¡Descarga números reales ejercicios completos y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Unitat 1. Nombres reals
Pàgina 27
REFLEXIONA I RESOL
El pas de Z a Q
■ Digues quines de les equacions següents es poden resoldre en Z i per a quines
és necessari el conjunt dels nombres racionals, Q.
a) –5 x = 60 b) –7 x = 22 c) 2 x + 1 = 15 d) 6 x – 2 = 10 e) –3 x – 3 = 1 f) – x + 7 = 6
Se pueden resolver en Z a), c), d) y f).
Hay que recurrir a Q para resolver b) y e).
El pas de Q a Á
■ Resol, ara, les equacions següents:
a) x^2 – 9 = 0 b) 5 x^2 – 15 = 0 c) x^2 – 3 x – 4 = 0 d) 2 x^2 – 5 x + 1 = 0 e) 7 x^2 – 7 x = 0 f) 2 x^2 + 3 x = 0
a) x^2 – 9 = 0 8 x = ±
b) 5 x^2 – 15 = 0 8 x^2 = 3 8 x = ±
c) x^2 – 3 x – 4 = 0 8 x = = =
d) 2 x^2 – 5 x + 1 = 0 8 x = = =
e) 7 x^2 – 7 x = 0 8 x^2 – x = 0 8 x = 0, x = 1
f) 2 x^2 + 3 x = 0 8 x (2 x + 3) = 0 8 x = 0, x = –
— 17 — 4
— 17 — 4
— 17 4
5 ±^ √25 – 8
3 ±^ √9 + 16
NOMBRES REALS
Nombres irracionals
■ Demostra que és irracional. Per a tal cosa, suposa que no ho és: =. Ele-
va al quadrat i arriba a una contradicció.
Supongamos que no es irracional. Entonces, se podría poner en forma de fracción:
= 8 2 = 8 p^2 = 2 q^2
En p^2 , el factor 2 está un número par de veces (es decir, en la descomposición de factores primos de p^2 , el exponente de 2 es par). Lo mismo ocurre con q^2. Por tan- to, en 2 q^2 el exponente de 2 es un número impar. De ser así, no se podría cumplir la igualdad.
Suponiendo que = llegamos a una contradicción:
“ p^2 = 2 q^2 , pero p^2 no puede ser igual a 2 q^2 ”. Por tanto, no puede ponerse en forma de fracción. No es racional.
■ Obtín el valor de F tenint en compte que un rectangle de dimensions F : 1 és semblant al rectangle que resulta en suprimir-li un quadrat.
= 8 F(F – 1) = 1 8 F^2 – F – 1 = 0
F = =
Como F ha de ser positivo, la única solución válida es F =.
— 5 — 2
— 5 — (negativo) 2
1 ±^ √1 + 4
F – 1
F
F – 1
F
p q
p^2 q^2
p q
p q
Unitat 1. Nombres reals
Pàgina 29
3. Representa els conjunts següents:
a) (–3, –1) b) [4, + @ ) c) (3, 9] d) (– @ , 0)
4. Representa els conjunts següents:
a) { x / –2 Ì x < 5 } b) [–2, 5) « (5, 7]
c) (– @ , 0) « (3, + @ ) d) (– @ , 1) « (1, + @ )
Pàgina 30
1. Troba els següents valors absoluts:
a) |–11| b) | π | c) |– | d) |0| e) |3 – π | f) |3 – | g) |1 – | h) | – | i) |7 – |
a) 11 b) π c) d) 0 e) |3 – π| = π – 3
f) |3 – | = 3 – g) |1 – | = – 1
h) | – | = – i) |7 – | = – 7
2. Descobrix per a quins valors de x es complixen les relacions següents:
a) | x | = 5 b) | x | Ì 5 c) | x – 4| = 2 d) | x – 4| Ì 2 e) | x – 4| > 2 f ) | x + 4| > 5
a) 5 y –5 b) – 5 Ì x Ì 5; [–5, 5] c) 6 y 2 d) 2 Ì x Ì 6; [2, 6] e) x < 2 o x > 6; (–@, 2) « (6, +@) f) x < – 9 o x > 1; (–@, –9) « (1, +@)
a)
c)
b)
d)
a)
c)
b)
d)
Unitat 1. Nombres reals
Pàgina 31
1. Simplifica:
a) b) c) d) e) f)
a) = b) =
c) = y^2 d) = =
e) = = = f ) = =
2. Quin és més gran, o?
Reducimos a índice común: = ; = Por tanto, es mayor.
