Mates tema 1, Apuntes de Matemáticas

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RESUMEN TEMA 1

MATEM ´ATICAS I

Carmen Domingo Juan

Tema 1: NOCIONES B ´ASICAS DE ´ALGEBRA

Matrices, determinantes, rango y c´alculo de la inversa.

MATRICES

Definici´on 1

Se llama matriz sobre R a un conjunto de m × n elementos de R dispuestos en

m filas y n columnas.

A =

a 11 a 12... a 1 n

a 21 a 22... a 2 n

. . .

am 1 am 2... amn

El conjunto de matrices sobre R de tama˜no u orden m × n se denota Mm×n.

Definici´on 2

Se dice que una matriz es cuadrada si m = n.

Se dice que una matriz es diagonal si aij = 0, para i 6 = j.

La matriz identidad es

Id =

∈ Mn×n

Si m = 1 es una matriz fila, si n = 1 es una matriz columna.

Una matriz es nula si aij = 0 para todo i, j.

Definici´on 3

Se llama matriz traspuesta de A ∈ Mm×n a una matriz A

t ∈ Mn×m que se

obtiene al intercambiar las filas por columnas.

Una matriz sim´etrica A es una matriz cuadrada tal que A = A

t .

• Para n = 3. Se aplica la regla de Sarrus.
• Para n > 3. Desarrollo por filas o columnas.

Se considera el adjunto del elemento aij , adj(aij ) = (−1)

i+j .|Aij | donde Aij es

el determinante de orden (n − 1) × (n − 1) de la matriz obtenida cancelando

la fila i y la columna j.

|A| = a 1 j adj(a 1 j ) + a 2 j adj(a 2 j ) + · · · + anj adj(anj )

= ai 1 adj(ai 1 ) + ai 2 adj(ai 2 ) + · · · + ainadj(ain)

Propiedades de los determinantes

1. |A.B| = |A|.|B| |A

k | = |A|

k , k ∈ N

1. |a.A| = a

n |A|

1. Si A tiene una fila (o columna) con todos sus elementos iguales a cero, entonces

|A| = 0.

1. Si A tiene dos filas (o dos columnas) proporcionales o iguales, entonces |A| = 0.
2. Si en una matriz A, dos filas (o dos columnas) son intercambiadas, el deter-

minante de la matriz obtenida es −|A|.

1. Si en una matriz A, a una fila (o columna) le a˜nadimos una combinaci´on lineal

de otras filas (o columnas), el determinante de la matriz obtenida es |A|.

RANGO DE UNA MATRIZ

Definici´on 5

Dada una matriz A ∈ Mm×n se definen los menores de orden

k ≤ m, n de A como los determinantes de las matrices construidas con elemen-

tos de k filas y k columnas de A.

Se llama rango de A, rgA, al orden del mayor menor no nulo de A.

C ´ALCULO DE LA INVERSA

Definici´on 6

Una matriz cuadrada A ∈ Mn×n tiene matriz inversa, A

− 1 , si

|A| 6 = 0, cumpli´endose A.A

− 1 = A

− 1 .A = Id.

Siendo

A

− 1

|A|

(Adj A)

t

donde Adj A es la matriz cuyos elementos son los adjuntos de los elementos de

la matriz A.

M´as propiedades

1. |A

− 1 | =

|A|

2. (A.B)

− 1 = B

− 1 .A

− 1

3. (A

− 1 )

− 1 = A

4. (A

t )

− 1 = (A

− 1 )

t