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CLASE # 11 y 12
I. Datos Generales
Fecha: 02 de dic. 2019 Carrera: _Contaduría Pública y Banca y Finanzas.
Asignatura: _Matemática II Unidad: IV Algebra Matricial
II. Objetivos Conceptual: Explicar los conceptos, definiciones, interpretación, propiedades, notación de matrices y operaciones con matrices Procedimental:
Aplicar conceptos, definiciones, reglas, propiedades y leyes fundamentales de las matrices en la resolución de operaciones con matrices.
Actitudinal: Valorar la importancia de las matrices como herramienta para la solución de problema de su entorno social.
III. Contenidos Introducción Definición, notación, clasificación y propiedades Operaciones con matrices: suma, resta, multiplicación, multiplicación por un escalar Determinante de una matriz cuadrada de orden 2 y 3 Inversa de una matriz método de la adjunta IV. Actividades 4.1. Iniciales
4.2. De desarrollo
Introducción
Utilidad de las matrices.
Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc...
La utilización de matrices, constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos etc.
Definición, notación, tamaño u orden, clasificación y propiedades de una Matriz
Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, suelen ser números ordenados en filas y columnas.
Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, ... y los elementos de las mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c, ... Un elemento genérico que ocupe la fila i y la columna j se escribe aij. Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz : A = ( aij )
Ejemplos:
A= (^) 02 50 B= (^) ^132513 C=
D= 2 5 9 6 E=
F=
G=
Gt=
H=
Operaciones con Matrices. Adición y Sustracción de Matrices: La adición (y la sustracción) de dos matrices A+B (o A-B) requiere que las matrices sean de dimensiones iguales. Cada elemento de la matriz A se suma (o resta) del elemento correspondiente de la otra matriz. Ejemplos: Dadas las siguientes Matrices:
𝐴 = [^23 04 −1 5 1 −2 3
] 𝐵 = [^32 10 −3^2
]
Encuentre A+B, A-B Multiplicación escalar: En el álgebra matricial un número simple como el 2 o el ¼ recibe el nombre de escalar. La multiplicación de una matriz por un número o escalar implica la multiplicación de cada elemento de la matriz por el número. El proceso se denomina multiplicación escalar. Ejemplo: Encuentre ½ A.
1.3.3. Multiplicación Vectorial. La multiplicación de un vector hilera por un vector columna requiere como precondición que cada vector tenga precisamente el mismo número de elementos. A continuación se determina el producto, multiplicando los elementos individuales del vector hilera por sus elementos correspondientes en el vector columna y sumando los productos. Ejemplo:
𝐴 = [1 3 −2] 𝐵 = [^22 1
]
1.3.4 Multiplicación de Matrices: La multiplicación de dos matrices: mxn y nxp requiere que las matrices sean conformables, o sea, que el número de columnas de la primera sea igual al número de filas de la segunda. A continuación cada vector hilera de la primera se multiplica por cada vector columna de la segunda (Multiplicación Vectorial).
Ejemplo: [^32 25 41 ]x[^108
6 5
]
1.1. Determinante de una matriz. El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden “n” un número real llamado el determinante de la matriz que se denota como det(A) o /A/ ( no significa valor absoluto) 𝐴 = [2] 𝐵 = [^24 32 ] 𝐶 = [^21 34 −1 2 −3 1 4
]
A = 2 B= (2)(2) – (4)(3) C Aplicar regla de Sarrus.
Algunas propiedades de los determinantes. a) El determinante de una matriz y de su transpuesta son iguales. b) Si una fila o columna de una matriz se multiplica por el número “K”, entonces el determinante de la matriz resultante es “K” veces el determinante de la matriz original. c) Al sumar un múltiplo de una fila o columna de una matriz a otra fila o columna de la misma matriz entonces, el determinante no cambia. Menores y Cofactores de una matriz de orden “n”.
Sea A una matriz de orden n 2, se define el menor Mij asociado al elemento aij de A
como el determinante de la matriz que se obtiene al eliminar la fila i y la columna j de la matriz. El cofactor cij asociado al elemento aij de A está dado por cij = (-1) i+j^ Mij. Teorema de expansión o desarrollo de determinantes. El determinante de una matriz A de orden puede evaluarse multiplicando los elementos de cualquier fila o columna por su respectivo cofactor y sumando los productos resultantes.
n 2
EJERCICIOS SOBRE MATRICES
Efectué las operaciones indicadas y simplifique.
1. -^103
3 2 - 4
0 - 1 2 3 4 5 6
2 - 1 0
1 2 3 2
2. Dados^132
3 2 1
4 5 6
1 2 3 A
iii)BA
ii) A-B
calcule i) AB
3. Efectué las operaciones indicadas y simplifique:
a)
3 1
1 0
5 6
2
1 4 5 6
2 3 1
c) Dado
A (^) ^1232 Encuentre A^2 2A- 3
4. Sean^2 -^1
y B^10 1 2
A 23
^
2 2
2 ) A 2 AB B
Encuentre i) (A B) ii
5. Efectué las operaciones indicadas.
- Determine la inversa de las siguientes matrices (método de la adjunta)
i) 2 1 0
0 2 1
1 0 2 4 0 - 1
2 3 2
2 - 1 0
-^32 - 11 ii) 0 3
2 4
1 2 3
- Demuestre que el producto de una matriz por su inversa es igual a la matriz identidad.
- Demuestre │AB│ = │A│ │B│ ; │CD│ = │C│ │D│ │AC│ = │A│ │C│
V. Bibliografía Allendoerfer y Oakley: Fundamentos de matemática Universitaria Arya Jagdish y Lardner Robin: matemáticas aplicada a la Administración y a la Economía Barnett R.A: Matemáticas para Administración y C.C.S.S Departamento de Matemática y Estadística: Matemática al alcance de todos 2.
2 4 1
0 1 8
3 6 1 D 3 2 - 1
9 - 8 7 C 2 2 1
2 1 3
1 3 3 B 4 - 2 3
2 - 5 1 A