3. Reduïx a índex comú:
a) i b) i
a) = ; = b) = ;
4. Simplifica:
a) ( )
8 b) c)
a) (^) ( )
8 = k b) = c) = x
Pàgina 32
5. Reduïx:
a) · b) · c) · · d) ·
a) · =
b) · =
c) · · =
d) · = = = 2
12
12
12
√(2^3 )^3 · (2 2 )^4
12
12
8
8
8
8
6
6
6
15
15
15
3
4
8
4
6
3
5
3
6
√ x^6
3
√ x^2
15
8 √ k √ x 10
3 √ ( √
— x )^6
5 √ 3
— √√ x^10
—
— k
9 √ 132650 9 √ 132651 3 √ 51 36 √ a^14 18 √ a^7 36 √ a^15 12 √ a^5
9
3
18
√ a^7
12
√ a^5
4 √ 31
12 √28 561 3 √ 13 12 √29 791 4 √ 31
3
4
8
8
3
3
9
9
6
6
5 √ y^10
3
√ x^2
12 √ x^8 4
√ x^3
12
√ x^9
8
9
6
5
√ y^10
12
√ x^8
12
√ x^9
Unitat 1. Nombres reals
UNITAT 1
Pàgina 33
9. Racionalitza denominadors i simplifica al màxim:
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
i ) j )
a) =
b) = =
c) = =
d) = =
e) = = =
f) = = = =
g) = =
h) = = = =
i) = = = =
j) = = = =
3
3
3
3
√ 22 · 5^2
3
3
3
3
3
√ 22 · 3^2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
√ a
a^2
a √ a
√ a^3
√ √ 3
3
3
3
3
3
3
3
√ a^3
√ 3
3
Unitat 1. Nombres reals
UNITAT 1
10. Racionalitza denominadors i simplifica al màxim:
a) b)
c) d)
e) f)
g) + + h) +
a) = = – 1
b) = =
c) = = + 1
d) =
e) = =
f ) = = = 5 + 2
g) + + = + 2 =
h) =
Pàgina 36
1. Calcula:
a) log 2 16 b) log 2 0,25 c) log 9 1 d) log 10 0, e) log 4 64 f ) log 7 49 g) ln e^4 h) ln e –1/
i ) log 5 0,04 j ) log (^6 1) ) ( 216
x x – y
x + √
y + √
x – √
y x – y
3 )^2
x + y + 2 √
x y x – y
x + √
y ) (√
x + √
y )
x – √
y ) (√
x – √
y )
√ a
( a – 1) (√
a + 1) ( a – 1)
( a – 1) (√
a + 1)
a – 1) (√
a + 1)
x √
x – x √
y + y √
x – y √
y x – y
( x + y ) (√
x – √
y ) x – y
( x + y ) (√
x – √
y )
x + √
y ) (√
x – √
y )
—
x + √
— y
—
x – √
— y
— 2 + 1
— 2 – 1
—
— 3
—
— 3
—
— 5
—
x + √
— y
—
x – √
— y
a – 1
— a – 1
x + y
—
x + √
— y
— 2 + 1
Unitat 1. Nombres reals
4. Sabent que log 5 A = 1,8 i log 5 B = 2,4, calcula:
a) log 5 b) log 5
a) log 5
3 = [2 log 5 A – log 5 25 – log 5 B ] = [2 · 1,8 – 2 – 2,4] = ≈ –0,
b) log 5 = log 5 5 + log 5 A – 2 log 5 B = 1 + · 1,8 – 2 · 2,4 = 1 + 2,7 – 4,8 = –1,
5. Descobrix la relació entre x i y , sabent que es verifica:
ln y = 2 x – ln 5
ln y = 2 x – ln 5 8 ln y = ln e^2 x^ – ln 5
ln y = ln 8 y =
Pàgina 38
1. Digues una fita d’error absolut i una altra de l’error relatiu dels mesuraments següents: a) La superfície d’aquesta casa és de 96,4 m 2. b) A causa de la grip s’han perdut 37 milions d’hores de treball. c) Joana guanya 19 000 € a l’any.
