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TEMA 1: Modelos de probabilidad
mas´ usuales
1.1.– Experimentos aleatorios. Definiciones basicas.´
1.2.– Concepto de variable aleatoria y distribucion´ de probabilidad
1.3.– Modelos discretos de probabilidad: leyes de Benoulli, Binomial y de Poisson.
1.4.– Modelos continuos de probabilidad: leyes exponencial y normal. Propiedades.
– [⌃] –
1.1. Experimentos aleatorios. Definiciones basicas.´
La teor´ıa de la probabilidad esta´ relacionada con los posibles resultados que pueden obtenerse
al realizar un experimento aleatorio.
Un experimento es un proceso a partir del cual obtenemos un resultado.
La finalidad de un experimento es obtener informacion´ sobre el fenomeno´ que se investiga, para
establecer las leyes del comportamiento de ese fenomeno.´
- Experimento determinista:
- Siempre que se realice en las mismas condiciones proporciona el mismo resultado, por lo
que este´ puede predecirse con seguridad.
- Las condiciones de experimentacion´ contiene a TODOS los factores que influyen
Ejemplo: determinar el espacio recorrido por un veh´ıculo que marcha a una velocidad
determinada en un trayecto dado.
- Experimento aleatorio
- Conocemos todos los posibles resultados antes de realizar el experimento.
- Realizado en las mismas condiciones, no tiene por que´ proporcionar el mismo resultado.
- Las condiciones de experimentacion´ NO contiene a TODOS los factores que influyen.
Ejemplo: Si lanzamos una moneda al aire ¿saldr´a cara o saldra´ cruz?
Ejemplo: Supongamos que lanzamos un dado 10 veces y observamos su cara superior y obte-
nemos el numero´ dos las 10 veces.
¿creer´ıamos que el dado esta´ equilibrado?
¿Qu´e valor le asignar´ıas a la posibilidad de salir el 2?
Lanza un dado 10 veces y anota cuantas´ veces obtienes el 2.
A continuacion´ divide ese numero´ entre 10.
¿Coincide ese numero´ con el valor que asignaste?
¿Cual´ crees que es el motivo?
5
La probabilidad trata de MEDIR el grado de conocimiento que tenemos sobre la aparicion´ de un
determinado resultado cuando se realiza un experimento aleatorio.
Ejemplo: Supongamos el experimento consistente en lanzar dos dados equilibrados y observar
la suma de sus puntuaciones. Si realizamos un numero´ finito de pruebas, 200 por ejemplo,
podr´ıamos obtener los siguientes resultados
Resultados: 3 4 5 6 7 8 9 10 12
Frecuencias absolutas: 16 22 10 32 40 30 18 24 8
Frecuencias relativas: 0.08 0.11 0.05 0.16 0.20 0.15 0.09 0.12 0.
– [ ] –
Cualquier numero´ finito de pruebas dara´ lugar a una distribucion´ semejante a ´esta, en la que no
siempre se obtendr´an todos los resultados posibles; sin embargo, en una gran cantidad de series
finitas de lanzamientos, se obtendran´ todos los resultados posibles, y las frecuencias relativas
oscilaran´ alrededor de las probabilidades teoricas.´
Si se supone un numero´ ilimitado de series finitas de lanzamientos, se llegar´ıa al modelo ideal,
cuyos valores son todos los posibles en el experimento, cada uno con su probabilidad:
Resultados: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Probabilidades:
La diferencia esencial entre frecuencias relativas y probabilidades estriba en que las primeras
son el resultado emp´ırico de la observacion´ de los resultados cuando´ se realiza el eperimento,
mientras que las segundas resultan de un modelo teorico´ que intenta predecir la frecuencia con
la que deber´ıan aparecer los resultados.
La probabilidad podr´ıa considerarse como la frecuencia ideal, el patron´ en torno al cual puede
actuar el azar; la frecuencia real solo´ se conoce con exactitud una vez realizado el experimento
un cierto numero´ de veces.
Ejemplo: Consideremos el lanzamiento de dos monedas equilibradas, y definimos la v.a.
