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MATLAB
El software MatLab se desarrolló como un “ Laboratorio de matrices”, pues su elemento básico es una matriz. Es un sistema interactivo y un lenguaje de programación de cómputos científico y técnico en general.
Comandos
Algunos comandos para tener en cuenta en las operaciones son:
¾ clear borra toda la pantalla.
¾ clc borra toda la pantalla pero deja internamente el valor de las variables.
¾ who enumera todas las variables usadas hasta el momento.
¾ help ( tema ) proporciona ayuda sobre el tema seleccionado.
↑ ¾ ↑^ Con este botón se pueden recuperar sentencias anteriormenteusadas.
¾ syms sirve para declarar variables.
¾ round( operación ) redondea al entero más cercano:
round(9/4) ans = 2 ¾ sqrt calcula raíz cuadrada.
¾ solve resuelve una ecuación o sistema de ecuaciones.
1) Introducir una matriz
Si se quiere introducir por ejemplo la matriz A = (^) ⎟⎟, se puede escribir: ⎠
>> A=[4,2;3,3]
A =
También se puede escribir A=[4 2;3 3]. Si se agrega un punto y coma al final ( A=[4,2;3,3] ; ), no sale la matriz quedando en la memoria del programa.
2) Operaciones matriciales básicas :
¾ Adición (sustracción) A+B ó A-B
¾ Multiplicación A*B
¾ Producto por un escalar α *A
¾ Cálculo de la inversa inv(A) ó A^(-1)
¾ Cálculo del determinante det(A)
3) Cálculo del polinomio característico:
Se calcula el polinomio característico asociados a la matriz A dada. p=poly(A)
poly(A) ans = 1 -7 6 El resultado son los coeficientes del polinomio característico ordenado de acuerdo a las potencias decrecientes de la variable λ, es decir: P( λ ) = λ^2 –7 λ+
ans = 6 1
3- >> eigensys(A) ans = [ 1] [ 6]
5) Cálculo de los autovalores y autovectores. Matriz diagonal
Los comandos que se pueden usar son:
1 - [Q,D]=eig(A);Q=Q proporciona la matriz Q que contiene en sus colum - nas a los autovectores normalizados asociados a la matriz A.
2 - [Q,D]=eigs(A);D=D proporciona la matriz D diagonal que contiene a los autovalores asociados a A.
3 - [ eves,evas]=eig(A) eves es la matriz cuyas columnas son los auto - vectores normalizados y evas es la matriz diago- nal que contiene a los autovalores.
4- [Q,D]=eigensys(A) proporciona los autovectores y autovalores simboli- camente.
1- >> [Q,D]=eig(A);Q=Q Q = 0.7071 -0. 0.7071 0.
Luego los autovectores asociados a la matriz A son ( 0.7071 ; 0.7071) y (-0.5547 ; 0.8321).
2- >> [Q,D]=eig(A);D=D D = 6 0 0 1
3- >> [eves,evas]=eig(A) eves = 0.7071 -0. 0.7071 0.
evas = 6 0 0 1
4- >> [Q,D]=eigensys(A) Q= [ 1, 1] [ 1, -3/2]
D =
[ 6, 0]
[ 0, 1]
[x,y]=meshgrid(x (^) min: Δ x:xmáx,y (^) min: Δ y:y (^) máx); z=1x+2y+2; plot3(x,y,t),grid
b) ⎩⎨
3x y z 0
x 2y z 2 0
Se despeja la misma variable de las dos ecuaciones, por ejemplo z :
[x,y]=meshgrid(x (^) min: Δ x:xmás,y (^) min: Δ y:y (^) máx); z1=x+2y+2; z2=3x-y; plot3(x,y,z1,x,y,z2),grid
3) Cónicas.
Las cónicas se pueden obtener como una curva de nivel utilizando el comando contour :
Ejemplo:
Para graficar las parábolas
en un mismo sistema coordenado, se procede de la siguiente manera:
x 2y 0
x 2xy y 8x 8y 0 (rototrasladada) 2
2 2
[x,y]=meshgrid(x (^) min: Δ x:xmáx,y (^) min: Δ y:y (^) máx);
f1=x. ^2+2x.* y+y.* ^2-8x+8y; contour(x,y,f1,[0,0]) hold on f2=x.^2-2*y; contour(x,y,f2,[0,0])
Otra forma de introducir los rangos de las variables x e y es:
xm=x (^) min: Δ x:x (^) máx; ym=y (^) min: Δ y:y (^) máx; [x,y]=meshgrid(x m,ym);
4) Cuádricas. Superficies :
a) Paraboloide z = x^2 + y^2
[x,y]=meshgrid(x (^) min: Δ x:xmáx,y (^) min: Δ y:y (^) máx); z=x.^2+y.^2; surf(x,y,z)
Si en lugar de surf se hubiese usado el comando contour3(z,N) se obtendrían N curvas de nivel del paraboloide.
b) Paraboloide hiperbólico z = x^2 - y^2
[x,y]=meshgrid(x (^) min: Δ x:xmáx,y (^) min: Δ y:y (^) máx); z=x.^2-y.^2; surf(x,y,z)
c) Esfera
>>[x,y,z]=sphere( α , β , γ ,radio,N); siendo ( α , β , γ ) las coordenadas del
centro de la esfera.
surf(x,y,z)
d) Elipsoide
>>>[x,y,z]=ellipsoid( α , β , γ ,a,b,c); siendo a,b,c los semidiámetros
correspondientes a los ejes x,y,z respectivamente.
surf(x,y,z)
e) Hiperboloide de una hoja x^2 +y^2 –z^2 = 1
[x,y]=meshgrid(x (^) min: Δ x:xmáx,y (^) min: Δ y:y (^) máx); z1=sqrt(x.^2+y.^2-1); z2=-sqrt(x.^2+y.^2-1); plot3(x,y,z1,x,y,z2)
f) Superficie cilíndrica circular
[x,y,z]=cylinder(diámetro,N) surf(x,y,z)
g) Superficie cilíndrica parabólica z=x^2
[x,y]=meshgrid(x (^) min: Δ x:xmáx,y (^) min: Δ y:y (^) máx); z=x.^ plot3(x,y,z)
