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Asignatura: Álgebra, Profesor: Pedro José Hernando Oter, Carrera: Ingeniería en Informática, Universidad: UC3M
Tipo: Ejercicios
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Colecci´on elaborada por Pedro Jos´e Hernando Oter
Grupo de Modelizaci´on, Simulaci´on Num´erica y Matem´atica Industrial DEP. DE CIENCIA E ING. DE LOS MATERIALES E ING. QU´IMICA UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID
Colecci´on elaborada con problemas seleccionados de la bibliograf´ıa adjunta. Este documento esta realizado con la versi´on de MikTeX 2.8.
Problema 0.9 Encontrar la matriz inversa de las siguientes matrices:
a)
b)
(^) c)
Problema 0.10 Elegir cual es el m´etodo (Cramer, reducci´on, sustituci´on o igualaci´on) m´as apropiado para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales y resolverlos.
a) 3 x + 2 y = 7 x − y = − 6
x, y ∈ R b)
x − y + z = 4 x + y + z = 2 x − y − z = 0
x, y, z ∈ R
Problema 0.11 Discutir y resolver los siguientes sistemas de ecuaciones en funci´on del par´ametro m ∈ R.
a)
mx + y = 1 2 x + y = 1 b)
mx + y + z = 2 x + y + z = 1 − 2 y + z = 0
1 Sistemas de Ecuaciones Lineales
Problema 1.1 Encontrar un ejemplo num´erico de los siguientes sistemas de ecuaciones en R^3 : a) Tres planos con intersecci´on com´un en un ´unico punto. b) Tres planos que tengan una recta de intersecci´on com´un. c) Tres planos que se intersecten a pares, sin ning´un punto de intersecci´on com´un. d) Tres planos, siendo dos paralelos y uno secante a ambos.
Problema 1.2 Determinar todos los posibles casos que podr´ıan representar los tres planos (coincidentes, paralelos y/o secantes) de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales en R^3 , donde ai, bi, ci, di ∈ R.
a)
a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3
b)
b 1 y + c 1 z = d 1 x + b 2 y + c 2 z = d 2 a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3
c)
a 1 x − y + 2z = 0 x + b 2 y − z = 1 −x + y + 3z = d 3
Problema 1.3 Determinar el tipo (rectas, planos o hiperplanos) y dimensi´on de las posibles soluciones de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales reales, (x, y, z y w representan inc´ognitas y el resto constantes).
a)
a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2
en R^3 b)
a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2
en R^4
c)
x + y = 1 x + y = 0 a 3 x + b 3 y = d 3 a 4 x + b 4 y = d 4
en R^2 d)
x + y + z + w = 1 x + cy + z + w = k 2 x + y + z + sw = 0
en R^4
Problema 1.4 Analizar los siguientes sistemas de ecuaciones lineales en funci´on del par´ametro k ∈ R, encontrando la soluci´on en los casos compatibles.
a)
kx + 2 y = 3 2 x − 4 y = − 6
en R^2 b)
x + ky = 1 kx + y = 1
en R^2
c)
x − 2 y + 3 z = 2 x + y + z = k 2 x − y + 4 z = k^2
en R^3 d)
x + y + kz = 1 x + ky + z = 1 kx + y + z = − 2
en R^3
Problema 1.5 Obtener las soluciones de los siguientes sistemas en Rn, identificando en caso de ser posible el tipo de soluci´on (punto, recta, plano o hiperplano) del espacio correspondiente.
a) x − y = 1 x + y = 2
en R^2 b) 2 x − y = 1 x − y = 2
en R^3
c) x = 2 en R^4 d)
x + y − z = 1 x − y + z − w = 1 x = 0
en R^4
Problema 1.6 En los siguientes sistemas de R^3 determinar la ecuaci´on de la recta en forma param´etrica, soluci´on de la intersecci´on de los siguientes planos.
a)
3 x + 2y + z = − 1 2 x − y + 4z = 5 b)
4 x + y − z = 0 2 x − y + 3z = 4
Problema 1.7 Determinar si las siguientes rectas de R^3 : ~x = ~p + t~u y ~x = ~q + s~v se intersectan, y en caso afirmativo, encontrar los puntos de intersecci´on.
