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MuPAD para Principiantes
Prof. José Neville Díaz Caraballo
1. ¿Qué es MuPAD?
MuPAD es un programado que resuelve problemas simbólicos, numéricos, además de crear gráficas. Existen versiones para Windows, Unix y Linux. Este documento estará presentado en Linux Red Hat 9.0.
2. ¿Cómo obtener MuPAD?
MuPAD es gratis para uso académico. Para obtener su copia visite http://www.mupad.de/, por favor regístrese.
3. Pantalla Inicial
El Programa luce de esta manera:
Los comandos deben ser escritos en la línea de comandos >>. Para ejecutar debes
oprimir ¨enter¨ o ¨shift enter¨. Esto depende de cómo lo hayas configurado en el menú de view. MuPAD es sumamente sensitivo con los espacios, así que debes tener cuidado con
lo que escribes.
4. Operaciones y funciones.
MuPAD utiliza prácticamente los mismos símbolos y operaciones comunes de otros paquetes algebraicos simbólicos o gráficos.
Símbolo Significado Ejemplo Significado
+ suma x+1 x 1
- resta x-1 x 1
- multiplicación(10- x)over(x^2+1)
3*x (^3) x
/ división x/3 x 3
^ exponente x^2 (^) x^2
:= asignación x:=3 x 3
sqrt(expr) raíz cuadrada sqrt(x)
(^) x
exp(expr) exponencial exp(x) (^) ex
sin(x) seno sin(x-3) sin x 3
cos(x) coseno cos(2*x) cos 2 x
tan(x) tangente tan(x-1) tan x
ln(x) logaritmo natural ln(x+4) ln x 4
abs(x) valor absoluto abs(2*x-1) (^2) x 1
int(f,x) integral int(x^2,x) (^) x^2 dx
limit(f, x x 0 ) límite^ limit(2*x+1,x=infinity)^ lim
x
2 x
diff(f,x) derivada diff(x^2,x) (^) d dx
x^2
solve( f 0, x ) resolver, raíces^ solve x^2 3 x 1 0, x x^2 3 x 1 0
subs( f 0, x intercepto en y^ subs x^2 3 x 1 0, x 02 3 0 1 1
plotfunc3d((f,x=-a..b, y=c..d)
gráfica en 3 dimensiones
plotfunc3d((x+y),x=-5..5, y=-5..5) f(x,y)=x+y
plotfunc2d(f,x=a..b) gráfica en 2 dimensiones
plotfunc2d(x^2,x=-5..5) f x x^2
Cálculo de 12
sqrt(12)
1/ 2 3
Simplificar sin^2 x cos^2 x
simplify((sin(x))^2 +(cos(x))^2)
simplify(sin(x+PI/2))
cos(x)
simplify(cos(x-PI/2))
sin(x)
Definiendo la función f x x
2 5 x 6
x 1
f:=(x^2-5*x+6)/(x-1)
x - 5 x + 6
x – 1
Encontrando las raíces de f x x
2 5 x 6
x 1
solve(f=0,x)
Encontrando el intercepto en y de f x x
2 5 x 6
x 1
subs(f,x=0)
Demuestre que las siguientes funciones son inversas
f 1 x 2 x^3 1 g x 3
x^
Recuerde definir f y g
f1:=2*x^3-
2 x - 1
g:=((x+1)/2)^(1/3)
/ x \1/ | - + 1/2 | \ 2 /
subs(f1,x=g)
x
subs(g,x=f1)
3 1/ (x )
Observe que obtuvo 3
x^3 x
Calculando la derivada
f2:=diff(f,x)
2 2 x - 5 x - 5 x + 6
x - 1 2 (x – 1)
Buscando los puntos críticos
S:=solve(f2=0,x)
Calculando la segunda derivada
f2:=diff(f,x,x)
2 2 (2 x - 5) 2 (x - 5 x + 6) ----- - ----------- + ---------------- x - 1 2 3 (x - 1) (x - 1)
Definiendo la función f x sin x
f:=sin(x)
sin(x)
Derivando f x sin x
diff(f,x)
cos(x)
Calculando la derivada con la definición de límite
