Operaciones con Matrices, Diapositivas de Matemáticas

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OPERACIONES

CON

MATRICES

Álgebra Lineal

OPERACIONES CON MATRICES

1. Trasposición de matrices
   2. Suma y diferencia de matrices
      3. Producto de una matriz por un número
         4. Producto de matrices

MATRIZ TRASPUESTA: EJEMPLO Y PROPIEDADES

I. Para la matriz A, (At)t^ = A II. Para las matrices A y B, (A + B)t^ = At^ + Bt III. Para la matriz A y el número real k, (k.^ A)t^ = k.^ At IV. Para las matrices A y B, (A.^ B)t^ = Bt^.^ At V. Si A es una matriz simétrica, At^ = A Propiedades: La traspuesta de una matriz A cualquiera se obtiene cambiando filas por columnas y se representa por At. Si A = (aij), entonces At^ = (aji). Si A es mxn, entonces At^ es nxm.

Ejemplo: Si A =

        1 2 3 4 5 6 entonces A t =

1 4  2 5 3 6

OPERACIONES CON MATRICES II

La suma de dos matrices A=(a ij ), B=( bij ) de la misma dimensión , es otra matriz S=( sij ) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico S = (aij + bij). La suma de las matrices A y B se denota por A+B. Ejemplo

2.- Suma y diferencia de matrices

Sin embargo, no se pueden sumar.

La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como la suma

de A con la opuesta de B : A–B = A + (–B) Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión.

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE MATRICES

• (^) Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
• (^) Conmutativa: A + B = B + A
• (^) Elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A donde 0 es la matriz nula.
• (^) Elemento opuesto: A + (– A) = (– A) + A = 0

La matriz –A ( opuesta) se obtiene cambiando de signo los elementos de A.

Sean A, B y C tres matrices del mismo orden.

PROPIEDADES CON LA SUMA Y EL PRODUCTO POR UN NÚMERO

• (^) Distributiva I: k(A + B) = kA + kB
• (^) Distributiva II: (k + h)A = kA + hA
• (^) Elemento neutro: 1 · A = A
• (^) Asociativa mixta: k(hA) = (kh)A Sean A y B dos matrices del mismo orden y k y h dos números reales.

El conjunto de las matrices m x n con las operaciones suma y producto

por un escalar antes definidas, tiene estructura de espacio vectorial

OPERACIONES CON MATRICES IV

4.- Producto de matrices

Dadas dos matrices A y B , su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B (por lo que deben coincidir estas). De manera más formal, los elementos de P son de la forma: Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B****. Es más, si A tiene dimensión m x n y B dimensión n x p , la matriz P será de orden m x p , no se pueden multiplicar Ejemplos: Pij =  aik · bkj con k=1,….n

¿CUÁNDO ES POSIBLE EL PRODUCTO DE MATRICES?

(a

ij

m,n

(b

ij

n,p

Posible filas columnas

(c

ij

m,p

El producto de matrices es posible cuando coincide el número de columnas

de una matriz con el número de filas de la otra matriz.

EJEMPLO: PRODUCTO DE MATRICES

2. ¿Qué dimensiones tiene la matriz producto?

(aij ) 2 ,3.^ (bij) 3, 3 = producto posible (cij) 2 , (^3)

A · B =

       

       

PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES (I)

I. Propiedad asociativa. Para las matrices A de dimensión mxn, B de dimensión nxp y C de dimensión pxr. A.^ (B.^ C) = (A.^ B).^ C III. Propiedad distributiva a la izquierda. Para las matrices A de dimensión mxn, B de dimensión nxr y C de dimensión nxr. A.^ (B + C) = A.^ B + A.^ C IV. Propiedad distributiva a la derecha. Para las matrices A de dimensión mxn, B de dimensión mxn y C de dimensión nxp. (A + B).^ C = A.^ C + B.^ C las matrices identidad de orden m y n, respectivamente, se tiene:

Im · A = A · In = A

II. Elemento unidad. Si A es una matriz mxn, y

Im =                 0 0 0 ...... 1 .. .. .. .. .. 0 0 1 ...... 0 0 1 0 ...... 0 1 0 0 ...... 0 e I (^) n =          1 0 0 ...... (^0)  0 1 0 ...... 0 0 0 1 ...... 0 .. .. .. .. .. 0 0 0 ...... 1