a) ~p =
(^) , ~q =
(^) , ~u =
(^) , ~v =
(^). b) ~p =
(^) , ~q =
(^) , ~u =
(^) , ~v =
Problema 1.8 Determinar, en caso de que exista, la intersecci´on de las siguientes rectas con el plano x + y + z = 1 en R^3.
a)
x − y + z = 0 x − y − z = 2 b) [x, y, z] = [1, 0 , 0] + t[1, − 1 , 1]. c)
[1, − 1 , 0] · ([x, y, z] − [1, 0 , 1]) = 0 [− 1 , 1 , 1] · ([x, y, z] − [0, 1 , 1]) = 0
Problema 1.9 Resolver los siguientes sistemas tridiagonales utilizando el m´etodo de sustituci´on hacia atr´as.
a)
x + y + z = − 1 −y + z = 2 z = 1
b)
x + y − z + t = 2 3 y − 2 z + 8t = 1 4 z − t = 2
c)
5 x − y + z − t = 0 3 y + 2z − 2 t = 0
Problema 1.10 Encontrar la operaci´on elemental de fila que deshace cada una de las siguientes operaciones elementales de fila.
a) Fi ↔ Fj b) kFi c) Fi + kFj
Problema 1.11 Utilizar operaciones elementales de fila para reducir las siguientes matrices reales a una forma equivalente de matriz escalonada y a su forma equivalente de matriz escalonada reducida.
a)
(^) b)
c)
d)
e)
(^) f )
Problema 1.12 En los siguientes casos, comprobar que las matrices reales A y B dadas son equivalentes por filas, (poseen la misma matriz escalonada reducida equivalente) y encontrar una secuencia de operaciones elementales de fila que convierta A en B.
a) A =
b) A =
Problema 1.20 Un sistema con m´as ecuaciones que inc´ognitas se denomina sobredeterminado, mientras que uno con m´as inc´ognitas que ecuaciones se denomina infradeterminado. ¿Existen sistemas sobredeterminados compatibles? Razonar las respuestas y proporcionar si es posible un ejemplo en cada caso. ¿Es posible encontrar un sistema infradeterminado que tenga una ´unica soluci´on?
Problema 1.21 Razonar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. (Por razonar se entiende citar teoremas, resultados apropiados, proporcionar contraejemplos en el caso falso, etc.)
2 Vectores
Problema 2.1 En los siguientes apartados, encontrar si existen dos vectores linealmente dependientes y otros dos linealmente independientes del conjunto de vectores U = {~u, ~v, ~w} ⊂ Rn.
a) ~u = [1, 0], ~v = [− 1 , 0], w~ = [2, 0] ∈ R^2. b) ~u = [1, 0 , 0], ~v = [1, 1 , 0], w~ = [0, 1 , 0] ∈ R^3.
Problema 2.2 En los siguientes casos, determinar si el conjunto de vectores U es un conjunto generador del correspondiente espacio Rn. Especificar cual de ellos es adem´as una base de dicho espacio.
a) U = {[1, 0], [− 1 , 0]} ⊂ R^2. b) U = {[1, 0], [− 1 , 0], [− 2 , 0], [1, −1]} ⊂ R^2. c) U = {[1, 1 , 1], [− 1 , − 1 , −1], [1, 0 , 0]} ⊂ R^3.
Problema 2.3 En los siguientes casos determinar: ‖~u‖, un vector unitario en la direcci´on de ~u, el valor de ~u · ~v y la distancia d(~u, ~v):
a) ~u =
, ~v =
∈ R^2 b) ~u =
(^) , ~v =
c) ~u = [1,
~v = [4, −
Problema 2.4 Encontrar el ´angulo entre los vectores de ~u, ~v ∈ Rn^ en los siguientes casos:
a) ~u =
, ~v =
b) ~u =
(^) , ~v =
(^) c)
~u = [4, 3 , −1] ~v = [1, − 1 , 1]
Problema 2.5 Encontrar la proyecci´on de ~v sobre ~u, proy~u(~v), dibujando el resultado si es posible.
a) ~u =
, ~v =
∈ R^2 b) ~u =
(^) , ~v =
c) ~u =
, ~v^ =
4
Problema 2.6 Encontrar todos los vectores ~v = [x, y] ∈ R^2 que sean ortogonales a ~u = [a, b] ∈ R^2.
Problema 2.7 Determinar todos los valores del escalar k para que los dos siguientes vectores sean ortogonales.
