¡Descarga Matrius y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Diagonalització
1 / 70
Per què volem les matrius?
Exemple: Tenim una població d’unes certes plantes. A finals del seu primer estiu, cada planta produeix, de mitjana, 200 llavors i, a finals dels estius següents, cada planta produeix, de mitjana, 500 llavors. A començament de la primavera, un
- 5 % de les llavors produïdes l’estiu anterior germinen i donen plantes noves. La resta de les llavors ja no germinaran mai. D’altra banda, cada hivern moren un 75% de les plantes que eren vives l’estiu anterior. Suposem que el primer estiu tenim 10 plantes recent nascudes i res més. Com evoluciona aquesta població?
2 / 70
Una aplicació
Diguem:
- (^) xn: nombre de plantes noves (al primer estiu) l’estiu n-èsim
- (^) yn: nombre de plantes velles (no joves) l’estiu n-èsim.
Tenim x 0 = 10 i y 0 = 0.
Què valen xn i yn, per a cada n?
Una aplicació
“A finals del seu primer estiu, cada planta produeix, de mitjana, 200 llavors i, a finals dels estius següents, cada planta produeix, de mitjana, 500 llavors. A començament de la primavera, un 0. 5 % de les llavors produïdes l’estiu anterior germinen i donen plantes noves.”
n n + 1
x xn
y yn
Una aplicació
“A finals del seu primer estiu, cada planta produeix, de mitjana, 200 llavors i, a finals dels estius següents, cada planta produeix, de mitjana, 500 llavors. A començament de la primavera, un 0. 5 % de les llavors produïdes l’estiu anterior germinen i donen plantes noves.”
n n + 1
x xn
· 200 · xn
y yn
4 / 70
Una aplicació
“A finals del seu primer estiu, cada planta produeix, de mitjana, 200 llavors i, a finals dels estius següents, cada planta produeix, de mitjana, 500 llavors. A començament de la primavera, un 0. 5 % de les llavors produïdes l’estiu anterior germinen i donen plantes noves.”
n n + 1
x xn
· 200 · xn +
· 500 · yn
y yn
4 / 70
Una aplicació
“A finals del seu primer estiu, cada planta produeix, de mitjana, 200 llavors i, a finals dels estius següents, cada planta produeix, de mitjana, 500 llavors. A començament de la primavera, un 0. 5 % de les llavors produïdes l’estiu anterior germinen i donen plantes noves.”
n n + 1
x xn xn + 2. 5 yn
y yn
Una aplicació
“Cada hivern moren un 75% de les plantes que eren vives l’estiu anterior.”
n n + 1
x xn xn + 2. 5 yn
y yn
Una aplicació
xn+ 1 yn+ 1
xn yn
Recordau les equacions malthusianes:
xn+ 1 = q · xn =⇒ xn = qn^ · x 0
Ara estam davant una equació malthusiana matricial:
( xn+ 1 yn+ 1
= A ·
xn yn
xn yn
= An^ ·
x 0 y 0
7 / 70
Una aplicació
Per tant (^) ( xn yn
)n ·
x 0 y 0
Sabem x 0 = 10 i y 0 = 0.
Només ens manca calcular
)n
Problema: Calcular potències de matrius
8 / 70
Valors i vectors propis
Un vector v =
x 1 .. . xn
és un vector propi d’una matriu
A =
a 1 , 1... a 1 ,n .. .
an, 1... an,n
quan
(i) v 6 = 0 (ii) existeix un nombre λ ∈ C tal que A · v = λ · v
En aquest cas, λ és un valor propi d’A, i v és vector propi d’A de valor propi λ
Exemple
El vector
(^) és un vector propi de valor propi 2 de
perquè
Exemple
El vector
(^) no és un vector propi de
perquè
(^6) = λ ·
11 / 70
Exemple
El vector
(^) no és un vector propi de
perquè 0 no és vector propi mai, per definició, tot i que
12 / 70
Exemples
Donada la matriu
(^) indicau si els vectors
següents en són propis i, en cas afirmatiu, digau de quin valor propi:
Exemples
Trobau, si n’existeixen, algun vector propi de valor propi 2 de
la matriu
x y z
x y z
2 x + y + 3 z = 2 x x + 2 y + 3 z = 2 y 3 x + 3 y + 20 z = 2 z
y + 3 z = 0 x + 3 z = 0 3 x + 3 y + 18 z = 0
x = − 3 z y = − 3 z
− 3 z − 3 z z
Exemple
Volem calcular els valors i vectors propis de
A =
Comencem amb el polinomi característic:
|A − x · I 3 | =
4 − x − 6 6 3 − 5 − x 8 2 − 4 7 − x
= −x^3 + 6 x^2 − 11 x + 6
Les arrels de −x^3 + 6 x^2 − 11 x + 6 són 1, 2 , 3. Aquests són els valors propis d’A
19 / 70
Exemple
Volem calcular els valors i vectors propis de
A =
Ja hem vist que els valors propis són
1 , 2 , 3.
