¡Descarga Matrius i Vectors Teoria y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
MATRIUS I VECTORS
- CURS 2013-
- Espais vectorials i sistemes d’equacions lineals ´Index
- 1.1. Espais vectorials i subespais
- 1.2. Sistemes d’equacions lineals. Solucions
- 1.2.1. Sistemes d’equacions lineals
- 1.2.2. Conjunt de solucions
- 1.2.3. Forma normal
- 1.2.4. Matrius esglaonades
- 1.2.5. M`etode de reducci´o.
- 1.3. Combinacions lineals. Generadors
- 1.3.1. Combinacions lineals.
- 1.3.2. Generadors d’un subespai vectorial
- 1.4. Depend
encia i independencia lineal de vectors - 1.5. Transformacions elementals d’una fam´ılia de vectors
- Teoria de la dimensi´o
- 2.1. Teorema de la base incompleta o de Steitnitz.
- 2.2. Dimensi´o. Coordenades
- 2.2.1. Dimensi´o
- ii CURS 2013-
- 2.2.2. Coordenades
- 2.3. Rang
- 2.3.1. Rang
- 2.3.2. Coordenades
- 2.4. F´ormula de les dimensions i conseq¨u`encies
- 2.4.1. F´ormula de les dimensions
- 2.4.2. Dualitat
- 2.5. Intersecci´o i suma de subespais
- 2.5.1. Intersecci´o de subespais
- 2.5.2. Suma de subespais.
- 2.6. Suma directa de subespais. F´ormula de Grassmann
- 2.6.1. Suma directa de subespais
- 2.6.2. F´ormula de Grassmann
- Matrius i determinants
- 3.1. Algebra de matrices´
- 3.1.1. Notaciones
- 3.1.2. El espacio vectorial de matrices
- 3.1.3. Producto de matrices
- 3.2. Matrices invertibles.
- 3.3. Matrices elementales
- 3.4. Determinantes. Definici´on y primeras propiedades
- 3.5. Regla de Laplace
- 3.6. Existencia del determinante MATRIUS I VECTORS iii
- 3.7. Regla de Cramer. C´alculo del rango
- 3.7.1. Regla de Cramer
- 3.7.2. C´alculo del rango
- Aplicacions lineals
- 4.1. Aplicaciones lineales
- 4.2. N´ucleo e Imagen
- 4.3. Matriz de una aplicaci´on lineal
- 4.4. Cambios de base
- 4.5. Rango. F´ormula de las dimensiones
- iv CURS 2013-
MATRIUS I VECTORS 1
- Espais vectorials i sistemes d’equacions lineals
1.1. Espais vectorials i subespais. (T1. 13/09)
El cos num`eric R. Denotarem per R el conjunt dels nombres reals. Els seus elements els anomenarem tamb´e escalars. Propietats del conjunt R:
(i) hi ha definida la suma x + y ∈ R de dos nombres reals x, y,
(i) hi ha definit el producte x · y ∈ R de dos nombres reals x, y,
(ii) t´e dos elements distingits 0, 1 ∈ R,
(iii) per a cada x ∈ R existeix un element oposat −x ∈ R,
(iv) per a cada x ∈ R no nul existeix un element invers x−^1 ∈ R,
que satisfan conjuntament les propietats de cos commutatiu:
(CC1) (x + y) + z = x + (y + z), ∀x, y, z ∈ R.
(CC2) x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ R.
(CC3) x + (−x) = 0, ∀x ∈ R.
(CC4) x + y = y + x, ∀x, y ∈ R.
(CC7) (x · y) · z = x · (y · z), ∀x, y, z ∈ R,
(CC8) 1 · x = x, ∀x ∈ R.
(CC5) a · (x + y) = a · x + a · y, ∀a, x, y ∈ R.
(CC6) (a + b) · x = a · x + b · x, ∀a, b, x ∈ R.