X: “numero´ de caras obtenidas al lanzar las dos monedas”
X: {CC, CF, F C, F F } IR
{CC} 2
{CF } 1
{F C} 1
{F F } 0
Toda variable aleatoria induce en los reales una distribucion´ de probabilidad
P (X = 0) = P (F F ) = 1 / 4
P (X = 1) = P (CF, F C) = 2 / 4
P (X = 2) = P (CC) = 1 / 4
Distribucion´ de
probabilidad
de la variable
aleatoria X
Ejemplo: Consideremos una urna con 2 bolas rojas, 5 verdes y 3 azules. Un jugador extrae una
bola al azar: si es roja le damos 5 euros; si es azul, le damos 2 euros y si es verde paga 3 euros.
Queremos estudiar la ganancia media del jugador.
P (roja) = 2 /10; P (verde) = 5 /10; P (azul) = 3 / 10
Si definimos la v.a. X :“ganancia de una persona en el juego”
X(roja) = +5; =⌦ P (X = +5) = 2 / 10
X(verde) = 3; =⌦ P (X = 3) = 5 / 10
X(azul) = +2 =⌦ P (X = +2) = 2 / 10
Distribucion´ de
probabilidad
de la variable
aleatoria X
– [ ] –
Llamaremos rango o dominio de una variable aleatoria , y lo notaremos D X , al conjunto de
valores que puede tomar dicha variable aleatoria.
Segun´ el rango clasificaremos las variables aleatorias en dos tipos.
Variables aleatorias
discretas (valores aislados)
finitas
infinitas numerables
continuas (cualquier valor en un intervalo)
acotadas
no acotadas
Ej.: n° de conejos machos
Ej.: longitud del ala de un flamenco rosa
Ej.: n° de hijos
Ej.: n° de bacterias
en un cm
3
Ej.: altura de
un hombre
Ej.:tiempo de vida
la bater´ıa de un coche
1.3. Modelos discretos de probabilidad: leyes de Bernoulli, Binomial y de Poisson. Graficas´
Una variable aleatoria es discreta si toma un numero´ finito o infinito numerable de valores reales,
D
X = {x 1 , x 2 ,... , x k ,.. .}, cada uno de ellos tiene asignada una probabilidad P (X = x i ), y la
suma de las probabilidades que asigna a esos numeros´ es la unidad:
x i ⇧D X
P (X = xi) = 1
Usualmente, como los valores que puede tomar una variable aleatoria discreta son numeros´
enteros, notaremos P (X = x k ) = p(x k ) = p k
Asociada a una variable aleatoria discreta se puede definir dos funciones
Funcion´ de masa Funcion´ de distribucion´
p: IR [ 0 , 1] F : IR [ 0 , 1]
definida como definida como
p(x) =
P (X = x) si x ⌃ D X
0 si x ⌥⌃ D X
F (x) = P (X ⇥ x) =
xi⇥x
P (X = x i
Se llama distribucion´ de probabilidad de una variable aleatoria DISCRETA X al conjunto de
valores que toma la v.a. y a su funcion´ masa o bien al conjunto de valores que toma la v.a. y a su
funcion´ de distribucion.´
– [ ] –
Medidas de posicion´ y de dispersion´ de una variable aleatoria discreta
Estas medidas proporcionan un resumen cuantitativo de la informacion´ contenida en la distri-
bucion´ de probabilidad.
Esperanza matematica´ o media se define, en caso de existir, de la siguiente forma
E(X) = μ =
n ✓
i=
xi · P (X = xi) si X es discreta finita
⌅ ✓
i=
x i · P (X = x i ) si X es discreta infinita y la serie converge
Ejemplo: Sea X una variable aleatoria cuyo rango de valores es DX = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } con proba-
bilidades
P (X = 1) = 0 .12; P (X = 2) = 0 .14; P (X = 3) = 0 .36; P (X = 4) = 0 .18; P (X = 5) = 0. 2
Entonces:
E(X) = μ = 1 · 0. 12 + 2 · 0. 14 + 3 · 0. 36 + 4 · 0. 18 + 5 · 0. 2 = 3. 2
Moda: M 0 , es un valor de maxima´ probabilidad.
En el ejemplo anterior la moda es el valor cero: M 0
DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI
Un experimento o una prueba se llama de Bernoulli cuando solo´ hay dos posibles resultados o
alternativas, que suelen llamarse “exito´ ⇤E” y “fracaso ⇤ F”.
Por ejemplo: • art´ıculo aceptable/defectuoso
- cliente satisfecho/no satisfecho
- conexion/bloqueo´
- cara/cruz
- votar´a/no votara´
- compra/no compra.