Cerquem ara els vectors propis per a cada valor propi
20 / 70
Exemple
Valor propi 1: Cercam els v =
x y z
(^6) = 0 tals que A · v = 1 · v :
x y z
x y z
4 x − 6 y + 6 z = x 3 x − 5 y + 8 z = y 2 x − 4 y + 7 z = z
x = 2 y z = 0
Els vectors
2 y y 0
, amb y 6 = 0.
Exemple
Valor propi 2: Cercam els v =
x y z
(^6) = 0 tals que A · v = 2 · v :
x y z
x y z
4 x − 6 y + 6 z = 2 x 3 x − 5 y + 8 z = 2 y 2 x − 4 y + 7 z = 2 z
x = − 3 y z = 2 y
Els vectors
− 3 y y 2 y
, amb y 6 = 0.
Exemple
Valor propi 3: Cercam els v =
x y z
(^6) = 0 tals que A · v = 3 · v :
x y z
x y z
4 x − 6 y + 6 z = 3 x 3 x − 5 y + 8 z = 3 y 2 x − 4 y + 7 z = 3 z
x = 0 z = y
Els vectors
y y
, amb y 6 = 0.
23 / 70
Exemple
Calculau els valors i vectors propis de
24 / 70
Matrius diagonalitzables
Una matriu quadrada A ∈ Mn és diagonalitzable quan existeixen una matriu invertible P ∈ Mn i una matriu diagonal D ∈ Mn tals que A = P · D · P−^1
A aquesta descomposició se li diu una descomposició en valors propis, o descomposició canònica, d’A
Potències de matrius
diagonalitzables
Les matrius diagonalitzables són molt fàcils d’elevar a potències: si A = P · D · P−^1 , aleshores
Ak^ =
k ︷ ︸︸ ︷ A · A · · · A
k ︷ ︸︸ ︷ (P · D · P−^1 ) · (P · D · P−^1 ) · · · (P · D · P−^1 ) = P · D · (P−^1 · P) · D · (P−^1 · P) · D · · · D · P−^1 = P · D · In · D · In · D · · · In · D · P−^1
= P ·
︷ ︸︸^ k ︷ D · D · D · · · D ·P−^1 = P · Dk^ · P−^1
i Dk^ és molt fàcil de calcular
Exemple
Determinau els valors i vectors propis de la matriu
B =
Comprovau que és diagonalitzable, donau-ne una descomposició en valors propis i calculau B^50.
31 / 70
Vectors linealment independents
m vectors de n entrades
v 1 =
v 1 , 1 .. . vn, 1
,^ v 2 =
v 1 , 2 .. . vn, 2
,... ,^ vm =
v 1 ,m .. . vn,m
són linealment independents quan els únics λ 1 ,... , λm ∈ C tals que λ 1 · v 1 + · · · + λm · vm = 0 són λ 1 = · · · = λm = 0
32 / 70
Vectors linealment independents
no són linealment independents:
Vectors linealment independents
són linealment independents:
λ 1 ·
implica λ 1 = λ 2 = λ 3 = 0
Vectors linealment independents
Dos vectors són linealment dependents quan un és un múltiple escalar de l’altre
són linealment independents
són linealment dependents
35 / 70
Vectors linealment independents
Determinau si aquests vectors són linealment independents o no:
36 / 70
Rang d’una matriu
El rang d’una matriu A és:
- (^) El seu nombre màxim de fileres linealment independents
- El seu nombre màxim de columnes linealment independents
Aquests dos nombres coincideixen.
