Polinomios interpoladores de Lagrange y Newton, Apuntes de Métodos Numéricos

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InterpolaciÛn y DiferenciaciÛn NumÈrica

Alessandri Canchoa Q.

Setiembre 2020

Contents

0.1 InterpolaciÛn............................. 1 0.2 DiferenciaciÛn NumÈrica....................... 15

0.1 InterpolaciÛn

QuÈ signiÖca interpolar? Interpolar , se trata el problema de Aproximar una funciÛn, la que es muy difÌcil calcular con funciones simples. Encontrar una funciÛn simple para valores de una tabla. El c·lculo general para la soluciÛn de este problema consiste en encontrar una funciÛn g(x; 0 ;


; (^) r );

de la cual se elije los par·metros tal que la funciÛn aproxima los valores de la tabla lo mejor posible. La funciÛn puede ser un polinomio

g(x; 0 ;


; (^) r ) = 0 + 1 x + 2 x^2 +


+ (^) r xr

Para funciones periÛdicas se podrÌa elegir

g(x; 0 ;


; (^) r ) = 0 + 1 Sen( 2 )x + 3 Cos( 4 )x +


+ (^) r 1 Cos( (^) r )x

o para oscilaciones amortiguadas

g(x; 0 ;


; (^) r ) = 0 + 1 e 2 xSen( 3 )x+ 4 e 5 xCos( 6 )x+


+ (^) r 2 e r^1 xCos( (^) r )x

o para una funciÛn con polos

g(x; 0 ;


; (^) r ) = 0

• 1 x +
  
  
  + (^) sxs s+1xs+1^ +^
  
  
  ^ +^ r xr

con una funciÛn racional fraccionaria. Se puede determinar 0 ;


; (^) r , tal que la funciÛn g tiene la propiedad que el promedio de la desviaciÛn es un mÌnimo,esto es una aproximaciÛn. Otro mÈtodo es, exigir que g tenga en las abcisas x 0 ;


; xr los mismos valores como la funciÛn aproximada.

Se cumple 0 B B B @

1 x 0 x^20


xn 0 1 x 1 x^21


xn 1 .. .

1 xn x^2 n


xnn

C

C

C

A

| {z } =A

B

B

B

a 0 a 1 .. . an

C

C

C

A

| {z } =x

B

B

B

f 0 f 1 .. . fn

C

C

C

A

| {z } =b

El determinante

det (A) = det

B

1 x 0 x^20


xn 0 .. .

1 xn x^2 n


xnn

C

A =^

Y

r>s; r=0;


;n s=0;


;n

(xr xs):

es denominado determinante de Vandermonde.Para xi 6 = xj , i 6 = j, el determi- nante es distinto de cero. La soluciÛn del sistema lineal es ˙nico. Entonces el polinomio dado por (x 0 ; f 0 );


; (xn; fn) es ˙nico. TeÛricamente se podrÌa solucionar el problema interpolante, solucionando un sistema de ecuaciones lineales, pero la matriz A es mal condicionada, sobre todo si dos abcisas est·n relativamente cerca. FÛrmulas de Lagrange: a) (x 0 ; f 0 ) P 0 (x) = f 0 b) (x 0 ; f 0 ) ; (x 1 ; f 1 ) :

P 1 (x) =

(x x 1 ) (x 0 x 1 ) | {z } =L 0 (x)

f 0 +

(x x 0 ) (x 1 x 0 ) | {z } =L 1 (x)

f 1

P 1 (x) = L 0 (x) f 0 + L 1 (x) f 1 P 1 (x 0 ) = L 0 (x 0 ) | {z } =

f 0 + L 1 (x 0 ) | {z } =

f 1 = f 0

P 1 (x 1 ) = L 0 (x 1 ) | {z } =

f 0 + L 1 (x 1 ) | {z } =

f 1 = f 1

P 1 (x) =

(x x 1 ) (x 0 x 1 )

f 0 +

(x x 0 ) (x 1 x 0 )

f 1

c) (x 0 ; f 0 ) ; (x 1 ; f 1 ) ; (x 2 ; f 2 )