~u =
(^) , ~v =
k^2 k − 3
(^) ∈ R^3 , k ∈ R
Problema 2.8 Utilizando el concepto de proyecci´on ortogonal, determinar la distancia desde el punto Q hasta la recta ` en los siguientes casos.
a) Q = (2, 2) , ` :
x y
b) Q = (0, 1 , 0) , ` :
x y z
(^) + t
Problema 2.9 Utilizando el concepto de proyecci´on ortogonal, determinar la distancia desde el punto Q hasta el plano P en los siguientes casos.
a) Q = (2, 2 , 2) , P : x + y − z = 0 b) Q = (0, 0 , 0) , P : x − 2 y + 2z = 1
Problema 2.10 Utilizando el concepto de proyecci´on ortogonal, determinar la distancia entre las dos rectas paralelas en los siguientes casos..
a)
x y
x y
b)
x y z
(^) + s
x y z
(^) + t
Problema 2.11 Utilizando el concepto de proyecci´on ortogonal, determinar la distancia entre los dos planos paralelos en los siguientes casos.
a)
2 x + y − 2 z = 0 2 x + y − 2 z = 0 b)
x + y + z = 1 x + y + z = 3
Problema 2.12 ¿Bajo qu´e condiciones se cumple lo siguiente para los vectores ~u y ~v en R^2 ´o R^3?
a) ‖~u + ~v‖ = ‖~u‖ + ‖~v‖ b) ‖~u + ~v‖ = ‖~u‖ − ‖~v‖
Problema 2.13 Supongamos que sabemos que ~u · ~v = ~u · w~. ¿Esto implica que ~v = w~? Si es as´ı, proporcionar una demostraci´on que sea v´alida en Rn; de otra forma, ofrecer un contraejemplo (es decir, un conjunto espec´ıfico de vectores ~u, ~v y w~ para los cuales ~u · ~v = ~u · w~ pero ~v 6 = w~).
Problema 3.7 Dados los vectores u =
(^) y v =
a b c
a) Calcular uT^ v, vT^ u, uvT^ y vuT^.
b) Si u, v ∈ Rn, ¿cu´al es la relaci´on entre uT^ v y vT^ u? ¿Y entre uvT^ y vuT^?
Problema 3.8 Sean el vector columna est´andar ej ∈ Rn^ y una matriz gen´erica A ∈ Rn×n. Describir el resultado de los productos siguientes:
a) Aej b) eTj A c) eTi Aej
Problema 3.9 Dadas dos matrices invertibles A, B ∈ Rn×n, determinar cu´al de las siguientes f´ormulas son ciertas o falsas.
a) (I − A)(I + A) = In − A^2 f ) ABB−^1 A−^1 = I b) (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 g) ABA−^1 = B c) A^2 es invertible y (A^2 )−^1 = (A−^1 )^2 h) (ABA−^1 )^3 = AB^3 A−^1 d) A + B es invertible y (A + B)−^1 = A−^1 + B−^1 i) (I + A)(I + A−^1 ) = 2I + A + A−^1 e) (A − B)(A + B) = A^2 − B^2 j) A−^1 B es invertible y (A−^1 B)−^1 = B−^1 A
Problema 3.10 Determinar cual de las siguientes matrices son antisim´etricas,
a)
b)
c)
(^) d)
Problema 3.11 Hallar la matriz A sabiendo que
Problema 3.12 Se dice que dos matrices A y B son equivalentes por filas y se representa por A ∼ B si una se puede obtener de la otra a trav´es de un n´umero finito de operaciones elementales de fila. Dadas las matrices An×n y Bn×p, explicar por qu´e si [A B] ∼ · · · ∼ [I X] entonces X = A−^1 B.
Problema 3.13 Expresar, si es posible en cada caso, la matriz A como una combinaci´on lineal del resto de matrices:
a) A =
b) A =
c) A =
Problema 3.14 Determinar en cada caso, si las matrices dadas son linealmente dependientes o independientes.
a)
b)
c)
d)
Problema 3.15 Dadas dos matrices A y B de dimensiones 3 × 3,
a) Expresar los vectores columna de AB como una combinaci´on lineal de los vectores columna de A.
b) Expresar los vectores fila de AB como una combinaci´on lineal de los vectores fila de B.
c) Demostrar que si las columnas de B son linealmente dependientes tambi´en lo son las columnas de AB.
d) Demostrar que si las filas de A son linealmente dependientes tambi´en lo son las filas de AB.