limit(((sin(x+h)-sin(x))/h),h=0)
cos(x)
Haciendo la gráfica de f x ex y dibujando la aproximación por los intervalos
de Riemann
plot(student::plotRiemann (exp(x),x=-1..1)) plot(student::plotRiemann (exp(x),x=-1..1,15))
Definiendo la función g x e^4 x^ ^1 dx
g:=int(exp(4*x+1),x)
exp(x) exp(1)
4
Haciendo la gráfica de f x e^4 x^ ^1 dx
plotfunc2d(g,x=-5..5)
Calculando la f x xcos x^2 dx
F:=int(cos(x^2)*x,x)
2 sin(x )
2
Haciendo la gráfica de f x ex^ y dibujando la aproximación por los intervalos
de Riemann, en este caso haremos 1500 intervalos
plot(student::plotRiemann (exp(x),x=-1..1,1500))
Calculando la integral 1
3 cos 3 z # 2 dz
F:=.5int((3cos(3*z))^2,z=-PI/6..PI/6)
0.75PI
Silla de Montar
plotfunc3d(2y^2-2x^2,x=-4..4,y=-4..4) plotfunc2d(f(x),x=-5..5,Discont=TRUE)
Función a trozos f x %$
x
x^2
2 x
x &% 2
2 ' x ' 2
x ( 2 )
f:=piecewise([x<-2,x+2],[-2<=x<=2,-x^2],[x>2,-2*x+8])
2 piecewise(x + 2 if x < -2, - x if (-2 <= x) <= 2, - 2 x + 8 if 2 < x)
Haciendo la gráfica f *x +
f:=piecewise([x<-2,x+2],[-2<=x<=2,-x^2],[x>2,-2*x+8]):
diff(f,x) cos(x) ## Calculando la derivada con la definición de límite >> limit(((sin(x+h)-sin(x))/h),h=0) cos(x) ## Haciendo la gráfica de f x ex y dibujando la aproximación por los intervalos de Riemann >> plot(student::plotRiemann (exp(x),x=-1..1)) >> plot(student::plotRiemann (exp(x),x=-1..1,15)) ## Definiendo la función g x e^4 x^ ^1 dx >> g:=int(exp(4x+1),x) exp(x) exp(1) -------------- 4 ## Haciendo la gráfica de f x e^4 x^ ^1 dx >> plotfunc2d(g,x=-5..5) ## Calculando la f x xcos x^2 dx >> F:=int(cos(x^2)x,x) 2 sin(x ) ------- 2 ## Haciendo la gráfica de f x ex^ y dibujando la aproximación por los intervalos de Riemann, en este caso haremos 1500 intervalos >> plot(student::plotRiemann (exp(x),x=-1..1,1500)) ## Calculando la integral 1 ## 3 cos 3 z # 2 dz >> F:=.5int((3cos(3z))^2,z=-PI/6..PI/6) ##### 0.75PI ## Silla de Montar >> plotfunc3d(2y^2-2x^2,x=-4..4,y=-4..4) plotfunc2d(f(x),x=-5..5,Discont=TRUE) ## Función a trozos f x %$ x ## x^2 ## 2 x ## x &% 2 ## 2 ' x ' 2 ## x ( 2 ) f:=piecewise([x<-2,x+2],[-2<=x<=2,-x^2],[x>2,-2x+8]) 2 piecewise(x + 2 if x < -2, - x if (-2 <= x) <= 2, - 2 x + 8 if 2 < x) ## Haciendo la gráfica f x + >> f:=piecewise([x<-2,x+2],[-2<=x<=2,-x^2],[x>2,-2x+8]): plotfunc2d(BackGround = RGB::White, ForeGround= RGB::Black, GridLines=Automatic,Ticks=[Steps =1, Steps =1],f(x),x=-5..5,y=-5..5)
Evaluando una función a trozos
eval(subs(f(x),x=1))
Sólidos de revolución. Haremos la gráfica de f x sin x
plotfunc2d(sin(x),x=0..PI)
Resuelva el siguiente problema de valor inicial xy dy
dx
1 x , y e 1, x ( 0
eq:=ode({x*y'(x)=1-x,y(e)=1},y(x)) ode({y(e) = 1, x + x diff(y(x), x) - 1}, y(x)) solve(eq) {e - x - ln(e) + ln(x) + 1}
Encuentre el área de las región acotada por y x
x^2
el eje de x y la linea x=3.