Exemple: El rang de
és 2
Matrius diagonalitzables en general
Teorema
Sigui A ∈ Mn i siguin λ 1 ,... , λk els seus valors propis, amb multiplicitats m 1 ,... , mk com a arrels del polinomi característic d’A.
Exemple
Considerem la matriu
A =
El polinomi característic és
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 1 − x 0 − 3 3 2 − x 3 − 3 0 − 1 − x
= −x^3 + 12 x − 16
39 / 70
Exemple
Les arrels de −x^3 + 12 x − 16 són
2 , 2 , − 4.
Aquests són els valors propis d’A
Cerquem ara els vectors propis per a cada valor propi. Perquè diagonalitzi, necessitam trobar:
- (^) Dos vectors propis lin. indep. de valor propi 2
- Un vector propi de valor propi − 4
40 / 70
Exemple
Valor propi 2: Cercam els v =
x y z
(^6) = 0 tals que A · v = 2 · v :
x y z
x y z
−x − 3 z = 2 x 3 x + 2 y + 3 z = 2 y − 3 x − z = 2 z
− 3 x − 3 z = 0 3 x + 3 z = 0 − 3 x − 3 z = 0
⇐⇒ x + z = 0
Exemple
Les solucions de x + z = 0 són els vectors
x y −x
En trobam dos de linealment independents:
Per ara anam bé
Exemple
Valor propi −4: Cercam els v =
x y z
(^6) = 0 tals que
A · v = − 4 · v :
x y z
x y z
−x − 3 z = − 4 x 3 x + 2 y + 3 z = − 4 y − 3 x − z = − 4 z
3 x − 3 z = 0 3 x + 6 y + 3 z = 0 − 3 x + 3 z = 0
x = z y = −z
Un vector propi:
43 / 70
Exemple
En resum,
A =
té valors propis 2, 2 − 4 Sabem vectors propis:
V.P. 2 →
(^) linealment independents;
V.P. − 4 →
44 / 70
Exemple
Per tant, prenent
D =
, P =
tenim que A = P · D · P−^1
− 1 0 − 3 3 2 3 − 3 0 − 1
=
1 0 1 0 1 − 1 − 1 0 1
·
2 0 0 0 2 0 0 0 − 4
·
1 0 1 0 1 − 1 − 1 0 1
− 1
(Un altre) exemple
Calculàrem els valors i vectors propis de
Valors propis: 0, 2, 2 Vectors propis:
de v.p. 0:
− 2 y y 2 y
de v.p. 2:
x x + z z
Vectors ortogonals
Dos vectors x = (x 1 ,... , xn)t^ i y = (y 1 ,... , yn)t^ de la mateixa longitud i amb entrades dins R són ortogonals quan x 6 = 0, y 6 = 0, i
xt^ · y = (x 1 ,... , xn) ·
y 1 .. . yn
=^0
x 1 y 1 + x 2 y 2 + · · · + xnyn = 0
Si x i y són ortogonals i λ, μ 6 = 0, aleshores λ · x i μ · y també són ortogonals.
51 / 70
Vectors ortogonals
Teorema
Si v 1 ,... , vm són vectors dos a dos ortogonals, aleshores són linealment independents
Per exemple (^)
són dos a dos ortogonals, i per tant linealment independents El recíproc és fals. Per exemple
i
són linealment independents, però no ortogonals.
52 / 70
Vectors ortonormals
La norma d’un vector x = (x 1 ,... , xn) amb entrades dins R és
‖x‖ =
x 12 + · · · + x n^2
Observau que ‖x‖ = 0 ⇐⇒ x = 0
Un vector x és unitari quan ‖x‖ = 1.
Dos vectors x = (x 1 ,... , xn)t^ i y = (y 1 ,... , yn)t^ de la mateixa longitud i amb entrades dins R són ortonormals quan són ortogonals i unitaris.