P 2 (x) = L 0 (x) f 0 + L 1 (x) f 1 + L 2 (x) f 2

=

(x x 1 ) (x x 2 ) (x 0 x 1 ) (x 0 x 2 )

f 0 +

(x x 0 ) (x x 2 ) (x 1 x 0 ) (x 1 x 2 )

f 1

(x x 0 ) (x x 1 ) (x 2 x 0 ) (x 2 x 1 )

f 2

d) (x 0 ; f 0 ) ; (x 1 ; f 1 ) ; (x 2 ; f 2 ) ; (x 3 ; f 3 )

P 3 (x) = L 0 (x) f 0 + L 1 (x) f 1 + L 2 (x) f 2 + L 3 (x) f 3

= (x x 1 ) (x x 2 ) (x x 3 ) (x 0 x 1 ) (x 0 x 2 ) (x 0 x 3 )

f 0 + (x x 0 ) (x x 2 ) (x x 3 ) (x 1 x 0 ) (x 1 x 2 ) (x 1 x 3 )

f 1

(x x 0 ) (x x 1 ) (x x 3 ) (x 2 x 0 ) (x 2 x 1 ) (x 2 x 3 )

f 2 +

(x x 0 ) (x x 1 ) (x x 2 ) (x 3 x 0 ) (x 3 x 1 ) (x 3 x 2 )

f 3

FÛrmulas de Lagrange y Newton Los polinomios b·sicos de Lagrange se deÖnen por

Lj (x) =

(x x 0 )(x x 1 )


(x xj 1 )(x xj+1)


(x xn) (xj x 0 )(xj x 1 )


(xj xj 1 ) (xj xj+1)


(xj xn)

=

Y

k= k 6 =j

x xk xj xk

j = 0;


; n:

Los polinomios L 0 ; L 1 ;


; Ln son de grado n. Para j; k = 0; 1 ;


; n se cumple

Lj (xk) =

0 ; si k 6 = j 1 ; si k = j Para el polinomio interpolante resulta:

Pn(x) =

X^ n

j=

fi Lj (x) =

X^ n

j=

fj

Yn

k= k 6 =j

x xk xj xk ; j = 0;


; n

Seg˙n esta construcciÛn podemos formulas el siguiente teorema. Dados (xi; fi) 2 R^2 , i = 0;


; n; xi 6 = xj para i 6 = j. Entonces el ˙nico polinomio interpolante se puede expresar como

Pn (x) =

X^ n

j=

fi Lj (x) con Lj (x) =

Y^ n

k= k 6 =j

x xk xj xk

; j = 0;


; n:

que es la representaciÛn del polinomio en la forma de Lagrange. Tratamos de construir este polinomio. Escribiendo

Pn(x) = f 0 L 0 (x) + f 1 L 1 (x) +


+ fnLn(x);

se cumple que Pn es un polinomio de grado  n dado que los polinomios L 0 ; L 1 ;


; Ln son de grado n. Dado que Lj (xk) =

0 ; si k 6 = j 1 ; si k = j

se cumplen las condiciones interpolantes

fj = Pn(xj ) = f 0 L 0 (xj ) +


+ fnLn(xj ); j = 0; 1 ;


; n:

Encuentre el polinomio interpolante de Lagrange y el polinomio interpolante (simpliÖcado) para los datos

j 0 1 2 3 xj 0 : 5 1 : 5 2 : 0 3 : 5 fj 4 : 0 1 : 0 3 : 0 5 : 0

SoluciÛn.- Se est· buscando

P 3 (x) = f 0 L 0 (x) + f 1 L 1 (x) + f 2 L 2 (x) + f 3 L 3 (x)

L 0 (x) =

x x 1 x 0 x 1

x x 2 x 0 x 2

x x 3 x 0 x 3

(x 1 :5) (0: 5 1 :5)

(x 2 :0) (0: 5 2 :0)

(x 3 :5) (0: 5 3 :5)

=

(x 1 :5) (x 2 :0) (x 3 :5)

L 1 (x) =

x x 0 x 1 x 0

x x 2 x 1 x 2

x x 3 x 1 x 3

(x 0 :5) (1: 5 0 :5)

(x 2 :0) (1: 5 2 :0)

(x 3 :5) (1: 5 3 :5) = (x 0 :5) (x 2 :0) (x 3 :5)