(CC9) x · x−^1 = 1, ∀x ∈ R, x 6 = 0.
(CC10) x · y = y · x, ∀x, y ∈ R.
L’espai num`eric Rn. Una n-tuple de nombres reals ´es un llista de n components (x 1 , x 2 ,... , xn), on les components x 1 , x 2 ,... , xn s´on nombres
MATRIUS I VECTORS 3
Notaci´o 1.1.2. Per a tot x, y ∈ E, denotarem per −x el vector (−1) · x, i per y − x el vector y + (−x).
Exemple 1.1.3. Sigui n un nombre natural. El conjunt Rn^ amb les operacions de suma i de producte per escalars fetes component a component ´es un espai vectorial.
Proposici´o 1.1.4. Siguin E un espai vectorial, x, y, z ∈ E, a ∈ R.
(i) (Llei de cancel·laci´o.) Si x + y = x + z, aleshores y = z. (ii) a · 0 = 0 , ∀a ∈ R. (iii) Si a 6 = 0 i x 6 = 0 , aleshores a · x 6 = 0. (iv) 0 · x = 0 , ∀x ∈ E. (v) (Unicitat del vector nul.) Si z + x = x, ∀x ∈ E, aleshores z = 0. (vi) (Unicitat del vector oposat.) Si z + x = 0 , aleshores z = −x.
Definici´o 1.1.5. Subespai vectorial. Sigui E un espai vectorial. Un subespai vectorial de E ´es un subconjunt F de E tal que
(SV0) El vector 0 ´es de F.
(SV1) Si x, y ∈ F , aleshores x + y ∈ F
(SV2) Si x ∈ F , a ∈ R, aleshores a · x ∈ F.
Proposici´o 1.1.6. Sigui F un subespai vectorial d’un espai vectorial E. Aleshores F , amb les operacions heretades de E, ´es un espai vectorial.
4 CURS 2013-
1.2. Sistemes d’equacions lineals. Solucions. (T2. 18/09)
1.2.1. Sistemes d’equacions lineals. Un sistema d’equacions lineals ge- neral de m equacions en les n inc`ognites (x 1 , x 2 ,... , xn) ´es un sistema d’equacions de la forma
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1 nxn = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2 nxn = b 2 · · · am 1 x 1 + am 2 x 2 + · · · + amnxn = bm,
on els ai,j i els bj s´on escalars. Una soluci´o ´es un element s = (s 1 , s 2 , · · · , sn) ∈ Rn^ tal que les equacions s´on certes si substituim les xi per les si, 1 ≤ i ≤ n.
Aquest sistema t´e una matriu de tipus m × n (m files i n columnes)
A =
a 11 a 12 · · · a 1 n a 21 a 22 · · · a 2 n ... ...... ... am 1 am 2 · · · amn
,^ o b´e^ A^ = (aij)^1 ≤i≤m,^1 ≤j≤n,
on aij ´es el coeficient que ocupa el lloc (fila i, columna j). La matriu
de termes independents ´es la matriu B =
( (^) b 1 b 2 ... bm
, o b´e B = (bj) 1 ≤j≤m
i la matriu d’inc`ognites ´es X =
( (^) x 1 x 2 ... xn
, o b´e X = (xi) 1 ≤i≤n. El sistema
s’expressa en la forma matricial com
a 11 a 12 · · · a 1 n a 21 a 22 · · · a 2 n ... ...... ... am 1 am 2 · · · amn
x 1 x 2 ... xn
b 1 b 2 ... bm
;^ o b´e^ A^ ·^ X^ =^ B.
Seguirem el conveni de denotar la matriu d’una sola columna
( (^) s 1 s 2 ... sn
defi-
nida per un element s = (s 1 , s 2 ,... , sn) de Rn^ amb la mateixa notaci´o s, identificant l’espai vectorial de matrius d’una sola columna i n files amb
6 CURS 2013-
1.2.2. Conjunt de solucions. Tot sistema d’equacions t´e un ´unic conjunt de solucions, que ´es un subconjunt de Rn,
Sol(A · X = B) := {s ∈ Rn; A · s = B } ⊂ Rn.