Problema 3.
a) Calcular todas la matrices X ∈ R^3 ×^3 que cumplen la ecuaci´on
b) Calcular todas la matrices X ∈ R^3 ×^3 que cumplen la ecuaci´on del apartado anterior y que adem´as son triangulares superiores con unos en la diagonal.
Problema 3.17 Sea A =
y D = AT^. Verifique que AD = I. ¿Es A invertible?
¿Por qu´e?
Problema 3.18 En los siguientes casos, donde todas las matrices son invertibles, resolver la ecuaci´on matricial dada para X simplificando el resultado.
a) XA^2 = A−^1 b) AXB = (BA)^2 c) (A−^1 X)−^1 = A(B−^2 A)−^1 d) ABXA−^1 B−^1 = I + A
Problema 3.19 Utilizando las propiedades de los determinantes, evaluar por inspecci´on el valor de los siguientes determinantes, explicando su razonamiento.
a)
b)
c)
d)
e)
f )
g)
h)
Problema 3.20 Sabiendo el valor del siguiente determinante,
a b c d e f g h i
encontrar el valor de los siguientes determinantes.
a)
2 a 2 b 2 c d e f g h i
b)
3 a −b 2 c 3 d −e 2 f 3 g −h 2 i
c)
d e f a b c g h i
d)
a + g b + h c + i d e f g h i
e)
2 c b a 2 f e d 2 i h g
f )
a b c 2 d − 3 g 2 e − 3 h 2 f − 3 i g h i
Problema 3.26 Sea la matriz real triangular superior:
a b c 0 d e 0 0 f
a) ¿Para que valores a, b, c, d, e, f ∈ R la matriz es invertible?
b) Generalizar la respuesta a una matriz real triangular superior Rn×n.
c) ¿Qu´e forma tiene la inversa de una matriz triangular superior?
d) ¿Bajo que condiciones es invertible una matriz triangular inferior y cual es su forma?
Problema 3.27 En los siguientes casos, determinar si ~b est´a en col(A) y si w~ est´a en fil(A).
a) A =
, ~b =
, w~ =
b) A =
(^) , ~b =
(^) , w~ =
Problema 3.28 Determinar en los siguiente casos, bases para fil(A), col(A) y ker(A).
a) A =
b) A =
c)^ A^ =
Problema 3.29 En los siguientes casos, encontrar una base para el espacio generado por los vectores dados.
a)
(^). b)
c)
(^). d)
Problema 3.30 En los siguientes casos, determinar si los vectores dados forman una base del correspondiente espacio K.
a)
(^) , K = R^3. b)
c)
(^4). d)
Problema 3.
a) Sea A = [~c 1 ~c 2 ~c 3 ~c 4 ] una matriz 3 × 4, con columnas ~c 1 , ~c 2 , ~c 3 , ~c 4 , y sea
una matriz equivalente por filas de A. ¿Forman las filas de A una base del espacio fila de A?
b) Proporcionar una posible base del espacio columna de la matriz A del apartado anterior.
4 Transformaciones Lineales
Problema 4.1 Clasificar las siguientes funciones f : Rn^ → Rm^ en funciones escalares o vectoriales, de una o de varias variables.
a) f (x) = x^2 ; x ∈ R b) f (x) = ||x|| ; x ∈ R^2 c) f (x, y) = [x + y, x − y, x^2 ] ; x, y ∈ R d) f (x, y) = x + y ; x, y ∈ R e) f (x, y) = [x · y, ||y||^2 ] ; x, y ∈ R^3
Problema 4.2 ¿Cu´al de las siguientes transformaciones T : R^3 7 −→ R^3 son lineales?
a)
y 1 = 2 x 2 y 2 = x 2 + 2 y 3 = 2 x 2
b)
y 1 = 2 x 2 y 2 = 3 x 3 y 3 = x 1
c)
y 1 = x 2 − x 3 y 2 = x 1 x 3 y 3 = x 1 − x 2
Problema 4.3 Demostrar que las siguientes transformaciones T : Rn^7 −→ Rm^ son lineales y encontrar la matriz asociada a dicha transformaci´on.
a) T
x y
x + y x − y
b) T
x y
−y x + 2y 3 x − 4 y
c) T
x y z
x − y + z 2 x + y − 3 z
d) T
x y z
x + z y + z x + y
Problema 4.4 Demostrar que las siguientes transformaciones T : R^2 7 −→ R^2 no son lineales.
