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Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería
Introducción
En el Capítulo 1 observamos que en sistemas cuyas dimensiones son pequeñas frente a la míni- ma lonmgitud de onda del espectro de Fourier de los campos se puede usar la aproximación cua- si-estática o cuasi-estacionaria en la descripción del comportamiento electromagnético. Otras estructuras, como las líneas de transmisión, donde sólo una única dimensión lineal no satisface el criterio de cuasi-estaticidad se pueden describir con la técnicas de los circuitos de constantes distribuidas, que implican la propagación de ondas que transportan energía e información.
Finalmente, existen estructuras donde sólo es posible realizar una descripción “completa” usando la descripción de campos de las ecuaciones de Maxwell. Este es el caso de la propagación de ondas en sistemas de guiado donde las dimensiones de los contornos en cualquier sentido sean comparables o mayores que la mínima longitud de onda involucrada, o cuando no hay contornos, como en la propagación en medios infinitos o semi-infinitos.
Modos de Propagación
En el vacío y en medios ilimitados , las soluciones de las ecuaciones de Maxwell son ondas elec- tromagnéticas transversales , es decir, ambos campos E y H son perpendiculares a la dirección de propagación (y perpendiculares entre sí). Esta situación es una consecuencia matemática de las ecuaciones de la divergencia nula ( ∇ • E =∇• H = 0 ) para campos que dependen de una
única coordenada (ondas elementales).
En la propagación en recintos limitados no es posible describir los campos como funciones de una única coordenada por la existencia de condiciones de contorno que imponen las fronteras del recinto y entonces existen otras posibilidades, en las cuales uno (o los dos) campos tienen com- ponentes en la dirección de propagación.
Convencionalmente se llama modo TEM (Transversal ElectroMagnético) a la situación donde los campos son ambos transversales a la dirección de propagación, modo TE (Transversal Eléc- trico) cuando sólo el campo eléctrico es transversal y modo TM (Transversal Magnético) cuando sólo el campo magnético es transversal. Se puede demostrar que cualquier tipo de propagación se puede resolver como la superposición de un modo TE y un modo TM.
Ecuaciones generales de las ondas guiadas
Consideraremos campos que se propagan a lo largo del eje z de un sistema de referencia. Tam- bién supondremos campos armónicos, de manera que las expresiones de los campos deben in-
corporar el factor: ei^ (^ ω −t^ γzz). La "constante" de propagación a lo largo de z, γz, dará información sobre el tipo de propagación (si hay o no atenuación, las velocidades de fase y de grupo, etc.).
Los campos pueden escribirse así: ( ) 0
( ) ( ,) 0 ( , ) (,) ( , ) Er t = E xyei^ ωt^ −γ^ z^ z Hr t = H xyeiωt−^ γzz
9 - Ondas electromagnéticas guiadas
z z
z
E E E
H H
H
TEM TE^ TM
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Dentro del sistema de guiado supondremos que no existen fuentes de campo (cargas y corrientes, independientes o inducidas por el campo eléctrico presente - por lo que suponemos σ = 0). Las ecuaciones de Maxwell llevan en tal caso a ecuaciones de onda y éstas, en la hipótesis de campos armónicos, a ecuaciones de Helmholtz:
∇ 2 E +γ 2 E = 0 ∇^2 H +γ^2 H = 0 con γ=ω με
donde, en general, μ y ε pueden ser complejos para medios con pérdidas.
Dado que suponemos conocido el comportamiento de los campos según z, nos conviene separar el operador laplaciano en una parte transversal y otra longitudinal a la propagación:
E E E E E E
E
E E 2 2 2 2 2 2 2 2
2 (^2 2) ( ) t t z t z t z
=∇ −γ =−γ ⇒ ∇ =−γ −γ =− γ ∂
Por otra parte, de las ecuaciones de Maxwell del rotor:
( )
∇× =−
z
y x
y
z z x
x z
z y x
z y z
x y z
x y z i H y
E
x
E
i H x
E
i E x
E
z
E
i E i H y
E
z
E
y
E
i H H H
E E E
x y z
i
ωμ
γ ωμ
γ ωμ
ωμ
ωμ
x y z
x y z
E H
( )
∇× =
z
y x
y
z z x
x z
z y x
z y z
x y z
x y z i E y
H
x
H
i E x
H
i H x
H
z
H
i H i E y
H
z
H
y
H
i E E E
H H H
x y z
i
ωε
γ ωε
γ ωε
ωε
ωε
x y z
x y z
H E
Debe recordarse que las componentes de los campos son funciones solamente de las variables espaciales x e y, ya que z y t aparecen en el factor de propagación.