L 2 (x) =

x x 0 x 2 x 0

x x 1 x 2 x 1

x x 3 x 2 x 3

(x 0 :5) (2: 0 0 :5)

(x 1 :5) (2: 0 1 :5)

(x 3 :5) (2: 0 3 :5)

=

(x 0 :5) (x 1 :5) (x 3 :5)

L 3 (x) =

x x 0 x 3 x 0

x x 1 x 3 x 1

x x 2 x 3 x 2

(x 0 :5) (3: 5 0 :5)

(x 1 :5) (3: 5 1 :5)

(x 2 :0) (3: 5 2 :0)

=

(x 0 :5) (x 1 :5) (x 2 :0)

El polinomio interpolante en la forma de Lagrange est· dado por

P 3 (x) = f 0 L 0 (x) + f 1 L 1 (x) + f 2 L 2 (x) + f 3 L 3 (x) = 4 : 0
L 0 (x) + 1: 0
L 1 (x) + 3: 0
L 2 (x) + 5: 0
L 3 (x) = 4 : 0

(^41) : 5 (x 1 :5) (x 2 :0) (x 3 :5)

+1: 0
((x 0 :5) (x 2 :0) (x 3 :5)) + +3: 0
( (^1) : 1251 (x 0 :5) (x 1 :5) (x 3 :5)) + +5: 0
( 19 (x 0 :5) (x 1 :5) (x 2 :0))

=

(x 1 :5) (x 2 :0) (x 3 :5) + (x 0 :5) (x 2 :0) (x 3 :5) +

(x 0 :5) (x 1 :5) (x 3 :5) +

(x 0 :5) (x 1 :5) (x 2 :0)

La desventaja de estas fÛrmulas es evidente. AÒadiendo nuevos puntos in- terpolantes hay que calcular todo el polinomio nuevamente. Eso se puede evitar utilizando las fÛrmulas de Newton, basado en las siguientes diferencias dividi- das.

IDEA: Comenzamos con el polinomio de grado 0 , que pasa por el punto (x 0 ; f 0 ) : P 0 (x) = f 0 8 x 2 R: AÒadiendo (x 1 ; f 1 ) se obtiene el polinomio de primer grado con P 1 (x 0 ) = f 0 , P 1 (x 1 ) = f 1 tal que

P 1 (x) = P 0 (x) + Q 1 (x); grad(Q 1 )  1

De P 1 (x 0 ) = f 0 se cumple

P 1 (x 0 ) = P 0 (x 0 ) + Q 1 (x 0 ) = f 0 + Q 1 (x 0 ) = f 0 ) Q 1 (x 0 ) = 0.

Luego Q 1 tiene la forma Q 1 (x) = b 1 (x x 0 ), reemplazando se obtiene

P 1 (x) = f 0 + b 1 (x x 0 ):

Por la segunda condiciÛn P (x 1 ) = f 1 se obtiene

P 1 (x 1 ) = f 0 + b 1 (x 1 x 0 ) = f 1 =) b 1 =

f 1 f 0 x 1 x 0

=: f [x 0 ; x 1 ]:

AÒadiendo (x 2 ; f 2 ) obtenemos el polinomio interpolante de grado 2.

P 2 (x) = P 1 (x) + Q 2 (x); grad(Q 2 )  2

P 2 (x 0 ) = P 1 (x 0 ) + Q 2 (x 0 ) = f 0 + Q 2 (x 0 ) = f 0 ) Q 2 (x 0 ) = 0 P 2 (x 1 ) = p 1 (x 1 ) + Q 2 (x 1 ) = f 1 + Q 2 (x 1 ) = f 1 ) Q 2 (x 1 ) = 0 ) Q 2 (x) = b 2 (x x 0 )(x x 1 ) Reemplazando

P 2 (x) = P 1 (x) + b 2 (x x 0 )(x x 1 ) = f 0 + b 1 (x x 0 ) + b 2 (x x 0 )(x x 1 );

determinando b 2 por P 2 (x 2 ) = f 2.

f 0 + b 1 (x 2 x 0 ) + b 2 (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) = f 2

=) b 2 =

f 2 f 1 x 2 x 1

b 1

x 2 x 0

f [x 1 ; x 2 ] f [x 0 ; x 1 ] x 2 x 0

=: f [x 0 ; x 1 ; x 2 ]