‖x‖ = ‖y ‖ = 1 , xt^ · y = 0
Si x, y són ortogonals, aleshores
‖x‖
· x i
‖y ‖
· y són
ortonormals
Matrius no diagonalitzables
No tota matriu quadrada és diagonalitzable
Però encara que una matriu quadrada A no sigui diagonalitzable, encara admet sempre una descomposició de la forma P · E · P−^1 on E té una forma que fa que les potències d’A es puguin calcular fàcilment
Veurem només el cas 2 × 2
Matrius no diagonalitzables 2 × 2
Proposició
Si A és una matriu quadrada d’ordre 2 no diagonalitzable, amb (únic) valor propi λ, prenent
λ 0 1 λ
- (^) P matriu 2 × 2 amb primera columna de P un vector v 6 = 0 que no sigui vector propi, i segona columna (A − λ · I 2 ) · v
resulta que P és invertible i
A = P · E · P−^1.
55 / 70
Exemple
Considerem la matriu
A =
El polinomi característic és ∣ ∣ ∣ ∣
− 3 − x 1 − 1 − 1 − x
∣ =^ x
(^2) + 4 x + 4
Les arrels de x^2 + 4 x + 4 són
− 2 , − 2
A té valor propi −2 amb multiplicitat 2
56 / 70
Exemple
Calculem els vectors propis. Cercam els v =
x y
6 = 0 tals que
A · v = − 2 · v : ( − 3 1 − 1 − 1
x y
x y
⇔ −x + y = 0
Són els vectors
x x
, amb x 6 = 0
No n’hi ha 2 de linealment independents. Per tant, A no és diagonalitzable.
Exemple
Prenguem un vector no nul i no propi: per exemple v =
(A − (− 2 ) · Id 2 ) · v =
Aleshores, prenent P =
i E =
tenim
que tenim que A = P · E · P−^1 : ( − 3 1 − 1 − 1
Una aplicació
Diguem:
- xn: nombre de plantes noves (al primer estiu) l’estiu n-èsim
- (^) yn: nombre de plantes velles (no joves) l’estiu n-èsim.
Tenim x 0 = 10 i y 0 = 0. Què valen xn i yn?
Equacions: xn+ 1 = xn + 2. 5 yn yn+ 1 = 0. 25 xn + 0. 25 yn
63 / 70
Una aplicació
Això ho podem escriure ( xn+ 1 yn+ 1
xn yn
i la solució és ( xn yn
)n ·
x 0 y 0
on x 0 = 10 i y 0 = 0.
Només ens manca calcular
)n .
64 / 70
Una aplicació
El polinomi característic de A =
és
∣ ∣ ∣ ∣
1 − x 2. 5
- 25 0. 25 − x
∣ =^ x
(^2) − 1. 25 x − 0. 375.
Les arrels de x^2 − 1. 25 x − 0 .375 són
- 5 , − 0. 25.
Per tant, A és diagonalitzable.
Una aplicació
Vectors propis de valor propi 1.5: Cercam els v =
x y
tals que A · v = 1. 5 · v : ( 1 2. 5
- 25 0. 25
x y
x y
⇔ x = 5 y
Són els vectors
5 y y
, amb y 6 = 0.
Prenem
Una aplicació
Vectors propis de valor propi − 0 .25: Cercam els v =
x y
tals que A · v = − 0. 25 · v : ( 1 2. 5
- 25 0. 25
x y
x y
⇔ x = − 2 y
Són els vectors
− 2 y y
, amb y 6 = 0.
Prenem
67 / 70
Una aplicació
Per tant, prenent P =
i D =
tenim
que A = P · D · P−^1 i per tant An^ = P · Dn^ · P−^1
( 1 2. 5
- 25 0. 25
)n
)n ·
- 5 n^0 0 (− 0. 25 )n
- 5 n^0 0 (− 0. 25 )n
68 / 70
Una aplicació
I per tant ( xn yn
)n ·
x 0 y 0
- 5 n^0 0 (− 0. 25 )n
50 · 1. 5 n^ + 20 (− 0. 25 )n 10 · 1. 5 n^ − 10 (− 0. 25 )n
Al final,
xn =
· 1. 5 n^ +
(− 0. 25 )n
yn =
· 1. 5 n^ −
(− 0. 25 )n
Exemple
Trobau les successions (xn)n i (yn)n tals que
xn+ 1 = 3 xn − 0. 25 yn yn+ 1 = 4 xn + yn
i x 0 = 50, y 0 = 10.