a) |Error absoluto| < 0,05 m 2
|Error relativo| < < 0,00052 = 0,052%
b) |Error absoluto| < 0,5 millones de horas = 500 000 horas
|Error relativo| < < 0,014 = 1,4%
c) — Si suponemos que los tres ceros finales se han utilizado para poder expresar la cantidad (es decir, que se trata de 19 mil €, redondeando a los “miles de eu- ros”), entonces:
|E.A.| < 0,5 miles de € = 500 € |E.R.| < < 0,027 = 2,7%
— Si suponemos que es 19 000 € exactamente:
|E.A.| < 0,5 € |E.R.| < < 0,000027 = 0,0027%
e^2 x 5
e^2 x 5
5 √ A^3
B^2
√ 3
A^2
25 B
5 √ A^3
B^2
3 A 2
√ 25 B
Unitat 1. Nombres reals
Pàgina 39
2. Calcula en notació científica sense utilitzar-hi la calculadora:
a) (800 000 : 0,0002) · 0,5 · 10 12
b) 0,486 · 10–5^ + 93 · 10–9^ – 6 · 10–
a) (800 000 : 0,0002) · 0,5 · 10 12 = ((8 · 10^5 ) : (2 · 10 –4)) · 5 · 10^11 = = (4 · 10^9 ) · 5 · 10^11 = 20 · 10^20 = 2 · 10^21
b) 0,486 · 10–5^ + 93 · 10–9^ – 6 · 10–7^ = 48,6 · 10–7^ + 0,93 · 10–7^ – 6 · 10–7^ = = 43,53 · 10–7^ = 4,353 · 10–
3. Opera amb la calculadora:
a) (3,87 · 10^15 · 5,96 · 10 –9) : (3,941 · 10 –6)
b) 8,93 · 10 –10^ + 7,64 · 10 –10^ – 1,42 · 10 –
a) (3,87 · 10^15 · 5,96 · 10 –9) : (3,941 · 10 –6) ≈ 5,85 · 10^12
b) 8,93 · 10 –10^ + 7,64 · 10 –10^ – 1,42 · 10 –9^ = 2,37 · 10–
Pàgina 41
LLENGUATGE MATEMÀTIC
**1. Dóna nom al conjunt ombrejat en cada cas:
- Expressa simbòlicament aquestes relacions:**
a) 13 és un nombre natural. b) – 4 és un nombre enter. c) 0,43 és un nombre racional.
N
N – M M' ( M « N ) – ( M » N )
M » N (^) M – N M « N
N N
N U N
M M M
M M
M
Unitat 1. Nombres reals
UNITAT 1
Pàgina 45
EXERCICIS I PROBLEMES PROPOSATS
Nombres racionals i irracionals
1 Expressa com a fracció cada decimal i opera: 0,
☛ Recorda que 5, 6
= ; 0,2 3
=.
2 Demostra que el producte 4,
9 és un decimal exacte. ☛ Comprova, passant a fracció, que els dos factors són decimals exactes****.
3 Calcula: a) b)
a) = = 1,
3 b) = = 0,
4 Indica quin, de cada parell de números, és més gran:
a) y b) 0,
6 y 0,
c) 4,
89 y 2 d) –2,098 y –2,
a) b) 0,
6 c) 4,
89 d) –2,
5 Observa com hem representat alguns nombres irracionals:
0 1 D
B H
A C E G
F (^) 2 3
1 2
√ 9
√ 9
√ 3
23 – 2 90
56 – 5 9
PER A PRACTICAR
Unitat 1. Nombres reals
UNITAT 1
En el triangle OAB , = 1, = 1 i = =. Per tant, el punt D representa. Quins números representen els punts F i H****? Justifica la resposta.