En general: Teniendo un polinomio interpolante que pasa por (x 0 ; f 0 ); (x 1 ; f 1 );


; (xn 1 ; fn 1 ), se calcula Pn(x), que pasa adem·s por (xn; fn), por

Pn(x) = Pn 1 (x) + Qn(x); grad(Qn) = n

) Qn(xj ) = 0; j = 0;


; n 1

x 0 f 0 =: f [x 0 ]

f [x 0 ; x 1 ] = f x^11 fx^00 x 1 f 1 =: f [x 1 ] > f [x 0 ; x 1 ; x 2 ] = f^ [x^1 ;x x^22 ]fx^ [ 0 x^0 ;x^1 ]

..

. : > f [x 1 ; x 2 ]

.


> f [x 1 ; x 2 ; x 3 ]


f [x 0 ;


; xn] xn 1 fn 1 =: f [xn 1 ] (^) :::^ :::

f [xn 1 ; xn] xn fn =: f [xn] Obtenemos Sean (xi; fi) 2 R^2 , i = 0;


; n, xi 6 = xj para i 6 = j. Entonces se escribe el ˙nico polinomio interpolante Pn(x) con la propiedad que Pn(xi) = fi, i = 0 ;


; n en la forma de Newton:

Pn (x) =b 0 +b 1 (x-x 0 ) +b 2 (x-x 0 ) (x-x 1 ) +


+bn (x-x 0 )


(x-xn 1 )

con

bi := f [x 0 ;


; xi] i = 0;


; n: El algoritmo correspondiente es

Dados x 0 ;


; xn; f 0 ;


; fn.

DeÖnir f [x 0 ] := f 0 ,


; f [xn] := fn

Para k = 1;


; n

Para j = 0;


; n k

Calcular

f [xj ;


; xj+k] := f [xj+1;


; xj+k] f [xj ;


; xj+k 1 ] xj+k xj Este algoritmo se puede mejorar, porque los coeÖcientes importantes para el c·lculo del polinomio Pn(x) se encuentran en la primera Öla oblicua de la tabla de las diferencias divididas. No hay que almacenar entonces todas las columnas de este esquema, sino solamente cada primer elemento:

Dados x 0 ;


; xn; f 0 ; : : : ; fn

DeÖnir bj := fj , j = 0;


; n Imprimir b 0 Para k = 1;


; n Para j = 0;


; n k Calcular bj := (bj+1 bj )=(xj+k xj ) Imprimir b 0 xj 0 0 : 5 1 fj 1 0 : 8 0 : 5

El esquema de las diferencias divididas es xj fj =: f [xj ] 0 1 =: b 0

= 0 :4 =: b 1

=: b 2

El polinomio interpolante P 2 (x) en la forma de Newton

P 2 (x) = b 0 + b 1 (x x 0 ) + b 2 (x x 0 )(x x 1 ) = 1 0 :4(x 0) 0 :2(x 0)(x 0 :5) = 1 0 : 4 x 0 : 2 x(x 0 :5)

Si se quiere obtener el polinomio que adem·s pase por el punto (2; 2), esto es el polinomio que interpole

xj 0 0 : 5 1 2 fj 1 0 : 8 0 : 5 2

en el esquema de diferencias divididas se agrega en la ˙ltima lÌnea diagonal xj fj 0 1 =: b 0

0 :4 =: b 1 0 : 5 0 : 8 > 0 :2 =: b 2 0 : 6 > 1 :^4 2 ( 00 :2)= 0:8 =: b 3 1 0 : 5 > 1 :^52 ( 0 :^05 : 6)= 1: 4 22 ^01 :^5 = 1 : 5 2 2

Los valores del polinomio Pl(x), pasando por los puntos (x 0 ; f 0 );


; (xl; fl), l = 0;


; n, en el punto x := t se encuentran entonces en la primera Öla oblicua. Solamente estos valores nos interesan. Podemos formular entonces el algoritmo de Aitken-Neville:

Entrada: x 0 ;


; xn, f 0 ;


; fn, t Para j = 0;


; n rj := t xj dj := fj Para k = 1;


; n Para j = 0;


; n k bj :=

rj bj+1 rj+kbj xj+k xj Salida d 0 = Pn(t)