a) T
x y
y x^2
b) T
x y
|x| |y|
c) T
x y
xy x + y
d) T
x y
x + 1 y − 1
Problema 4.5 A partir de las propiedades mostradas, encontrar la matriz asociada a las siguientes transformaciones lineales.
a) T
b) T
x 1 x 2
= x 1
(^) + x 2
(^) c) T
x 1 x 2 .. . xn
= x 1 ~v 1 + x 2 ~v 2 + · · · + xn~vn ; ~vi ∈ Rm
Problema 4.11 Dadas las transformaciones lineales S : V 7 −→ W y T : U 7 −→ V , demostrar las siguientes afirmaciones:
a) Si S y T son ambas inyectivas, tambi´en lo es S ◦ T.
b) Si S y T son ambas sobreyectivas, tambi´en lo es S ◦ T.
c) Si S ◦ T es inyectiva, tambi´en lo ser´a T.
d) Si S ◦ T es sobreyectiva, tambi´en lo ser´a S.
e) Si dim U > dim V , entonces T no puede ser inyectiva.
e) Si dim U < dim V , entonces T no puede ser sobreyectiva.
Problema 4.12 Demostrar que la rotaci´on de un vector ~v = [x, y] ∈ R^2 en un ´angulo θ con respecto al origen, define una transformaci´on lineal de R^2 en R^2 con matriz asociada:
v = [x, y] θ
X
Y
cos θ − sen θ sen θ cos θ
Problema 4.13 Si Rθ denota una rotaci´on (con respecto al origen) en un ´angulo θ, demostrar que Rα ◦ Rβ = Rα+β.
Problema 4.14 Esquematizar la imagen del c´ırculo unidad bajo la transformaci´on lineal:
T (~x) =
~x
Problema 4.15 Encontrar la matriz asociada a las siguientes transformaciones lineales de R^2 a R^2.
a) Reflexi´on de un vector sobre el eje y.
b) Amplifica un vector por un factor 2 en la componente x y por un factor 3 en la componente y.
c) Proyecci´on de un vector sobre la recta y = −x.
d) Reflexi´on de un vector sobre la recta y = −x.
e) Reflexi´on de un vector sobre la recta y = 2x.
f ) Reflexi´on de un vector sobre la recta y = x, seguida por una rotaci´on de 30o^ en la direcci´on contraria a las agujas del reloj, seguida de una reflexi´on en la recta y = −x.
Problema 4.16 Encontrar la matriz asociada a las siguientes transformaciones lineales de R^3 a R^3.
a) Proyecci´on ortogonal sobre el plano XY.
b) Reflexi´on en el plano y = z.
5 Bases
Problema 5.1 Encontrar bases de los siguientes subespacios vectoriales:
a) W : {x + y = 0} ⊆ R^2 b) W : {x + y − z = 0; x − 2 y + z = 0; x + 7y − 5 z = 0} ⊆ R^3 c) W = gen([1, 1 , 0 , 1], [− 1 , 0 , 1 , 1], [− 1 , − 1 , 1 , 1]) ⊆ R^4
Problema 5.2 Encontrar el vector de coordenadas de la soluci´on del siguiente SEL, respecto de la base B = {[1, 2 , 1], [2, 0 , 1]}. (^) { x + y − z + w = 0 −x − z − w = 0
Problema 5.3 Dado el vector ~v = [1, 1 , 2 , 1] respecto de la base can´onica de R^4 , encontrar la matriz de ~v asociada a la base B = {[1, 0 , 1 , 0], [1, − 1 , 0 , 0], [1, 0 , 1 , 0], [1, 0 , 0 , 1]}.
Problema 5.4 En los siguientes casos:
(1) Encontrar los vectores de coordenadas [~x]B y [~x]C.
(2) Encontrar la matriz de cambio de base de B a C, PC←B.
(3) Utilizar el resultado del apartado (2) para calcular [~x]C y comparar el resultado con el obtenido en el apartado (1).
(4) Encontrar la matriz de cambio de base de C a B, PB←C.
(5) Utilizar los resultado del apartado (4) para calcular [~x]B y comparar el resultado con el obtenido en el apartado (1).
a) ~x =
en R^2.
b) ~x =
en R^3.
