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Modelos de probabilidad, Apuntes de Estadística

Universidad Autónoma de Madrid (UAM)Estadística
Prof. Alfredo Crespo

Asignatura: estadistica teorica, Profesor: alfredo crespo, Carrera: Economía, Universidad: UAM

Tipo: Apuntes

2017/2018

Subido el 12/02/2018

mauii24
mauii24 🇪🇸

4

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bg1
22/09/2015
1
Tema 3. Modelos de
probabilidad
Introducción
Principales distribuciones de probabilidad discretas
Distribución de Bernoulli
Distribución Binomial
Distribución de Poisson
Principales distribuciones de probabilidad continuas
Distribución Normal
Distribuciones derivadas de la Normal
Distribución chi-cuadrado
Distribución t de Student
Teorema Central del Límite de Lindeberg-Levy
Introducción
¿Qué hemos visto hasta ahora?
Variables aleatorias
Distribuciones de probabilidad
Esperanza y varianza de las variables aleatorias
¿Qué vamos a ver ahora?
Descripción del fenómeno que genera cada variable
aleatoria
Función de probabilidad (cuantía o densidad)
Caracterización de los modelos de probabilidad a través de
su esperanza y su varianza
Parámetros que identifican a cada modelo
2.1.- Distribución Binomial
◦A.- Distribución Binomial [B (1,p) ó B(0,1)] o de Bernoulli
Descripcióndel
fenómeno
Experimentocons ólo
dosposiblesresultados
X=1(éxito,con
probabilidadp)
X=0(fracasocon
probabilidadq=1‐p)
Funcióndecuantía P(X=x)=px(1‐p)1‐x
paraX=0yX=1
Éxito:P(X=1)=p1(1‐p)1‐1=
p
Fracaso:P(X=0)=p0(1‐
p)1‐0=q
Características
Parámetros p(probabilidad deéxito)
Principales distribuciones discretas
2.1.- Distribución Binomial
◦B.- Distribución Binomial B (n,p)
Descripcióndel
fenómeno
Sucesodicotómicoquese
repitenveces,silas
repeticionesson
independientes.
X=1(éxito,con
probabilidadp)
X=0(fracasocon
probabilidadq=1‐p)
Funcióndecuantía
Características
Parámetros
p(probabilidad deéxito)
n(nºderepeticiones)
nxqp
x
n
xXP xnx
0 ,][
Principales distribuciones discretas
pf3
pf4
pf5

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Tema 3. Modelos de

probabilidad

¾^ Introducción ¾^ Principales distribuciones de probabilidad discretas

ƒ^ Distribución de Bernoulli ƒ^ Distribución Binomial ƒ^ Distribución de Poisson

¾^ Principales distribuciones de probabilidad continuas

ƒ^ Distribución Normal ƒ^ Distribuciones derivadas de la Normal

ƒ^ Distribución chi-cuadrado ƒ^ Distribución t de Student

¾^ Teorema Central del Límite de Lindeberg-Levy

Introducción

¿Qué hemos visto hasta ahora?

9 Variables aleatorias 9 Distribuciones de probabilidad 9 Esperanza y varianza de las variables aleatorias

¿Qué vamos a ver ahora?

9 Descripción del fenómeno que genera cada variablealeatoria 9 Función de probabilidad (cuantía o densidad) 9 Caracterización de los modelos de probabilidad a través desu esperanza y su varianza 9 Parámetros que identifican a cada modelo

y^ 2.1.- Distribución Binomial^ ◦^

A.- Distribución Binomial [B (1,p) ó B(0,1)] o de Bernoulli Descripción

del fenómeno

Experimento

con sólo dos^ posibles

resultados

X=1^ (éxito,

con probabilidad

p) X=0^ (fracaso

con probabilidad

q=1‐p)

Función

de^ cuantía

P(X=^ x)

x^ = p( 1 ‐x‐p) para^ X=

y^ X=

Éxito:

P(X^ =1)

(^1) = p( 1 ‐^1 ‐p) =

pFracaso:

P(X=0)

(^0) = p(

1 ‐^0 p) = q

CaracterísticasParámetros

p^ (probabilidad de

éxito)

Principales distribuciones discretas

y^ 2.1.- Distribución Binomial^ ◦^ B.- Distribución Binomial B (n,p) Descripción

del fenómeno

Suceso

dicotómico

que^ se

repite^

n^ veces,

si^ las repeticiones

son independientes.