El conjunt de solucions pot ser buit o no.
Definici´o 1.2.1. Sigui A · X = B un sistema d’equacions lineals. Es diu que A · X = B ´es incompatible si el conjunt de solucions ´es buit, i compatible si no ho ´es. Si el sistema ´es compatible, es diu que ´es determinat si el conjunt de solucions t´e un ´unic element, i indeterminat si en t´e m´es d’un. Quan B = 0 diem que el sistema ´es homogeni.
Definici´o 1.2.2. Dos sistemes d’equacions lineals amb les mateixes inc`ognites es diuen equivalents si tenen el mateix conjunt de solucions.
Lema 1.2.3. Si A ´es una matriu m × n, s, s′^ ∈ Rn, i λ ∈ R, aleshores
A(s + s′) = A · s + A · s′, A · (λ · s) = λ · (A · s).
Proposici´o 1.2.4. Les solucions d’un sistema lineal homogeni amb n inc`ognites A · X = 0 formen un subespai vectorial de Rn.
Definici´o 1.2.5. Sigui E un espai vectorial. Un subconjunt V de E s’anomena subespai af´ı si existeix un element u ∈ V tal que V − u := {v − u; v ∈ V } ´es un subespai vectorial de E. Aleshores V − u no dep`en de l’elecci´o de u i s’anomena el subespai director de V. Es t´e V = u + F.
Proposici´o 1.2.6. Les solucions d’un sistema lineal compatible amb n inc`ognites A · X = B formen un subespai af´ı, el subespai director del qual ´es l’espai de solucions del sistema homogeni A · X = 0.
Demostraci´o. Siguin S el conjunt de solucions de AX = B, i F el subespai vectorial de les solucions de AX = 0. Fixem s 0 ∈ S qualsevol. Per a tot s ∈ S, A(s − s 0 ) = As − As 0 = B − B = 0. Per tant s − s 0 ∈ F i S − s 0 ⊂ F. Rec´ıprocament, si t ∈ F , aleshores s := s 0 + t ∈ S, per tant t = s − s 0 ∈ S − s 0 i F ⊂ S − s 0. Finalment S − s 0 = F.
MATRIUS I VECTORS 7
1.2.3. Forma normal. Un dels problemes de la teoria consisteix en que, donat un sistema d’equacions lineals, hem de decidir si ´es o no compatible, i, en cas afirmatiu, expressar el seu conjunt de solucions de manera senzilla. Una manera de respondre aquest problema ´es transformar el sistema donat en un altre de m´es senzill, de fet, el sistema equivalent m´es senzill possible.
(1) Si el sistema ´es equivalent al sistema
x 1 = s 1 x 2 = s 2 · · · xn = sn
aleshores ´es compatible i determinat (la ´unica soluci´o ´es s).
(2) Si el sistema ´es equivalent a un altre que cont´e una equaci´o de la forma 0 = 1, aleshores ´es incompatible.
(3) Finalment, si el sistema ´es equivalent a un que t´e la forma expl´ıcita seg¨uent (^)
x 1 + (c 11 xr+1 + c 12 xr+2 + · · · + c 1 pxr+p) = d 1 x 2 + (c 21 xr+1 + c 22 xr+2 + · · · + c 2 pxr+p) = d 2 · · · xr + (cr 1 xr+1 + cr 2 xr+2 + · · · + crpxr+p) = dr
tret d’un canvi de numeraci´o de les inc`ognites, aleshores el sistema ´es com- patible i la soluci´o general del s’obt´e donant valors arbitraris a les variables (xr+1, · · · , xr+p), que s’anomenen variables lliures.