Jacobo
Bernoulli
Se acostumbra a denotar a las probabilidades por p y q (p + q = 1) y referirse a p = P ( ´exito )
y q = P ( fracaso )
Asociado a un experimento aleatorio consistente en la realizacion´ de una prueba de Bernoulli
podemos definir la variable aleatoria X que asigne al “exito”´ el valor 1 y al “fracaso”el valor 0
llamada variable aleatoria de Bernoulli. Diremos que X se distribuye segun´ una Bernoulli de
parametro´ (o probabilidad de exito)´ p y lo notaremos por X ⌅ Ber(p).
Funcion´ de masa: P (X = x) =
q si x = 0
p si x = 1
0 en el resto
Ber(p=1/3)+
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Este modelo se utiliza siempre que un car´acter de una poblacion´ sea dicotomico,´ es decir, solo´
presenta dos modalidades, A y B, que son incompatibles entre s´ı.
Estas modalidades dividen a los individuos de la poblacion´ en dos clases disjuntas, los que tienen
la modalidad A, con una proporcion´ p de la poblacion´ total y los que tienen la modalidad B, con
una proporcion´ 1 p.
Si llamamos “exito”´ a la modalidad A y “fracaso” a la B, la eleccion´ de un individuo al azar
en esa poblacion´ es una prueba de Bernoulli que asigna el valor 1 al ´exito, con probabilidad p y
asigna el valor 0 al fracaso, con probabilidad q = 1 p
El par´ametro de este modelo es la proporcion´ p de individuos de la modalidad “´exito”, que suele
tomarse como la menos abundante, con lo que se tiene p ⌅ 1 /2.
El caso m´as frecuente que se presenta en la practica´ es la division´ de una poblacion´ entre los
individuos que presentan una caracter´ıstica fijada (el exito)´ y los individuos que no la presentan
(el fracaso).
Esperanza y varianza de la Bernoulli: E(X) = p y V (X) = p(1 p)
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Supongamos un experimento aleatorio consistente en la realizacion´ de n pruebas independientes
de Bernoulli, todas con la misma probabilidad de exito´ p.
Definimos la variable aleatoria:
X = numero´ de ´exitos en esas n pruebas
La distribucion´ binomial de par´ametros n, y p, es una ley discreta que describe la probabilidad de
obtener cualquier numero´ dado de exitos´ en una muestra de tamano˜ n, siempre que la probabilidad
p de exito´ sea la misma en cada unidad y no dependa de lo que ocurre en las dem´as unidades.
Si X tiene una distribucion´ binomial de parameros´ n y p lo notamos por X ⌃ B(n, p).
Parametros´ de la binomial: n ⌃ IN y p ⌃ (0, 1)
La probabilidad en un punto se calcula con la siguiente formula´
P (X = x) =
n
x
p
x (1 p)
n x ; x = 0 , 1 , 2 ,... , n
Esperanza y varianza de la binomial: E(X) = np y V (X) = npq
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Ejemplos de variables con distribucion´ binomial
1. N
o de caras al lanzar 20 veces una moneda
B(n=20, p=P(salir cara con la moneda))
2. N
o de aprobados si se presentan 80 alumnos a un examen
B(n=80, P(aprobar el examen))
3. N
o de familias con un solo hijo en una poblacion´ de 120 familias
B(n=120, p=P(tener un solo hijo))
4. N
o de reacciones negativas ante un farmaco´ administrado a 40 pacientes
B(n=40, p=P( tener una reaccion´ negativa al farmaco))´
5. N
o de semillas que germinan de las 20 semillas que se han plantado en suelos de identica´
composicion´
B(n=20, p=P(una semilla germine))
La distribucion´ binomial se utiliza para estimar la proporcion´ p de individuos de una poblacion´ que
tienen una determinada caracter´ıstica (exito)´ tomando una muestra aleatoria de n individuos de
la poblacion´ y contando el numero´ x de individuos de la muestra que presentan esa caracter´ıstica.
Siempre que examinemos a n individuos de una poblacion´ para ver si presentan o no una cierta
caracter´ıstica tenemos una muestra X 1
, X
2
,... X
n de variables de Bernoulli.
Por eso puede decirse que una variable binomial de par´ametros n y p es la suma de n variables
independientes de Bernoulli, todas con par´ametro p.