X=1^ (éxito,

con probabilidad

p) X=0^ (fracaso

con probabilidad

q=1‐p)

Función

de^ cuantía CaracterísticasParámetros

p^ (probabilidad de

éxito)

n (nº^ de

repeticiones)

nx

nqpx

xX

P^

xnx

dd

]

[

Principales distribuciones discretas

22/09/

y^ 2.1.- Distribución Binomial^ ◦^

B.- Distribución Binomial B (n,p)Propiedad aditiva^ ƒ^ Si tenemos una variable que se distribuye:

X^ ~ B(n^1

,p) 1

ƒ^ Si tenemos otra variable que se distribuye:

X^ ~ B(n^2

,p), 2

ƒ^ Si X1 y X

son independientes. 2 Entonces se cumple que:

X^ + X^1

~ B(n 2

+n^ ,p) 1 2

Principales distribuciones discretas

y^ 2.2.- Distribución de Poisson Descripción

del fenómeno

Número

de^ sucesos “raros”

que^ ocurren

en

una^ zona

fija^ de

espacio

o

de^ tiempo

La^ intensidad

de^ dichos sucesos

representada mediante

el^ parámetro positivo

λ

Función

de^ cuantía

P(X=x)=

Para^ x=0,1,2,…

Características

E(X)=

λ^

V(X)=

λ

Parámetros

λ

Propiedad

aditiva

Si^ X~^1

P(λ^ )^1 y^ X~^2 P(λ^ )^2

y^ X^1 indep.

X^2

Y=X+^1

X~^ P(^2

λ^ +^ λ^ )^1

Poisson como

límite

de^ la

Binomial

Si^ n>

y^ p≤0,

(n∙p≤

5)^

λ=n∙p

Principales distribuciones discretas

y^ 3.1.- Distribución Normal^ ◦^ A.- Normal N(0,1) Descripción

del fenómeno

  • Numerosos

sucesos

de

la^ realidad • Distribución

límite de otras • Distribuciones derivadas

Función

de^ densidad

si^ ‐∞ ≤

x^ ≤^ +∞

donde

п^ =^ 3,

y

e^ =^ 2,

Características

E(X)=

V(X)=

Parámetros

μ=^

2 2 σ=

x e

xf

 S

Principales distribuciones continuas Principales distribuciones continuas

Calcular P[Z<1,85] Solución: 0,968 = 96,8%

Búsqueda de probabilidades en tablas de N(0,1)

22/09/

Principales distribuciones continuas

y^ 3.1.- Distribución Normal^ ◦^

B.- Normal N(

x^ Tipificación y Si Y~ N(

μ,σ) entonces la V.A. Z, definida como:

seguirá una distribución Z~N(0,1)

Principales distribuciones continuas

Búsqueda inversa en tablas de N(0,1)^ Si Z~N(0,1) y nos piden P(Z>

a )= k^

el signo que tendrá

a^ será diferente según el valor de

k^ (probabilidad):

Probabilidad

Suceso

Z≤a^

(-)^

Z≥a^

(+)^

y^ 3.2.

‐^ Chi‐

Cuadrado

de^ Pearson

2 χ n

Definición

Sean^ n^ variables aleatorias

X~N(0,1)i independientes, entonces

la^ V.A. (^2) Y=X 1

2 +^ X^2

2 + X+…+ 3

(^2) Xn

seguirá

una^ χ

(^2) n

Función

de^ densidad Características

(^2) E(χ)n =^ n^

(^2) V(χ)n =^ 2n

°°®° °¯

t   ·§*¸¨¹©

(^0) x

0

0 x 2 (^12) =n) f(x,

xn (^122) n^2

xe n

Principales distribuciones continuas

y^ 3.3.

‐^ t^ de

Student

Definición Siendo

U^ una

V.A^ N(0,

σ)

Si^ n>

→t^ →n^

N(0,1).

Características

E(t^ )^ =n

V(t^ )^ n

(^2) =σ =

Principales distribuciones continuas

22/09/

Teorema Central del Límite de Lindeberg-Levy Teorema Central del Límite de Lindeberg-Levy^ El responsable de la sección de frutería de una gransuperficie sabe que el número medio de kilos de patatasvendidos diariamente es de 250 con una desviación típicade 25. Además, ha comprobado que las ventas diarias depatatas son independientes entre sí.^ ‰

Si esta superficie abre 320 días al año. ¿Cuál es laprobabilidad de vender entre 80.000 y 81.000 kilos depatatas en un año?

Teorema Central del Límite de Lindeberg-Levy^ La probabilidad de que una vacuna produzca reaccionesalérgicas es 0,001. Una vacuna se considera aceptablepara su uso cuando experimentada en una muestra de3.000 ratones no produce reacción alérgica en ninguno deellos.Calcular:^ ‰^ Probabilidad de que una variante sea aceptable.^ ‰^ Probabilidad de que de las 400 variantes elaboradas,por lo menos 25 sean aceptables. Teorema Central del Límite de Lindeberg-Levy^ 100 grupos de alumnos se proponen recaudar fondos paraayudar a una región que ha sufrido un huracán. Porexperiencia en operaciones similares, saben que lascantidades recaudadas por cada grupo se distribuyensegún la siguiente función de densidad (en miles deeuros):^ ‰^ ¿Cuál es la probabilidad de que la cantidad totalrecaudada sea superior a 600.000 euros?

®^ ¯

d

d X^ resto

Xf

i

i^