MATRIUS I VECTORS 9
1.2.4. Matrius esglaonades.
Definici´o 1.2.7. En una fila no nul·la d’una matriu s’anomena pivot (de fila) l’element no nul de m´es a l’esquerra.
Definici´o 1.2.8. Una matriu esglaonada per files ´es una matriu A tal que
(0) Les files nul·les estan al final. (1) El pivot de cada fila val 1 (2) El pivot de cada fila est`a situat estrictament m´es a la dreta que el de la fila anterior.
Si a m´es se satisf`a (3) A sobre del pivot de cada fila nom´es hi ha zeros, la matriu ´es diu esglaonada redu¨ıda per files.
Exemple 1.2.9. Les matrius
s´on esglaonada per files i esglaonada redu¨ıda per files respectivament.
Exercicis 1.2.10. (1) Indica quines de les seg¨uents matrius s´on esglao- nades per files (∗ denota un escalar arbitrari).
A 1 =
,^ A^2 =
, A 3 =
A 4 =
, A 5 =
, A 6 =
10 CURS 2013-
(2) Indica quines de les seg¨uents matrius s´on esglaonades redu¨ıdes per files (∗ denota un escalar arbitrari).
B 1 =
,^ B^2 =
B 3 =
,^ B^4 =
12 CURS 2013-
Demostraci´o. Per inducci´o sobre el nombre de files de la matriu.
Pas 1. Mitjan¸cant transformacions elementals de files de tipus T1 aconse- guim com a primera fila una fila amb el pivot m´es a la esquerra possible. Pas 2. Mitjan¸cant transformacions elementals de files de tipus T2 aconse- guim 1 com a pivot de la primera fila. Pas 3. Mitjan¸cant transformacions elementals de files de tipus T3 posem zeros a sota del pivot de la primera fila. Pas 4. Apliquem la hip´otesi d’inducci´o a la matriu que resulta de treure la primera fila. Pas 5. Mitjan¸cant transformacions elementals de files de tipus T3 aconse- guim posar un zero en cada posici´o de la primera fila que estigui en una columna amb un pivot.
MATRIUS I VECTORS 13
1.3. Combinacions lineals. Generadors. (T3. 20/09)
A continuaci´o fixem un espai vectorial E.
1.3.1. Combinacions lineals. Sigui m un nombre natural i A un conjunt. Una llista de m termes formada amb elements de A s’anomena una fam´ılia d’elements de A amb m components. De manera m´es precisa
Definici´o 1.3.1. Una fam´ılia d’elements de A amb m components ´es una aplicaci´o a : { 1 , 2 ,... , m} −→ A. Usualment, la fam´ılia a es denota en la forma (a 1 , a 2 ,... , am), (ai) 1 ≤i≤m, (ai)i o simplement (ai), essent ai := a(i), ∀i, la component i-`esima.
La fam´ılia a t´e associat el subconjunt de A de les seves components
{a 1 , a 2 ,... , am}.
Observaci´o 1.3.2. Les components repetides nom´es compten una vegada en el conjunt associat. Per exemple les fam´ılies d’escalars a 1 = 1, a 2 = 1 , a 3 = 0 i b 1 = 1, b 2 = 0, s´on diferents per´o tenen el mateix conjunt associat { 0 , 1 }.
Exemple 1.3.3. Una fam´ılia de m components de nombres reals x = (x 1 , x 2 ,... , xm) ´es el mateix que un element de Rm.
Estem interesats en fam´ılies de vectors, en particular en fam´ılies d’elements de Rn, que s´on per tant fam´ılies de fam´ılies.
Definici´o 1.3.4. Sigui (v 1 ,... , vm) una fam´ılia finita de vectors de E. Una combinaci´o lineal de la fam´ılia (vi)i ´es una expressi´o de la forma
c 1 · v 1 + c 2 · v 2 + · · · + cm · vm,
on (c 1 , c 2 , · · · , cm) ´es una fam´ılia d’escalars, anomenats els coeficients. Gracies a la asociativitat de la suma de vectors, la suma anterior es pot fer amb qualsevol agrupaci´o de parentesis i el resultat ´es un vector ben definit de E.