6 Ortogonalidad y M´ınimos Cuadrados
Problema 6.1 Determinar cu´ales de los siguientes conjuntos de vectores son ortogonales.
a)
(^). b)
(^). c)
d)
(^). e)
.^ f^ )
Problema 6.2 En los siguientes casos y sin utilizar el proceso de Gram-Schmidt, encontrar una base cualquiera y una base ortogonal del subespacio W ⊆ Kn^ dado.
a) W =
x y z
(^) : x + y + z = 0
⊆ R^3. b) W =
x y z
x + y + z = 0 x − y + z = 0
c) W =
x y z r
x + y − r = 0 x − y + z + r = 0
Problema 6.10 En los siguientes casos encontrar bases para los subespacios fil(A), col(A), ker(A) y ker(AT^ ) y verificar que todo vector de fil(A) es ortogonal a todo vector de ker(A) y que todo vector de col(A) es ortogonal a todo vector de ker(AT^ ).
a)
b)
Problema 6.11 Sea el sistema de ecuaciones lineales A~x = ~b, donde:
; ~b =
a) Dibujar los siguientes subconjuntos de R^2 :
b) Explicar la relaci´on que se observa entre ker(A) y la Im(AT^ ).
c) Explicar la relaci´on que se observa entre ker(A) y S.
d) Encontrar y dibujar el ´unico vector ~x 0 intersecci´on de S y (ker(A))⊥.
e) ¿C´omo es la longitud de ~x 0 respecto al resto de vectores pertenecientes a S?
Problema 6.12 En los siguientes casos, encontrar la proyecci´on ortogonal del vector ~v en el subespacio W ⊂ Rn.
a) ~v = [49, 49 , 49], W = gen([2, 3 , 6], [3, − 6 , 2]) ⊂ R^3.
b) ~v = 9~e 1 , W = gen([2, 2 , 1 , 0], [− 2 , 2 , 0 , 1]) ⊂ R^4.
c) ~v = ~e 1 , W = gen([1, 1 , 1 , 1], [1, 1 , − 1 , −1], [1, − 1 , − 1 , 1]) ⊂ R^4.
Problema 6.13 En los siguientes casos, determinar la descomposici´on ortogonal de ~v con respecto al subespacio W.
a) ~v = [2, −2], W = gen([1, 3]).
b) ~v = [4, − 2 , 3], W = gen([1, 2 , 1]).
c) ~v = [4, − 2 , 3], W = gen([1, 2 , 1], [1, − 1 , 1]).
d) ~v = [2, 1 , 5 , 3], W = gen([1, − 1 , 1 , 0], [0, 1 , 1 , 1]).
Problema 6.14 Aplicar el proceso de Gram-Schmidt a la secuencia de vectores dadas en los siguientes casos.
a)
(^) b)
c)
(^) d)
e)
(^) f )
(^) g)
(^) h)
i)
j)
k)
l)
Problema 6.15 Sea un subespacio W de Rn^ y un vector ~x ∈ Rn. Para un vector definido por ~y = proyW (~x) determinar la relaci´on que existe entre la cantidad ‖~y‖^2 con la cantidad ~y · ~x.
Problema 6.16 Encontrar vectores ~v 1 y ~v 2 de Rn^ que generan una matriz A invertible, siendo
~v 1 · ~v 1 ~v 1 · ~v 2 ~v 2 · ~v 1 ~v 2 · ~v 2
Problema 6.17 Encontrar la factorizaci´on QR de las siguientes matrices, teniendo en cuenta lo realizado en el Problema 6.14.
a)
(^) b)
c)
(^) d)
e)
(^) f )
(^) g)
(^) h)
i)
j)
k)
l)
Problema 6.18 Encontrar la factorizaci´on QR de las siguientes matrices M
a) M =
(^). b) M =^1 2
Problema 6.19 Encontrar la soluci´on de m´ınimos cuadrados ~s de los siguientes sistemas A~x = ~b, realizando, en caso de ser posible, una interpretaci´on gr´afica del mismo y calculando el error ‖~b − A~s‖.
a) A =
, ~b =
. b) A =
(^) , ~b =
c) A =
(^) , ~b =
(^). d) A =
(^) , ~b =
Problema 6.20 En los siguientes casos, se proporciona una factorizaci´on QR de A. Utilizarla para encontrar una soluci´on por m´ınimos cuadrados de A~x = ~b.
a) A =
, ~b =
b) A =
, ~b =