El área sombreada es la integral definida 0
1 x x^2
dz
Haciendo la gráfica
plotfunc2d(x/(x^2+1),x=0..3)
Calculando la integral
int(x/(x^2+1),x=0..3)
ln(10)
2
Haciendo la gráfica de y x 2 sin que aparezca el título.
plotfunc2d(x^2,x=-2..2,Title="")
Calculando la integral definida
1
1
1 x^2 dx
Primero a vamos hacer la gráfica
plotfunc2d((1-x^2)^(1/2),x=-2..2,Title="")
--------- - int| ---------, x | 3 \ 3 /
simplify(F1)
2 cos(x) + 2 x sin(x) - x cos(x)
Calculando la integral
1
1
9 tan^ x^ ^3
sec x
dx
F1:=intlib::changevar(hold(int)((tan(x))^3/sqrt(sec (x)),x),t=sec(x))
/ 2
| t - 1 | int| ------, t | | 3/2 | \ t /
subs(F1,t=sec(x))
3 cos(x)
/ 1 \1/ | ------ | \ cos(x) /
Reescribiremos esta respuesta
sec x ^2
sec x ;:
1
sec x :^3
< 2 sec x :
1
< C
Cómo hacer un programa en MuPAD. En este caso programaremos el Método de
Newton.
/* This program will apply Newton's Method n times, starting with x=x0, to approximate a solution of f :=0. */ newton:=proc(f,range,n) local i, x, g, x0; begin x:=op(range,1);
x0:=op(range,2); g:=x-f/diff(f,x); for i from 1 to n do x0:=float(subs(g,x=x0)); print(x0); end_for; end_proc;
Ejecutar >> newton(sin(x)*cos(x)-cos(x),x=1,10)
Encontrando las raíces en el eje de X.
solve(sin(x)*cos(x)-cos(x)=0,x)
{ 1/2PI + X7PI | X7 in Z_ }
unfreeze(%)
Para determinar cúal de los métodos es mejor debemos determinar el error
Para ello calcularemos el valor de la integral 0
1
x^2 dx x^3?^1
Por lo tanto el error en la suma de riemann por la derecha es@
El error en el trapezoide es
El error en simpson es
Así que concluimos que el método Simpson es el mejor.
Integración por sustitución. Calcular la integral sin x cos x dx
Sea u cos x du A sin x dx entonces u du^ B^
u 2
C
C cos x 7
C
Defina una función F2 que será la integral anterior, donde el ususario indica el cambio de variable
F2:=intlib::changevar(hold(int)(sin(x)*cos(x),x),t=cos (x))
int(-t, t)
simplify(F2)
2 t
2
subs(F2,t=cos(x))
cos(x)
2
diff(subs(F2,t=cos(x)),x)
cos(x) sin(x)
Utilicemos el cambio de variable t=sin(x)
F3:=intlib::changevar(hold(int)(sin(x)*cos(x),x),t=sin (x))
int(t, t)
simplify(F3)
t
2
subs(F3,t=sin(x))
2 sin(x)
2
diff(subs(F3,t=sin(x)))
2 sin(x)
2
diff(subs(F3,t=sin(x)),x)
cos(x) sin(x)
Calculemos la sumatoria D
i E 1
i
f:=(1/2)^x
x (1/2)
sum(f,x=0..infinity)
2
Calculemos la siguiente D
i E 3
i
