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Suma de matrices
Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(aij) y B=(bij) , se define la matriz suma como: A+B=(aij+bij). La matriz suma se obtienen sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición.
Propiedades de la suma de matrices
Interna: La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n. Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C Elemento neutro: A + 0 = A Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A. Elemento opuesto: A + (−A) = O La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo. Conmutativa:
A + B = B + A
Producto de un escalar por una matriz
Dada una matriz A=(aij) y un número real k R , se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k. kA=(k aij)
Propiedades
a · (b · A) = (a · b) · A A Mmxn, a, b a · (A + B) = a · A + a · BA,B Mmxn , a (a + b) · A = a · A + b · A A Mmxn , a, b 1 · A = A A Mmxn
Producto de matrices
No es Conmutativa:
A · B ≠ B · A
Distributiva del producto respecto de la suma: A · (B + C) = A · B + A · C Suma y diferencia de matrices
Calcular: A + B; A - B; A x B; B x A; At. SUMA DE MATRICES Y PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ DEFINICIÓN 1.11 Si y son matrices, entonces la suma A + B se define como la matriz C de orden m x n , A + B = C, donde .
La suma de matrices solo esta definida para matrices del mismo orden (tienen el mismo número de filas y de colunas). Ejemplo 20 TEOREMA 1.4 (Propiedades de la suma de matrices) Sean A, B y C matrices de R m x n , entonces se verifican las siguientes propiedades:
- Clausurativa.
- A + B = B + A Conmutativa.
- A + (B + C) = (A + B) + C Asociativa.
- A + 0 = 0 + A = A Modulativa donde O es la matriz nula (todas sus componentes son cero)
- A + (-A) = 0 Invertiva donde - A es la inversa aditiva de A. DEMOSTRACIÓN.
- Sea y , entonces , pero como las matrices son reales se tiene
DEFINICIÓN 1.13 (Producto de un Escalar por una Matriz). Dada una matriz y un escalar ( un número real) definimos el producto del escalar por la matriz A como (^). Ejemplo 21 TEOREMA 1.5 (Propiedades del producto por un escalar) Sean A y B matrices de Rm x n y escalares:
distributiva del producto por un escalar con respecto a la suma de escalares.
distributiva del producto por un escalar con respecto a la suma de matrices.
Asociatividad del producto por un escalar.
Identidad.
DEMOSTRACIÓN.
- Sea y. . Como y son números reales, entonces son números reales para , y por lo tanto.
- Sean y matrices de Rm x n y. por definición de suma de matrices. por definición de producto de un escalar por una matriz. propiedad distributiva del producto en los reales con respecto a la suma de reales. Definición de suma de matrices. Definición del producto de un escalar por una matriz.