De las ecuaciones precedentes es posible despejar las componentes transversales del campo en función de las longitudinales:
∂
∂
∂
∂ =−
∂
∂
∂
∂ = −
∂
− ∂ ∂
= ∂
∂
=− ∂
y
H x
i E H x
H y
i E E
x
H y
H i E y
H x
E i E
z z z t
z z z y t
y
z z z t
z z z x t
x
ωε γ γ
γ ωμ γ
ωε γ γ
γ ωμ γ
2 2
2 2
y de estas expresiones surge un método de cálculo de los campos dentro de una guía de ondas :
- Resolver la ecuación de Helmholtz ∇ 2 f (^) z +γ 2 fz=∇^2 tfz+γt^2 fz= 0 para la compo- nente longitudinal, sabiendo que la dependencia respecto de z (coordenada de pro- pagación) y del tiempo es e i^ (^ ω −t^ γzz).
- Usar las condiciones de contorno sobre las paredes de la guía para hallar las cons- tantes de la solución de la ecuación de Helmholtz.
- Calcular las otras componentes del campo.
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del tiempo. Sin embargo, la circulación sobre c 2 es cero, así como sobre cualquier circuito sobre planos de z constante. Podemos definir entonces un voltaje^1 entre los electrodos circulando a z constante, un voltaje entre electrodos dependiente de z (y del tiempo):
v zt Ex zt d C
( ,)= (^) ∫ E • dl = (, )
donde C es una curva de z constante que va de un plano al otro.
Además las condiciones de borde para el campo tangencial magnético sobre los planos conducto- res perfectos llevan a que exista una densidad de corriente superficial j (^) s = js z ˆ, de manera que
habrá una "corriente"^2 a lo largo de los electrodos i(z, t) = js w = Hy w en la dirección z.
Podemos entonces escribir los campos en función de v(z,t) e i(z,t):
d
w C t
v C z
i t
v z d
i t w
E
z
H
w
d L t
i L z
v t
i z w
v t d
H
z
E
y x
x y
ε ε ε
μ μ μ
con
con
donde L y C son la inductancia y capacidad por unidad de longitud (en la dirección z) del sis- tema, que pueden calcularse mediante sus definiciones (cuasi-)estáticas.
Estas son las ecuaciones del telegrafista y constituyen un modelo de parámetros distribuidos asociado al modelo de campos previamente analizado. Ambos modelos describen en forma equivalente el comportamiento electromagnético de la guía de planos paralelos en el modo TEM.
La velocidad de propagación de las ondas de tensión y corriente es: v = 1 / LC= 1 / με que
coincide con la velocidad de los campos en el medio de propagación, y la impedancia caracterís-
tica de la línea es: Z 0 = L/C= μ /ε= η que es la impedancia intrínseca del medio de
propagación.
Podemos así relacionar la descripción a partir de los campos y la descripción de constantes dis- tribuidas a partir de tensiones y corrientes mediante las ecuaciones:
i ( z,t) H n ˆdS (integral sobre una curva C de z = cte. entre ambos conductores)
1 2
C
v zt E dl (flujo a través de una superficie S de z = cte. cuyo contorno encierra a
sólo uno de los dos conductores)
Con esta representación las ecuaciones de Maxwell llevan naturalmente a las ecuaciones del te- legrafista para el modelo circuital de constantes distribuidas.
Una guía de sección cilíndrica (no necesariamente circular) de interior dieléc- trico no puede sustentar un modo TEM. En tal caso los campos deben satisfa- cer la ecuación de Laplace vectorial, y cada componente en un sistema carte- siano la correspondiente ecuación escalar. Por el teorema de Earnshaw las so- luciones de la ecuación de Laplace escalar no pueden tener extremos dentro del recinto de integración. cada componente debe anularse para adecuarse a las
(^1) Sólo es correcto hablar de diferencia de potencial en el caso de la circulación de campos conservativos, por lo que
2 se prefiere usar el término técnico voltaje o tensión para referirse a esta circulación. Se trata de una corriente superficial.
z
Esto ocurre cuando es posible circular los campos en forma conservativa por caminos de z = cte., donde z es la dirección de propagación.
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condiciones de contorno sobre las paredes.
Puede existir propagación TEM en un recinto donde haya conductores internos que permitan líneas transversales de campo eléctrico entre dos conductores, como en la configuración coaxil de la figura. Las líneas de campo eléctrico variable en el tiempo llevan a líneas de campo magnético también transversa- les.