Ejemplo: ri := t xi xi fi

r 0 := t x 0 x 0 f 0 =: d 0 i r^0 d x^11 rx^10 d 0 =: d 0 r 1 := t x 1 x 1 f 1 =: d 1 i r^0 xd^12 rx^20 d 0 =: d 0

i r^1 d x^22 rx^21 d 1 =: d 1 i r^0 d x^13 rx^30 d^0 =: d 0 r 2 := t x 2 x 2 f 2 =: d 2 i r^1 xd^23 rx^31 d 1 =: d 1 i r^2 d x^33 rx^32 d 2 =: d 2 r 3 := t x 3 x 3 f 3 =: d 3 Se obtieneP 3 (t) := d 0 Ejemplo: Calcular P (2:1) donde P es el polinomio interpolante de los puntos (xi; fi) ; i = 0; 1 ; 2 donde

i xi fi 0 2 : 0 0 : 6931 1 2 : 2 0 : 7885 2 2 : 3 0 : 8329 En este caso se tiene t = 2: 1 ri := t xi xi fi

i 0 :^1 ^0 :^78852 : 2 ( 20 : 0 :^1 )^0 :^6931 = 0:740 8 0 : 1 2 : 2 0 : 7885 iP (2:1) i (^0 :^1 )^0 :^83292 : 3 ( 2 : 20 :^2 )^0 :^7885 = 0:744 1 0 : 2 2 : 3 0 : 8329 Finalmente se obtiene P (2:1) = 0 :^1 ^0 :744 1 2 : 3 ( 20 : 0 :^2 )^0 :740 8= 0:741 9.

Ejercicio Calcular P (1:5) donde P es el polinomio interpolante de los pun-

tos (xi; fi) ; i = 0; 1 ; 2 donde SoluciÛn.- En este caso tomamos t = 1: 5 :

 - 1 : 0 0 :765 xi fi - 1 : 3 0 :620 - 1 : 6 0 :455 - 1 : 9 0 :281 - 2 : 2 0 :110 

• 0 : 5 1 : 0 0 : t xi xi fi - i 0 :^5 ^0 :^62008601 : 3 ^01 ::^20  0 :^7651977 = 0:
• 0 : 2 1 : 3 0 : - i 0 :^2 ^0 :^45540221 : 6 ( 10 :: 3 1) ^0 :^6200860 = 0:
• 0 : 1 1 : 6 0 : - i (^0 :1)^0 :^28181861 : 9 ( 1 : 60 :4)^0 :^4554022 = 0:
• 0 : 4 1 : 9 0 : - i (^0 :4)^0 :^11036232 : 2 ( 1 : 90 :7)^0 :^2818186 = 0:
• 0 : 7 2 : 2 0 : - 0 : 5 1 : 0 0 : t xi xi fi - > 0 : - 0 : 2 1 : 3 0 : 6200860 > (0:5)^0 :^51029681 : 6 ( 1 :^00 : 1)^0 :^5233449 = 0: - > 0 :
  • 0 : 1 1 : 6 0 : 4554022 > (0:2)^0 :^51326341 : 9 ( 1 :^03 : 4)^0 :^5102968 = 0: - > 0 :
    • 0 : 4 1 : 9 0 : 2818186 > (^0 :1)^0 :^51042702 : 2 ( 1 : 60 :7)^0 :^5132634 = 0: - > 0 :
    • 0 : 7 2 : 2 0 :
      • 0 : 5 1 : 0 0 : t xi xi fi - > 0 :
        • 0 : 2 1 : 3 0 : 6200860 > 0 :

          • 0 : 5102968 > (0:5)^0 :^51128571 : 9 ( 1 :^00 :4)^0 : - 0 : 1 1 : 6 0 : 4554022 > 0 : - > 0 : 5132634 > (0:2)^0 :^51373612 : 2 ( 1 :^03 :7)^0 :

  • 0 : 4 1 : 9 0 : 2818186 > 0 : - > 0 :
    • 0 : 7 2 : 2 0 :