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
Simeon´ Denis Poisson
Una variable aleatoria de Poisson de par´ametro ⇥ es una variable aleatorias discreta
que describe el
numero´ de ocurrencias de un suceso
en un intervalo unitario de espacio o de tiempo
cuando este numero´ no depende de lo que ocurra en
los demas´ intervalos
Los valores que toma una variable aleatoria de Poisson, P (⇥),
son los enteros no negativos.
Se notara´ X ⌃ P (⇥) y la probabilidad en un punto se calcula con la siguiente formula:´
P (X = x) = e
⇥
x
x!
, x = 0 , 1 , 2 ,...
Su parametro´ ⇥ > 0, es el numero´ medio de sucesos que ocurre
en un intervalo unidad.
Esperanza matematica´ y varianza: E(X) = ⇥; V (X) = ⇥
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Ejemplos de variables con distribucion´ de Poisson
- numero´ de llegadas de aviones a un aeropuerto en una hora
- numero´ de servidores web accedidos por minuto
- numero´ de llamadas telefonicas´ recibidas en una central telefonica´ durante un tiempo fijo
- numero´ de defectos en una longitud espec´ıfica de una cinta magn´etica de grabacion´
- numero´ de llegadas a unos grandes almacenes en un intervalo de tiempo fijo
- numero´ de part´ıculas atomicas´ emitidas por una fuente radiactiva que golpean cierto
blanco durante un tiempo fijo
- numero´ de autos que pasan a trav´es de un cierto punto en una ruta durante un tiempo fijo
- numero´ de errores de ortograf´ıa que uno comete al escribir una unica´ p´agina
- numero´ de animales muertos encontrados por unidad de longitud de ruta
- numero´ de mutaciones de determinada cadena de ADN despues´ de cierta cantidad de
radiacion´
- numero´ de estrellas en un determinado volumen de espacio
Condiciones:
- Para que la aparicion´ de sucesos por unidad de medida sea considerada un proceso de Poisson
es necesario que exista estabilidad, en el sentido de que el ritmo medio de aparicion´ de sucesos
por unidad de medida sea constante.
- Tambi´en es necesaria la hipotesis´ de independencia en la aparicion´ de los sucesos.
¿Como´ son las gr´aficas de la funcion´ de masa de la distribucion´ de Poisson?
5 10 15 20
5 10 15 20
P (1) P (4)
5 10 15 20
5 10 15 20
P (3.5) P (0.7)
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Reproductividad de la distribucion´ de Poisson respecto de su parametro´ ⇥:
X
1
⌃ P (⇥
1
X
2
⌃ P (⇥
2
X
1 i X 2
⌦ X
1
+ X
2
⌃ P (⇥
1
2
Este resultado es intuitivo pues si cada variable aleatoria est´a generando datos de forma inde-
pendiente y con media constante, su suma tambien´ ser´a una sucesion´ de datos independiente y
de media constante.
Ejemplo: En un estudio realizado por la editorial sobre la venta de enciclopedias en el domicilio
familiar se obtuvo que un vendedor vende una media de 2 enciclopedias por semana.
¿Cual´ es la probabilidad de que un vendedor venda 3 enciclopedias en una semana?
Sea X: “numero´ de enciclopedias vendidas en una semana”. X ⌃ P (⇥ = 2)
P (X = 3) = e
2
3
¿Cual´ es la probabilidad de que un vendedor venda 10 enciclopedias en dos meses?
Dos meses son 9 semanas por lo que S=“numero´ de enciclopedias vendidas en dos meses” se
puede poner como suma de las variables Xi: “numero´ de enciclopedias vendidas en una semana”
con i = 1 , 2 ,... 9
S = X
1
+ X
2
+... + X
9
⌃ P (⇥
S
P (S = 10) = e
18
10
Medidas de posicion´ y de dispersion´ de una variable aleatoria continua
Esperanza matematica´ o media se define, en caso de existir, de la siguiente forma
E(X) = μ =
+⌅
⌅
x · f (x) dx
Moda: M 0 , es un valor donde la grafica´ de la funcion´ de densidad alcanza el m´aximo.
Pueden existir una moda, varias modas o ninguna.
Mediana: M e, es un valor que ocupa una posicion´ central cuando los valores de esa variable se
ordenan de menor a mayor.
