¡Descarga MUPAD y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
MUPAD BÀSIC
1. OPERACIONS ARITMÈTIQUES BÀSIQUES
El Mupad és un software matemàtic que us permetrà fer qualsevol tipus d'operació matemàtica. Si us situeu amb el cursor just després del símbol "[", escriviu una ordre i premeu la tecla return, tot seguit el Mupad executarà la instrucció que li heu escrit. 4 / 3 + 1 / 5 23 15
Si voleu escriure varies ordres en un mateix apartat de càlcul heu de finalitzar la línia amb punt i coma i SHIFT ENTER: ( 4 / 3 )^ 2 ; 5 ^( 1 / 2 ) 16 9
En un document (notebook) de mupad s'hi pot barrejar càlculs amb comentaris. Si en qualsevol moment necessiteu inserir enmig del document una nova línia de càlcul situeu el cursor (amb el ratolí) al punt a partir del qual vulgueu obtenir una nova línia d'ordres, i premeu la icona central de la barra superior d'icones que porta una lletra pi de color vermell. També es pot fer amb CTL+I. Si voleu inserir un comentari això es fa amb la icona que està just a la dreta de l'anterior amb una lletra q de color blau. També es pot fer amb CTL+T. Per sumar, restar, multiplicar, dividir i fer potències teniu els operadors habituals +, - , *, /, ^. Per fer arrels (quadrades,cúbiques, etc.) es pot utilitzar l'operador de potència. Per exemple, l'arrel quadrada de 5 és 5 ^( 1 / 2 ), mentre que l'arrel cúbica de 27 és 27 ^( 1 / 3 ). L'arrel quadrada també es fa amb sqrt(x): sqrt( 8 ); 27 ^( 1 / 3 ) 2
Exercici: Calculeu el resultat de l'operació ( ( 1 / 7 ) - 5 ·( 8 / 3 ))^ 3. (( 1 / 7 )- 5 *( 8 / 3 ))^ 3
2. ASSIGNACIÓ DE VALORS A VARIABLES
Podem assignar un nom al resultat d'un càlcul, mitjançant l'operador " : = " ("dos punts, igual"). Un error molt comú és utilitzar l'operador "=", oblidant els dos punts. O escriure els dos punt i oblidar l'igual. S:= 10 10 T:= 5 5 suma:=S+T 15 quadrat:=suma^ 2 225
El Mupad distingeix entre majúscules i minúscules: s i t són diferents de S i T. Si no reconeix el valor d'una variable, simplement la deixarà indicada: s+t
s + t
Per esborrar el contingut d'una variable usem la comanda delete: delete S S+T
S + 5
delete T S+T
S + T
Per esborrar el contingut de totes les variables usem la comanda reset() suma 15 reset() suma suma 3. VALOR DECIMAL Sempre que pot, el Mupad deixa les operacions indicades, sense donar el resultat numèric. Si voleu el valor numèric això es pot fer amb la comanda float(x). A:=sqrt( 8 ) 2
float(A)
- 828427125 4. NOMBRES COMPLEXOS La unitat imaginària i s'escriu, en Mupad, "I". Per exemple, vegem com es calcula el producte i la divisió dels nombres complexos ( 3 + 2 i ) i ( 4 - 5 i ), i tot seguit comprovem que el quadrat de la unitat imaginària és - 1 : ( 3 + 2 I)( 4 - 5 *I)
22 - 7 i
I^ 2
- 1 Exercici: Calculeu la divisió ( 6 - i)/( 9 +i); eleveu el resultat de la divisió a 3 ; i trobeu els valors decimals del resultat final a:=( 6 - I)/( 9 +I) 53 82
i
b:=a^ 3 56551 275684
i
c:=float(b)
6. FUNCIONS TRIGONOMETRIQUES
El nombre pi s'escriu "PI" PI
p
float(PI)
- 141592654 Les funcions trigonomètriques s'escriuen: sin, cos, tan, sec, cosec, cotan i les funcions trigonomètriques inverses s'escriuen: arctan, arcsin, arccos a:=cos(PI)
c:=sin( 5 *PI/ 11 ) sin
5 p
float(c)
- 9898214419 Exercici 1 : Calculeu a quants radians correspon l'angle de 75 graus. graus:= 75 75 radiants:=PI*graus/ 180
5 p
float(radiants)
- 308996939 float( 5 / 12 )*PI
0. 4166666667 p
Exercici 2 : trobeu quin angle té per cosinus 0. 6789 s:=arccos( 0. 6789 )
- 8245328984 graus:=float( 180 *s/PI)
- 24225515 Comprovació: float(cos(PI*graus/ 180 ))
- 6789 Exercici 3 : calculeu la tangent de l'angle de 90 graus. tan(PI/ 2 ) Error: singularity [tan] La tangent de 90 º és infinit: tan(x) = sin(x)/cos(x) i el cosinus de 90 graus és zero.