L’expressi´o anterior es denota tamb´e en forma de “sumatori”,
∑m i=
ci · vi.
MATRIUS I VECTORS 15
1.3.2. Generadors d’un subespai vectorial.
Proposici´o 1.3.6. Si tots els elements v 1 ,... , vm d’una fam´ılia de vectors de E pertanyen a un subespai vectorial F de E, aleshores el resultat de tota combinaci´o lineal de la fam´ılia tamb´e pertany a F.
Definici´o 1.3.7. Sigui (v 1 ,... , vm) una fam´ılia de vectors d’un subespai F de E. Si tot vector de F s’expressa com a combinaci´o lineal de la fam´ılia, es diu que la fam´ılia (vi)i (resp. el seu conjunt associat) ´es una fam´ılia generadora (resp. conjunt generador) de F. El terme sistema generador s’aplica indistintament a una fam´ılia generadora o a un conjunt generador. Els vectors d’un conjunt generador tamb´e s’anomenen, impr`opiament, ge- neradors.
Exemples 1.3.8. (1) Sigui F el subespai de R^2 de les solucions de l’e- quaci´o 3x − 2 y = 0. A¨ıllant la variable y obtenim y = 32 x. Fent x = 1
obtenim la soluci´o v 1 = (1, 32 ). El conjunt {v 1 } ´es un sistema generador de F , ja que tota soluci´o ´es un m´ultiple de v 1 ,
(x, y) =
x,
x
= x
= x · v 1.
(2) Sigui F el subespai de R^3 de les solucions de l’equaci´o x + 3y − 2 z = 0. A¨ıllant la variable x obtenim x = − 3 y + 2z. Fent (y, z) = (1, 0) i (y, z) = (0, 1) respectivament, obtenim els vectors v 1 = (− 3 , 1 , 0), v 2 = (2, 0 , 1), que formen un sistema generador de F , ja que tot vector (x, y, z) de F ´es una combinaci´o lineal d’aquests dos:
(x, y, z) = (− 3 y + 2z, y, z) = y(− 3 , 1 , 0) + z(2, 0 , 1) = y · v 1 + z · v 2.
Exemple 1.3.9. Notem e 1 = (1, 0 ,... , 0), e 2 = (0, 1 ,... , 0),... , en = (0, 0 ,... , 1) els vectors de Rn^ amb una component igual a la unitat i la resta de components nul·les. Per a qualsevol w = (w 1 , w 2 ,... , wn) ∈ Rn es t´e w = w 1 · e 1 + w 2 · e 2 + · · · + wn · en. Per tant w ´es una combinaci´o lineal de la fam´ılia de vectors (ei) 1 ≤i≤n i la fam´ılia (e 1 , e 2 ,... , en) genera Rn.
Proposici´o 1.3.10. Sigui (vi) 1 ≤i≤m una fam´ılia finita de vectors de E.
16 CURS 2013-
(1) El conjunt (^) { ∑m
i=
ci · vi ∈ E; ci ∈ R, ∀i
dels resultats de totes les combinacions lineals de la fam´ılia (vi)i ´es un subespai vectorial de E, que es denota per <{v 1 ,... , vm} > o <{vi}i > i es denomina el subespai vectorial generat per (vi)i.
(2) La fam´ılia (vi)i ´es un sistema generador de < {vi}i > i si F ´es un subespai vectorial de E tal que {v 1 ,... , vm} ⊂ F aleshores < {vi}i >⊂ F.
(3) El subespai trivial { 0 } ´es el subespai vectorial generat per la fam´ılia buida i tamb´e per la fam´ılia formada pel vector nul, { 0 }=< ∅ >=< { 0 } >.