La mediana es el valor M e que verifica P (X ⌅ M e
Percentil de orden 100 % es el valor P 100 que verifica
P (X ⌅ P
100
Cuartiles:
El primer cuartil es Q 1
= P
25
El segundo cuartil es la mediana: M e
= Q
2
= P
50
El tercer cuartil es Q 3
= P 75
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Varianza
Se define la varianza como la media de los cuadrados de las diferencias entre los valores de la
variable y su media:
V (X) = ⇤
2
X
+⌅
⌅
x E(X)
2
· f (x) dx
LA VARIANZA NUNCA PUEDE SER NEGATIVA
Desviacion´ t´ıpica ⌅ X , es la raiz cuadrada positiva de la varianza.
Se expresa en las mismas unidades que la variable.
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Una variable aleatoria exponencial de parametro´ ⇥ es una variable aleatorias continua
que describe el tiempo transcurrido entre dos ocurrencias consecutivas ,
Una v.a. X sigue una exponencial de parametro´ ⇥, X ⌃ Exp(⇥), si su funcion´ de densidad es
f (x) =
⇥e
⇥x si x > 0
0 si x ⌅ 0
La esperanza matematica´ o media es (^) E(X) =
y la varianza (^) V (X) =
2
Las probabilidades en intervalos se calculan haciendo uso
de su funcion´ de densidad f
o de su funcion´ de distribucion:´ F (X ⌅ x) = 1 e
⇥x
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Modelo exponencial: su relacion´ con el modelo de Poisson
- Sea X la variable aleatoria que mide el numero´ de sucesos que ocurren en un intervalo de medida
(distancia, tiempo, volumen... ) dado.
Por ejemplo: el numero´ de goles que se marcan en un partido de futbol´ (90 minutos);
el numero´ de restos fosiles´ que se encuentran en una parcela de 1 m
2 en un yacimiento;
el numero´ de pacientes que llegan a la consulta de un medico´ en una hora,...
Esa variable X se distribuye segun´ una Poisson de parametro´ ⇥, donde ⇥ es el numero´ de medio
de ocurrencias del suceso que estemos contando en esa unidad de medida.
- Sea ahora Y la variable aleatoria que mide la distancia, el tiempo, el volumen... , que existe
entre dos ocurrencias sucesivas de ese suceso que estamos contando.
Ejemplo: el tiempo transcurrido entre dos goles sucesivos en un partido de futbol;´
la distancia entre dos fosiles´ que se encuentran en 1 m
2 en un yacimiento;
el tiempo de espera transcurrido entre dos pacientes consecutivos en la consulta de un
m´edico.
Esta variable T se distribuye segun´ una ley Exponencial de parametro´ ⇥.
Su media es por tanto 1 /⇥
- El uso estad´ıstico de la distribucion´ normal comienza con los matematicos´ y astronomos´ Gauss
y Laplace.
- Gauss la utilizo´ en sus investigaciones astronomicas´ estudiando los errores en las mediciones de
una misma magnitud. Por eso a su grafica´ se le llama curva de Gauss.
- Durante la segunda mitad del siglo XIX se llego´ a creer que la mayor´ıa de los datos que proven´ıan
de experimentos biologicos´ se ajustaban a esta distribucion.´ Por ello se le llamo´ normal.
Funcion´ de masa:
Una variable aleatoriaX se dice que tiene una distribucion´ normal de par´ametros μ (μ IR) y
⇤ (⌅ > 0), si su funcion´ de densidad es
f (x) =
2
e
1 2
(x μ) 2
2 ↵ < x < +↵
Se notara´ X ⌃ N (μ, ⌅) Parametros´ de la normal: μ^ ^ IR^ y^ ⌅^ >^0.
Caso particular: Si μ = 0 y ⇤ = 1 , tenemos la distribucion´ N (0, 1) o normal estandar´.
La distribucion´ normal de par´ametros μy ⌅ , es una ley continua y simetrica´ que representa
los valores que puede tomar un caracter´ medible cuya variabilidad se debe a numerosas causas
independientes que actuan´ sumando sus efectos siempre que el efecto de cada causa sea muy
pequeno˜ respecto al efecto total.
