OPERACIONS AMB MATRIUS
SUMA I RESTA
Perquè dues matrius puguen sumar-se han de tindre la mateixa dimensió.
exemples
Exercici: Calcula A-B
PRODUCTE D’UN NOMBRE (ESCALAR) PER UNA MATRIU
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Siga ,
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Este documento proporciona una introducción detallada a las operaciones básicas con matrices, incluyendo la suma y resta de matrices, el producto de un número escalar por una matriz, y el producto de matrices. Se explican las propiedades de estas operaciones, como la no conmutatividad del producto de matrices, y se presentan varios ejercicios prácticos para aplicar estos conceptos. Además, se aborda la potencia de matrices y se demuestra el método de inducción matemática para probar propiedades relacionadas. El documento también incluye una serie de ejercicios de exámenes de universidades españolas que permiten poner en práctica los conocimientos adquiridos sobre operaciones con matrices.
Tipo: Ejercicios
2021/2022
1 / 5
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OPERACIONS AMB MATRIUS
SUMA I RESTA
Perquè dues matrius puguen sumar-se han de tindre la mateixa dimensió. exemples Exercici: Calcula A-B PRODUCTE D’UN NOMBRE (ESCALAR) PER UNA MATRIU Exemple: Siga , Exercici:
PRODUCTE DE MATRIUS
Perquè dues matrius es puguen multiplicar les dimensions han de cumplir: Siguen les matrius A i B de dimensions m x n i n x p (és a dir, el nombre de columnas de la A és igual al nombre de files de B). Es defineix el producte ·B, i en aquest ordre, com una nova matriu C de dimensions m x p. Exemple: COMPTE : El producte de matrius no compleix, en general, les propietats: A) CONMUTATIVA : AB≠BA BA no definida , (en general AB≠BA) B) NO CANCELATIVA: AB=AC, NO IMPLICA NECESSÀRIAMENT QUE B=C. TANMATEIX B≠ 𝐶 C) DIVISORS DE ZERO: AB=0 NO IMPLICA NECESSÀRIAMENT QUE A=0 O B= PERÒ CAP D’ELLES ÉS LA MATRIU ZERO (NULA) EXERCICI: Donada troba totes les matrius tals que AB=BA. Escriu una d’elles.
OPERACIONS AMB MATRIUS.
EXERCICI 1. (Madrid, sep’20 opB) Calcula la matriu EXERCICI 2. (Madrid, julio’20 opB) EXERCICI 3. (Madrid, juny’18 opA) EXERCICI 4. (Madrid, sep’17 opB) EXERCICI 5. (Valencia, sep’02) Calcula la matriu: EXERCICI 6. (Valencia, juny’03 P1) Resol el sistema d’equacions matricials: Si X i Y són les matrius anteriors,calcula la matriu EXERCICI 7. (Valencia, sep’04 P1) EXERCICI 8. (Valencia, juny’08 P1.2) Siguen Calcula i A^5 α i β perquè es complica EXERCICI 9. (Valencia, sep’11 PA1) Comprova raonadament que la matriu P=I-M amb M^2 =M, complix les relacions: P^2 =P i MP=PM
EXERCICI 10. (Valencia, julio’13 OpA P1) a) Si el producte de dues matrius quadrades A i B és conmutatiu, és a dir, AB=BA, aleshores es deduexi que A^2 B^2 =(AB)^2 b) Que la matriu complix la relació A^2 – 3 A + 2I = 0 i que una matriu A que complix aquesta relació té inversa. c) Obtindre raonadament, escrivint tots els passos dels raonament utilitzat, els valors α i β tals que A^3 =αA+βI té inversa, sabent que la matriu A verifica la igualtat A^2 – 3 A + 2I = 0. EXERCICI 11 (Valencia, juny’15 PA1) Justificar raonadament que si M una matriu quadrada tal que M^2 =I, on I és la matriu identitat del mateix ordre que M, aleshores es verifica la igualtat M^3 = M^7. EXERCICI 12. (Valencia, juny’17 PB1) Sent Comprova que C^2 = 2C – I i el valor de C^4. Obtindre la matriu B que admet inversa i que verifica la igualtat: B B = B EXERCICI 13. (Valencia, juliol’17 P B1) Justifica que A^4 = I Calcula les matrius A^7 , A^30 i A^100 EXERCICI 14. (Valencia, juliol’18 P B1) Donades A i B matrius quadrades del mateix ordre tals que AB=A i BA=B, deduir que A^2 =A i B^2 =B. Donada trobeu els paràmetres a i b, perquè la matriu complisca que B^2 =B, pero AB ≠ 𝐴 𝑖 𝐵𝐴 ≠ 𝐵 EXERCICI 15. (Valencia, juny’19 P A1) Una matriu quadrada B d’ordre 3 tal que , sent I la matriu identitat d’ordre 3. Comprova que B és invertible. Troba m i n tals que B-^1 = m B + n I. EXERCICI 16. (Valecia, juliol’19 P B1) Es donen les matrius Calcula totes les solucions de l’equació AX = 5X Comprova que és una solución de l’equació matricial AX=2X. Sense calcular A^100 , Obtindre el valor de β tal que EXERCICI 17 (Valencia, sep’20 P4) Obtín dues constants a , b de manera que A-^1 = A^2 + a B + b I. Es pot utilizar (sense comprovar) que A verifica A^3 - 3A^2 +3A-I= EXERCICI 18 (Valencia, juny’22 P1) Justifica que (ABT)n^ = 2n^ I per a tot nombre natural n.