F representa , pues = = = = H representa , pues = = =
6 Quins són els nombres racionals a, b, c, d representats en aquest gràfic?
a = b = c = d = –
Potències
7 Troba sense calculadora: (^) ( – (^) )
- ( –^ ) - + 4
( )
- · (^) (– (^) ) - + 4 = (^) ( )
2 · (^) (– (^) ) + 4 = – 4 + 4 = 0
8 Simplifica, utilitzant les propietats de les potències:
a) b)
c) d)
☛ Mira el problema resolt n. 2 c).
a) = b) = =
c) = = d) = a^2 c^8 b^6
c^7 a^5 c a^3 b^4 b^2
32 · 5^2 · 2–
23 · 3^3 · 2^2 · 5^2
34 · 2^4 · 3–
5 –1^ · 3^5
36 · 2^5 · 5^2
36 · 2^6 · 5
a –3^ b –4^ c^7 a –5^ b^2 c –
5 –1^ · 3^5
36 · 2 5 · 5^2
93 · 4^3 · 5
m és un segment qualsevol
m
m m m m m m m a b c d
1 0
√(√ √ 6
—
√ 6 OH OG 5 )^2 + 1^2
√(√ √ 3
—
√ 3 OF OC √ O — D^2 + D — C^2 2 )^2 + 1^2
OB AB OA √ 12 + 1^2 √ 2
Unitat 1. Nombres reals
13 Expressa en forma de potència, efectua les operacions i simplifica:
a)
b) 161/4^ · ·
a) = a –7/4^ =
b) (2 4 )1/4^ · (2 2 )–1/3^ · (2 2 )–1/6^ = 2 · 2 –2/3^ · 2–1/3^ = 2 0 = 1
14 Justifica les igualtats que són vertaderes. Escriu-ne el resultat correcte per a les falses:
a) = 1 b) (3–2^ )–3 ( )
2 = 1
c) = d) (^) ( )
- - (–3)–2^ =
a) Falsa. =
b) Verdadera. (3–2)–3^ · (^) ( )
2 = 3 6 · (^) ( )
2 = 3 6 · = = 1
c) Verdadera. = = =
d) Verdadera. (^) ( )
- (–3) –2^ = 3 2 – = 3 2 – = 9 – = =
15 Demostra, utilitzant potències, que:
a) (0,125) 1/3^ = 2 – b) (0,25) –1/2^ = 2
a) (0,125) 1/3^ = (^) ( )
1/ = (^) ( )
1/ = (^) ( )
1/ = = 2 –
b) (0,25)–1/2^ = (^) ( )
–1/ = (^) ( )
–1/ = (^) ( )
–1/ (^1) = (2 2 )1/2 (^) = 2 22
(1/3 2 ) – (1/5^2 )
3 –2^ – 5 –
3 –1^ – 5 –
a^4 b^4
a^2 · b – a –2^ · b^2
3 –2^ – 5 –
3 –1^ – 5 –
a^2 · b – a –2^ · b^2
4
√ a^7
a 3/4^ · a – a · a 1/
6
— 4
√ 4
4
— a^3 · a –
a √
— a
Unitat 1. Nombres reals
Pàgina 46
Radicals
16 Introduïx els factors dins de cada arrel:
a) 2 b) 4 c)
d) e) 2 f)
a) = b)
3 = = =
c) = d)
3
3
e) = = = f )
3
3
3
17 Trau de l’arrel el factor que pugues: a) b) 4 c)
d) e) f)
g) h) i)
a) = 2 b) 4 = 4 · 2 = 8 c) = 10
d) = 2 a e) = f ) =
g) h) = 2 i) =
18 Simplifica:
a) b) c)
a)
6
6
6 = (^) ( )
3/ = (^) ( )
1/
b)
8
8
8 = (^) ( )
4/ = (^) ( )
1/
c)
4
4 = (^) ( )
2/ = (^) ( )
1/ = =
√ 4
√ 42
√
√ (^5
)
4 √ 10
√ 104
√
√ (^10
)
3 √ 10
√ 103
√
8
6
5 √ a
√^12
25 a 16 · 9
√4 ( a^2 + 1) √ a^2 + 1
√
a
a
√ 6
√ 36
b
5 a √ 4
53 · a^2 24 · b
3
√ a^2
3
√ 2 3 · a^5
√ 2 3 √ 2 √ 2 √ 23 · 5^3 √ 10
3
3
a a √
√ 4 a^2 + 4
√ a^3
√
125 a^2 √ 16 b
3
√ 8 a^5
3
√
√ 25
√ 52
√
√ 5
33 · 5^2
√ 53 · 3^2
√ 2 x
22 · 3 x x^2 · 2^3
3
3
3
√
3
3
√3 · 2^3
3
4
√ 9
3 x √ 8
x
√ 4
3
Unitat 1. Nombres reals
UNITAT 1
22 Efectua i simplifica, si és possible:
a) · b) · ·
c)
3 d) :
☛ En b) i c) pots expressar els radicals com a potències de bases a i 2, respecti- vament.
