñ :) ». E 5) 8 5 3 -4 3. E =] 4. E 3) 5. Use el inverso encontrado en el ejercicio 1 para resolver el sistema 2 —1 8x, + 6x> Sx, + 4x Use el inverso encontrado en el ejercicio 3 para resolver el sistema 8x1 + 5x2 = —9 =11 1x1, Wx ». | 4 0 -9 5 | Si existe, encuentre el inverso de la matriz A = Utilice determinantes para establecer cuáles de las siguientes matrices son inverti- 6 -—9 24 6 1-2 -1 =1. 5 6], 5-4 5 1 2 =1 1 2 7. Sean A= |; ppm=| spd=[_5pm= 5. 3 s0-[2) a. Encuentre A7! y utilícelo para resolver las cuatro ecuacio- nes Ax=b,. Ax=b>,. Ax=b3, Ax=b, b. Las cuatro ecuaciones del inciso (a) pueden resolverse con el mismo conjunto de operaciones de fila, puesto que la matriz de coeficientes es la misma en cada caso. Resuelva las cuatro ecuaciones del inciso (a) reduciendo por filas la matriz aumentada [A bj, bz b3 bal 8. Utilice álgebra de matrices para mostrar que si A es invertible y D satisface AD = 1, entonces D=A7!, SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DE PRÁCTICA 1. a. det cero b. det c. det 2.14 [0 13 | 2 4 6 -4 I]- -9 Al =3:6 -— (-9)2=18+18=36. El determinante es diferente de , así que la matriz es invertible. El =4:5 — (-9):'0=20%0. La matriz es invertible. e =6:6 — (-9)(-4) =36 — 36 =0. La matriz no es invertible. 12-11 1.0.0 1.556 0.1.0 [3-4 5 0 0 l P-2 -1 1.0.0 0 3 5 1.1.0 [0 6 10 -5 0-1 PM1-2-1 1.0.0 0.3.5 1.1.0 [0 0. 0-7 -2 1 Se ha obtenido una matriz de la forma [BD], donde B es cuadrada y tiene una fila de ceros. Las operaciones de fila adicionales no van a transformar B en 1, así que el proceso se detiene. A no tiene un inverso. EJEMPLO 1 Use el teorema de la matriz invertible para decidir si A es invertible: 1. 0-2 A= 3 1 -—2 =5-1 9 Solución Il 0-2 1 0-2 A=|0 1 4|-=[0 1 4 0 -1 -1 0.0 3 Así que A tiene tres posiciones pivote y, por lo tanto, es invertible, por el teorema de la matriz invertible, enunciado (c). n PROBLEMAS DE PRÁCTICA 2.3.4 1. Determinesi A=|2 3 4|esinvertible. 2.3 4 2. Suponga que para cierta matriz A de n x n, el enunciado (g) del teorema de la matriz invertible no es verdadero. ¿Qué puede decirse acerca de las ecuaciones de la forma Ax = b? 3. Suponga que A y B son matrices n x n y que la ecuación ABx = 0 tiene una solución no trivial. ¿Qué puede decirse acerca de la matriz AB? En los ejercicios 11 y 12, todas las matrices son n x n. Cada inci- so de estos ejercicios es una implicación de la forma “si (enuncia- do 1), entonces (enunciado 2)”. Califique una implicación como verdadera si (enunciado 2) es verdadero siempre que (enunciado 1) sea cierto. Una implicación es falsa si existe una instancia en la que (enunciado 2) es falso pero (enunciado 1) es verdadero. Jus- tifique sus respuestas. 1. a 12. a. Si la ecuación Ax = 0 tiene únicamente la solución trivial, entonces A es equivalente por filas a la matriz identidad denxn. Si las columnas de A generan RR”, entonces las columnas son linealmente independientes. . Si A es una matriz de n x n, entonces la ecuación Ax = b tiene al menos una solución para toda b en RR”, Si la ecuación Ax = 0 tiene una solución no trivial, enton- ces A tiene menos de n posiciones pivote. Si A no es invertible, entonces A no es invertible. Si existe una matriz D de n x n tal que AD = I, entonces también existe una matriz C de n x n tal que CA =1. Si las columnas de A son linealmente independientes, en- tonces las columnas de A generan JR”. . Si la ecuación Ax = b tiene al menos una solución para toda b en R”, entonces la solución es única para toda b. Si la transformación lineal x > Ax es una función de RR” en RR”, entonces A tiene n posiciones pivote. Si existe una b en R” tal que la ecuación Ax = b sea in- consistente, entonces la transformación x H> Ax no es uno a uno. 16. 17. 18. 19. 20. 21. ¿Es posible que una matriz de 5 x 5 sea invertible cuando sus columnas no generan RR”. ¿Por qué sí o por qué no? Si A es invertible, las columnas de A”! son linealmente inde- pendientes. Explique por qué. Si Ces de 6 x 6 y la ecuación Cx = v es consistente para toda ven R9, ¿es posible que la ecuación Cx = v tenga más de una solución para alguna v? ¿Por qué sí o por qué no? Si las columnas de una matriz de 7 x 7 son linealmente in- dependientes, ¿qué puede decirse acerca de las soluciones de Dx = b? ¿Por qué? Si las matrices de n x n E y F tienen la propiedad de que EF = /, entonces E y F conmutan. Explique por qué. i la ecuación Gx = y tiene más de una solución para alguna Sil G t d 1 1 y en R”, ¿las columnas de G generan a ¡R”? ¿Por qué sí o por qué no?