0.2 DiferenciaciÛn NumÈrica

Denotamos

O(hp) = C 1 hp^ + C 2 hn+1^ + C 3 hp+2^ + C 4 hn+3^ +

donde C 1 6 = 0; C 2 ; C 3 ; C 4 ; ::: son constantes. DiferenciaciÛn de fÛrmulas con alta exactitud De la fÛrmula de Taylor

f (x + h) = f (x) + hf 0 (x) +

h^2 2

f 00 () (1)

donde  2 I, I intervalo con extremos x y (x + h). De (1) : f 0 (x) =

f (x + h) f (x) h

h 2

f 00 () | {z } O(h) De esto se obtiene: f 0 (x) 

f (x + h) f (x) h

con error O(h). De la fÛrmula de Taylor:

f (x + h) = f (x) + hf 0 (x) +

h^2 2

f 00 (x) +

h^3 6

f 000 ( 1 ) (3)

f (x h) = f (x) hf 0 (x) + h^2 2

f 00 (x) h^3 6

f 000 ( 2 ) (4)

De (3) - (4) :

f (x + h) f (x h) = 2hf 0 (x) +

h^3 6

(f 000 ( 1 ) + f 000 ( 2 ))

De esto se obtiene

f 0 (x) 

f (x + h) f (x h) 2 h

con error O(h^2 ). FÛrmulas de diferencias divididas Önitas hacia adelante: h = xi+1 xi

Primera derivada Error f 0 (xi) 

f (xi+1) f (xi) h

O(h)

f 0 (xi) 

f (xi+2) + 4f (xi+1) 3 f (xi) 2 h

O(h^2 )

Segunda derivada Error f 00 (xi)  f (xi+2) 2 f (xi+1) + f (xi) h^2

O(h)

f 00 (xi) 

f (xi+3) + 4f (xi+2) 5 f (xi+1) + 2f (xi) h^2 O(h^2 )

FÛrmulas de diferencias divididas Önitas hacia atras:

Primera derivada Error f 0 (xi) 

f (xi) f (xi 1 ) h

O(h)

f 0 (xi) 

3 f (xi) 4 f (xi 1 ) + f (xi 2 ) 2 h

O(h^2 )

Segunda derivada Error f 00 (xi) 

f (xi) 2 f (xi 1 ) + f (xi 2 ) h^2

O(h)

f 00 (xi) 

2 f (xi) 5 f (xi 1 ) + 4f (xi 2 ) f (xi 3 ) h^2

O(h^2 )

FÛrmulas de diferencias divididas Önitas centradas:

Primera derivada Error f 0 (xi) 

f (xi+1) f (xi 1 ) 2 h O(h^2 )

f 0 (xi) 

f (xi+2) + 8f (xi+1) 8 f (xi 1 ) + f (xi 2 ) 12 h

O(h^4 )

Segunda derivada Error f 00 (xi) 

f (xi+1) 2 f (xi) + f (xi 1 ) h^2

; O(h^2 )

f 00 (xi) 

f (xi+2) + 16f (xi+1) 30 f (xi) + 16f (xi 1 ) f (xi 2 ) 12 h^2

; O(h^4 )

Calcular una aproximaciÛn de f 0 (0:50), para los siguientes datos xi fi xi 2 0 : 00 1 :200 000 0 xi 1 0 : 25 1 :103 516 0 xi 0 : 50 0 :925 000 0 xi+1 0 : 75 0 :636 328 1 xi+2 1 : 00 0 :200 000 0

a) Usando la fÛrmula de diferencias hacia adelante de exactitud O(h^2 ).

f 0 (xi) 

f (xi+2) + 4f (xi+1) 3 f (xi) 2 h f 0 (0:50) 

Aire 10 12 13.5 T(ºC) Suelo

1.

3.

Z, cm

C·lculo de la derivada k 0 1 2 zk 0 1 : 25 3 : 75 Tk 13 : 5 12 10

T (z) = (^) ((zz 0 zz^11 )()(zz 0 z^2 z 2 )) T 0 + (^) (z(z 1 zz^00 )()(zz 1 z^2 z) 2 ) T 1 + (^) ((zz 2 zz^00 )()(zz 2 z^1 z) 1 ) T 2 T 0 (z) = (^) (z 02 zz 1 z)(^1 z 0 z^2 z 2 ) T 0 + (^) (z 12 zz 0 z)(^0 z 1 z^2 z 2 ) T 1 + (^) (z 22 zz 0 z)(^0 z 2 z^1 z 1 ) T 2 dT dz (^) z=