Otros sistemas donde se puede tener propagación TEM son las líneas abiertas, como las bifilares y las de microcinta^3.
Veremos que en la propagación para un modo no TEM existe una frecuencia mínima por debajo de la cual no hay propagación. Esto limita la utilidad de la guía. En lo que sigue analizaremos los modos no TEM que se pueden propagar en una guía de planos paralelos. Aunque esta guía no es útil desde el punto de vista práctico, ilustra con la matemática mínima todas las características esenciales de la propagación guiada.
(^3) A diferencia de las coaxiles, en estas líneas el modo TEM es una aproximación , en algunos casos muy buena,
porque siempre existe una componente longitudinal de los campos.
z
H^ E
En resumen, en la propagación TEM se puede describir la situación de dos formas equivalentes:
- El modelo de campos, de estructura equivalente a las ondas elementales en recintos ilimitados (campos transversales, impedancia de onda igual a la impedancia intrín- seca del medio de propagación, sin frecuencia de corte).
- El modelo de constantes distribuidas, a partir de ondas de corriente y de tensión dependientes de la coordenada de propagación y del tiempo. Las dos descripciones están ligadas entre sí a partir de las relaciones:
∫ →
1 2
C
v zt E dl =∫ • S
i (z,t) H n ˆdS
donde la integral de circulación del campo eléctrico se realiza a lo largo de una curva C de ζζ ζζ = cte. entre ambos conductores, y el flujo del campo magnético se calcula a través de una superficie S de ζζζζ = cte. cuyo contorno encierra a sólo uno de los dos conductores, siendo ζζζζ la dirección de propagación. La velocidad de propagación de las ondas coincide en ambos modelos y la impedancia de onda del modelo de campos coincide con la impedancia característica del modelo de constantes distribuidas. Esta analogía permite el uso de herramientas como la carta de Smith para el diseño de sistemas de guiado de ondas en alta frecuencia. En particular es el modelo están- dar en el diseño de redes de microondas.
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E ( r ,)= 2 −^ cos cos x ˆ sen sen z ˆ 0 α
π α ω π x d
x i n d n t^ E ei t kzz n
Se ve que el campo tiene una componente longitudinal, es decir, sobre la dirección de propaga- ción z. Como se observa en la figura inicial, el campo magnético sólo tiene componente según y, por lo que resulta transversal a la dirección de propagación. Se trata entonces de una onda trans- versal magnética ( TM ).
Por otra parte, podemos eliminar de las expresiones de los campos el ángulo α observando que: : k (^) z = kcosα kx=nπ/d=ksen α, y entonces:
E ( r ,)= 2 ( −^ ) cos x ˆ sen z ˆ (^0) k ndx
k x i d
n k
k n t^ Eei tkzz z x
ω π^ π
El campo magnético asociado a este campo eléctrico puede calcularse de la ley de Faraday:
∇× =− ⇒
z
z y z x
x
z
y x
y
z z x
z y x
z
H
x
E
ikE i
H
H
i H y
E
x
E
i H x
E
ikE
ikE i H y
E
i
E ωμ H
de donde: H (^) n ( r ,) 2 0 cos x ei(tkzz) y ˆ d
n
E
t (^) −
= ω
π η
La relación entre las componentes del campo eléctrico y el magnético transversales a la propa- gación ha sido definida en el análisis de la incidencia oblicua y tiene el mismo rol que la impe- dancia de onda en medios ilimitados o líneas. Esta relación tiene dimensiones de impedancia y se conoce como impedancia de onda o impedancia de campo. Para un modo TM n :
2
2 2
(^222) 1 1 ω
ω =η − =η −
n=^ =η n =η n xn cn
z x y
x k
k k
k k k
k H
E
Z TM
Se puede ver que esta relación no depende de la posición dentro de la guía, pero sí del orden n del modo de propagación.
En general, el campo dentro de la guía puede expresarse como una superposición de estos modos normales TM n (que, desde el punto de vista matemático, forman un conjunto completo):
( )
∑
∑
∞
=
−
∞
=
−
1
(^0) ( )
1
0
(,) cos ˆ
(,) cos ˆ sen ˆ
n
i tkz
n
i tkz z x n
n z
z
x e d
n
E
t
x d
n k
k x i d
n k
k t E e
Hr y
Er x z
ω
ω
TM
Hemos supuesto que entre los dos planos conductores hay un dieléctrico sin pérdidas. La veloci-
dad de las ondas electromagnéticas en ese medio (considerado como ilimitado) esc = 1 / με.