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Si representamos graficamente´ la funcion´ de densidad de la normal, podemos observar que es
simetrica´ respecto de x = μ, por lo que este valor es su esperanza, su mediana y su moda. El
m´aximo se alcanza en x = μ y el valor maximo´ es
En x = μ ⇤ y x = μ + ⇤ , tiene sus puntos de inflexion.´
Esperanza y varianza:
E(X) = μ ; V (X) = ⌅
2
Cambios en la media y la varianza:
N ( 3 , 1) N (0, 1) N (3, 1) N (0, 1 /2) N (0, 1) N (0, 2)
La funcion´ de densidad de la normal no tiene primitiva, por lo que su funcion´ de distribucion´ no
se puede calcular analiticamente, sino que hay que recurrir a metodos´ numericos´ para su calculo.´
La funcion´ de distribucion´ y sus valores se pueden obtener con cualquier sofware estad´ıstico.
En otros tiempos se recurr´ıa a las tablas de la funcion´ de distribucion´ de la normal estandar´.
En estas tablas aparecen los valores de (z) = P (Z ⇥ z) donde es la funcion´ de distribucion´
de la normal estandar´
N(μ = 0 , ⌅ = 1)
z
La probabilidad (z) = P (Z ⇥ z) en la ley
normal (0,1) es el area´ de la region´ bajo la gr´afica de
su funcion´ de densidad, hasta el valor de z.
(Region´ coloreada en la figura)
Por ser la ley normal una distribucion´ continua,
las probabilidades P (Z ⇥ z) y P (Z < z)
son numericamente´ iguales.
– [ ] –
Tabla de la distribucion´ N(0,1)
- P (Z ⇥ z) = 1 P (Z ⇥ z)
- z - 4 -
- z - 4 - - 0. - 0. - 0. - 0. - P (Z < 1 .95) =0. Calcular P (Z < 1 .95)
- 4 - - 0. - 0. - 0. - 0. - 1.
- a) P ( 1 95 < Z < 0) = P (Z < 0) P (Z < 1 .95) = 0 5 0 02559 = Ejemplo : Sea Z una variable aleatoria con distribucion´ N(0,1). Calcular:
- 4 - - 0. - 0. - 0. - 0.
- - 4 - - 0. - 0. - 0. - 0. - - 4 - - 0. - 0. - 0. - 0.
- b) P (1. 86 < Z < 2 .03) = P (Z < 2 .03) P (Z < 1 .86) = 0 97882 0 96856 = =
- 4 - - 0. - 0. - 0. - 0. - 1.862.03 - 4 - - 0. - 0. - 0. - 0. - 2.03 - 4 - - 0. - 0. - 0. - 0. - 1.
- c) P ( 1 43 < Z < 0 .37) = P (Z < 0 .37) P (Z < 1 .43) = 0 35569 0 07636 = – [ ] – - - 4 - - 0. - 0. - 0. - 0. - - 1.43 - 0.37 - 4 - - 0. - 0. - 0. - 0. - - 0.37 - 4 - - 0. - 0. - 0. - 0. - - 1.
- d) P ( 1 03 < Z < 0 .37) = P (Z < 0 .37) P (Z < 1 .03) = 0 64431 0 15151 = = - - 4 - - 0. - 0. - 0. - 0. - - 1.03 0. - - 4 - - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - - 4 - - 0. - 0. - 0. - 0. - - 1.
e) P (Z > 1 .28) = 1 P (Z ⌅ 1 .28) = 1 0. 89973 = 0. 10027
1.28 (^) - 4 - 1 1 4
– [ ] –
¿Como´ calcular los valores de la funcion´ de distribucion´ de cualquier normal? para hacer esto
necesitamos hacer uso de la siguiente propiedad:
Propiedad (Tipificacion):´ (^) Si X ⌅ N (μ, ⇤), entonces Z =
X μ
⌃ N (0, 1)
Por lo que podemos tipificar la variable y recurrir a las tablas de la normal estandar´.
Ejemplo : Sea X una variable aleatoriaque se distribuye segun una ley normal de media μ = 3
y desviacion´ t´ıpica ⌅ = 2. Calcular : P (X < 1); P (X ⇧ 6); P (2 < X ⌅ 5).
Consideremos la variable aleatoria Z =
X 3
2
⌃ N (0, 1), entonces
P (X < 1) = P
X 3
= P (Z < 1) = 1 P (Z < 1) = 1 0. 84134 = 0. 15866
x
fHxL
1
0.
z
fHzL
0.
Tipificamos
Z =
X 3
2
N (μ = 3 , ⌅ = 2) N (μ = 0 , ⌅ = 1)