= (^) (z 0 zz^11 +)(zz^20 z 2 ) T 0 (^) (z 1 zz^00 +)(zz^21 z 2 ) T 1 (^) (z 2 zz^00 +)(zz^12 z 1 ) T 2

= (^) (0^11 ::25+325)(0:^753 :75) 13 : 5 (^) (1: 25 0+30)(1::^7525 3 :75) 12 (^) (3: 75 0+10)(3::^2575 1 :25) 10 = 1 :333 3333 oC=cm = 133 :3 3333 oC=m

Calculo del áujo de calor:

q (z = 0) =

3 : 5  10 ^7

m^2 s

kg m^3

J

kg:oC

oC m

= 70 : 56 W=m^2

Recordar: 1 W = 1J=s MÈtodo de Romberg Este mÈtodo para diferenciaciÛn numÈrica fue creado por el matem·tico alem·n W. Romberg en el aÒo 1955. Sea f : R ! R y deÖnimos el cociente

' (h) := hf (x 0 ) =

2 h (f (x 0 + h) f (x 0 h))

Se cumple lim h! 0 +

' (h) := lim h! 0 +

hf (x 0 ) = f 0 (x 0 )

La idea del mÈtodo de Romberg es la aplicaciÛn de la extrapolaciÛn de h en h = 0 a travÈs del polinomio iinterpolante Pn (h) de los puntos (t 0 ; ' (t 0 )) ; (t 1 ; ' (t 1 )) ; (t 2 ; ' (t 2 )) ;


; (tn; ' (tn)) donde t 0 := h 0 = 2 n; t 1 := h 0 = 2 n^1 ;


; tn 2 := h 0 = 22 ; tn 1 := h 0 = 2 ; tn := h 0 y h 0 > 0 es pequeÒo. Esto es f 0 (x 0 )  P (0): Algortimo del MÈtodo de Romberg

Entrada: n; h 0 ; x 0 ; ' (h) := hf (x 0 )

Para j = 0;


; n

rj := h 0 = 2 nj dj := '

h 0 = 2 nj^

Para k = 1;


; n

Para j = 0;


; n k

dj :=

rj dj+1 rj+kdj rj rj+k Salida d 0  f 0 (x 0 )

Aplicando el mÈtodo de Romberg, calcular una aproximaciÛn de dfdt (0:5) para f (x) = tanx: En este caso x 0 = 0: 5 , reemplazando en

' (h) := hf (x 0 ) =

2 h

(f (x 0 + h) f (x 0 h)) ;

se obtiene

' (h) := hf (0:5) =

2 h (tan(0:5 + h) tan(0: 5 h))

Sea h 0 = 0 : 25 ; n = 2 ; tj = h 0 = 2 nj^ ; rj = 0 tj = tj ; dj = ' (tj ) t 2 = h 0 = 0: 25 ; r 2 = t 2 = 0 : 25 ; t 1 = h 0 =2 = t 2 = 2 = 0: 25 =2 = 0: 125 ; r 1 = t 1 = 0 : 125 ; t 0 = h 0 = 22 = t 1 = 2 = 0: 125 =2 = 0: 0625 ; r 0 = t 0 = 0 : 0625 ; d 0 = ' (t 0 ) = ' (0:0625) = (^2)  0 :^10625 (tan(0:5 + 0:0625) tan(0: 5 0 :0625)) = 1: 30166 d 1 = ' (t 1 ) = ' (0:125) = (^2)  01 : 125 (tan(0:5 + 0:125) tan(0: 5 0 :125)) = 1: 31143 d 2 = ' (t 2 ) = ' (0:25) = (^2)  01 : 25 (tan(0:5 + 0:25) tan(0: 5 0 :25)) = 1: 35251 rj dj = ' (tj ) 0 : 0625 1 :3016 6

(^0 :0625)(^1 : 0 3114 3:0625)((^00 ::125)125) 1 :3016 6= 1: 29189 0 : 125 1 :3114 3 (^0 :125)(^1 :3525 1 0 :125)((^00 ::25)25) 1 :3114 3= 1:2703 5 0 : 25 1 :3525 1