La tangent de 90 º és infinit: tan(x) = sin(x)/cos(x) i el cosinus de 90 graus és zero. sin(PI/ 2 ) 1 cos(PI/ 2 ) 0 7. FUNCIONS Amb el Mupad podem definir funcions, que posteriorment es poden manipular (per exemple dibuixar, derivar o integrar). Per definir la funció f(x)=e^arctan(x), cal utilitzar la següent sintaxi, que conté l'operador ": =" (que ja havíem vist) i l'operador "fletxa" ("guió" seguit de ">"). La sintaxi és: nom de la funció := variable - > fórmula f := x - > exp(arctan(x))
x ® e
arctan x
El nom de la funció no porta parèntesi, o sigui no es posa f(x) sinó tan sols f. La variable no ha de ser necessàriament x, pot ser qualsevol lletra que no hagi estat prèviament utilitzada com a nom de variable. Per exemple, definim també la funció g(t) = (t^ 3 - 2 t+ 4 ) / (t^ 2 + 3 ): g := t - > (t^ 3 - 2 *t+ 4 )/(t^ 2 + 3 )
t ® t
3 - 2 t + 4
t^2 + 3
Un cop tenim definides les funcions f i g, ara podem avaluar el seu valor en qualsevol punt: f( 0. 5 )
- 589862618 g( 0. 6 )
- 8976190476 La derivada d'una funció f es calcula amb l'operador D i si l'apliquem varies vegades tenim les derivades segona, tercera, e D(g)
t ® 3 t
t^2 + 3
- 2 t^ t
3 - 2 t + 4
t^2 + 3 ^2
D(D(g))
t ® 6 t
t^2 + 3
- 2 t
3 - 2 t + 4
t^2 + 3 ^2
+ 8 t
2 t 3 - 2 t + 4
t^2 + 3 ^3
- 4 t^ ^3 t
t^2 + 3 ^2
Podem avaluar la derivada en un punt: D(g)( 0. 6 )
- 5943877551 Moltes situacions del món real es poden modelitzar amb funcions que depenen no d'una variable, sinó de diverses. Per exemple, el preu final d'un producte pot ser funció del sou x dels treballadors, del cost y de la matèria primera i del nombre z d'unitats que es fabriquen. La sintaxi per definir funcions de diverses variables és anàloga a la de les funcions d'una variable, tret que les variables es posen entre parèntesis. Per exemple, per definir la funció h(x,y,z) = (x^ 2 + 3 xy) / (z- 5 ) cal entrar: h := (x,y,z) - > (x^ 2 + 3 xy)/(z- 5 )
x , y , z ®
x^2 + 3 x y
z - 5
L'interval de representació gràfica si no l'indiquem el tria el mupad automàticament. Però el podem controlar escrivint x=a..b plot(f(x),x=- 2 .. 6 )
- 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 x y plot(g(x),x=- 3 .. 6 )
- 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5 6
- 1 1 2 3 4 5 x y Es poden dibuixar diverses funcions en un únic gràfic: plot(f(x),g(x)) 3 4 y
- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5
- 4
- 3
- 2
- 1 1 2 3 4 x y Un altre exemple: plot(exp(x^ 2 ))
- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 50000 1 e+ 5
- 5 e+ 5 2 e+ 5 x y Podem controlar l'interval de representació de l'eix d'ordenades amb el paràmetre #Y=a..b: plot(exp(x^ 2 ), x=- 4 .. 4 , #Y= 0 .. 20 ) 20 y
Es poden observar corbes de nivell afegint com a paràmetres ZContours=[z 1 ,...zn] plotfunc 3 d(x*y^ 2 ( 40 - x-y),x=- 2 .. 2 ,y=- 3 .. 3 ,ZContours=[- 500 ,- 300 ,- 100 ,- 10 , 10 , 100 , 30 Exercici: Una fàbrica vol construir caixes rectangulars sense tapa, de 12 cm^ 3 de volum. El material de la base és alumini i costa 30 euros per metre quadrat. La resta de la caixa està feta de cartró, que costa 10 euros per metre quadrat. Fent la gràfica de la funció cost, observeu que hi ha una manera concreta de construir les caixes (un valor concret de l'amplada, la llargada i la fondària) que fan que el cost sigui el mínim possible. reset() mides de la base: x,y altura: h area base: xy area lateral: 2 (x+y)h volum: xyh = 12 h = 12 /(xy) h:= 12 /(xy) 12 x y
x y
area_base:=x*y x y area_lateral:= 2 (x+y)h
24 x + y
x y
cost:= 30 *area_base + 10 *area_lateral
30 x y +
240 x + y
x y
plotfunc 3 d(cost,x= 0 .. 10 ,y= 0 .. 10 ) plotfunc 3 d(cost,x= 0 .. 4 ,y= 0 .. 4 ,ZContours=[ 370 , 390 , 400 , 450 ]) 10. HELP Hi ha moltes instruccions disponibles, i cada instrucció té moltes variants i paràmetres diferents. Per consultar el funcionament complet d'una instrucció, entreu? instrucció: ? plot