a) = b) · · =
c) (^) (
6 )
3 = (^) (
6 )
3
6 = =
d) : = : =
23 Expressa com una única arrel:
a) b) c) ( · ) :
a) =
b) = =
c)
20 = = a
24 Racionalitza els denominadors i simplifica:
a) b) c)
d) e)
a) = = =
b) =
c) =
d) = = =
e) = = = 8
—
—
— 8
— 8
—
23 · 3^2 + 3√
—
— 23
— 23
3
3
√2 · 3^2
—
—
— 8
— 8
— 3
— 2 – 1
— 2
3
20
√ a
20
√ a^21
√
a^15 · a^16 a^10
12
12
12
√ 24 · 2^3
6
12
√ a
5
√ a^4
4
√ a^3
3 √ 2
4
— 8
4 √
3
— 4
6
6
6 √ √ 22 · 3
3
3 √√
√ 22
√ 2 12
√ 2 4
31 √ a^ √ a
√ a
3
√ a
6
6
√ 22 · 3^3
√
3
— 4
3 √ 2 √
— )^3
6
— 32
— 8 (
√ a
√ a
3
√ 3 √ a
3
Unitat 1. Nombres reals
UNITAT 1
25 Calcula i simplifica:
a) 5 + 6 – 7 +
b) + 2 – –
c) + – –
d) ( + ) ( – 1 )
a) 25 + 18 – 14 + 6 = 35
b) 2 + 2 – 3 – 21 = –
c) 5 + 3 – 3 – 2 = 2 +
d) – + – = 2 – + 3 – = + 2
26 Simplifica tant com pugues les expressions següents:
a) 3 – 2 + 5 – 4
b) – 4 +
c) 7 – 2 +
a) 3 – 2 + 5 – 4 = 6 – 10 + 15 – 4 = 7
b) – 4 + = – + =
c) 7 – 2 + = 21 – 2 a + = (^) ( – 2 a )
27 Calcula i simplifica:
a) ( + ) 2
- ( – ) 2
b) ( + ) 2 c) ( – ) ( + )
d) ( 2 – 3 ) 2 e) ( – 1) ( + 1 )
a) ( + + – ) · ( + – + ) = 2 · 2 = 4
b) 2 + 2 = 4 + 2
c) 5 – 6 = –
d) 20 + 18 – 12 = 38 – 12
e) (2 – 1) √ 3 = √ 3
3
√ 3 a
3
√ 3 a
3
√ 3 a
3
√ 3 a
3
√ 3 a
3
√ 3 a^4
3
√ 34 · a
√
√ 45
√ 9
√ 5
√ 5
√ 3
2 · 3^2
√ 53
3
3
3
3
3
3
3
√2 · 3^3
3
√2 · 5^3
3
3
— 3 a 5
3
√ 3 a^4
3
√ 81 a
√ 45
√ 125
√ 5
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
Unitat 1. Nombres reals