En la guía, la relación entre k y ω define las características de la propagación. Como el vector de
onda tiene componentes solamente sobre x y sobre z: k = kx^2 +k^2 z y siendo k (^) x = n π/d y
k = ω/ c se tiene: k (^) z= (ω / c)^2 −(n π/d)^2
Pero k (^) zes el número de onda que aparece en el factor de propagación: e i(^ ωt^ −kzz) de la onda
dentro de la guía. Para que exista propagación, kz debe ser real, ya que de otro modo el factor de propagación se convierte en un factor de atenuación que da una onda evanescente. Esta onda no
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transmite potencia. Para que kz sea real es necesario que:
d
c f n d
c n d
n c 2
Por lo tanto, para el modo normal TM n la frecuencia mínima que lleva a que haya propagación
ondulatoria dentro de la guía es f (^) n = nc/ 2 d. Esta frecuencia mínima (para este modo) se de-
nomina frecuencia de corte de la guía para el modo TM n.
De la ecuación para k (^) z: k (^) z = (ω / c) 2 −(n π/d)^2 = (ω /c) 2 −(ω (^) n/c)^2 = ω^2 − ωn^2 /c
donde ωn = 2πfn es la frecuencia angular de corte para el modo TM n. Se ve además que la im- pedancia de campo Z (^) TMnes real (la onda propaga potencia media o potencia activa) para f > fc e
imaginaria pura (la onda no propaga energía) para f < fc.
Otra característica que se puede analizar es el valor de longitud de onda (medida para la propa- gación ilimitada) en el medio que llena la guía para las frecuencias de corte:
λ (^) n =c/ fn= 2 d/n ⇒ d=n λn/ 2
o sea que la frecuencia de corte del modo TM (^) n se da cuando la separación entre planos es igual a n veces la semilongitud de onda en el espacio ilimitado.
La velocidad de fase de las ondas permitidas en la guía se puede calcular de la ecuación de los planos de fase constante:
(^2 21) ( / ) 2
ω ω ω ω
ω ω ω z n n
z f
c c k
t kz cte v −
Se ve que la velocidad de fase sólo es real para ω > ωn , y en tal caso es superior a c. Desde el punto de vista de la propagación de la energía se debe considerar la velocidad de grupo:
c c
d
d
c
d
dk dk
v d n z z n
g <
ω
= − ω
(^) ω −ω ω
=
ω
= ω=
2
2 2
(^11)
y se ve que la velocidad de grupo también es real para ω > ωn , y es menor que la velocidad de la luz en el medio.
Más aún, podemos ver que:
( ) ( )
2 2
2 1 /
1 / c
c vv c n
f g n = −
ω ω
ω ω
En la figura se muestra la variación de ambas velocidades dentro de la guía a partir de la frecuencia de corte. Para ω → ω+n la veloci- dad de fase tiende a infinito, mientras que la velocidad de grupo tiende a cero. Para ω → ∞, ambas velocidades tienden a c, la velocidad de las ondas electromagnéticas en el medio que rellena la guía. Este comportamiento es exactamente el mis- mo que el de la propagación en un plasma ilimitado de pérdidas despreciables ( Ejemplo 8.12 ). La existencia de la frecuencia de corte como frecuencia mínima de propagación distingue al mo- do TM del modo TEM donde no hay limitaciones de frecuencia a la propagación. Podemos vincular la noción de velocidad de grupo con el esquema de incidencia oblicua que usamos en esta sección para analizar la propagación guiada. En el intervalo^ ∆t la onda plana que va rebo-
ω/ ωc
v g /c
v f /c 1
1
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Modo TE
En el caso de los modos TM analizamos la propagación dentro de la guía de planos paralelos usando una visión de una onda que ingresa oblicuamente a la guía. En el caso de los modos TE vamos a usar las ecuaciones generales a partir de la/s componente/s longitudinal/es. En este caso la única componente longitudinal es Hz, por lo que se tiene:
y
H
k
ik H x
H
k
i E
x
H
k
ik H y
H
k
i E
z t
z y
z t
y
z t
z x
z t
x
2 2
2 2
ωμ
ωμ
La componente longitudinal satisface la ecuación de Helmholtz: ∇ (^2) t H (^) z+kt^2 Hz= 0. Hz no pue-
de depender de y por la simetría de los planos contorno, que son de extensión infinita en esa di- rección, y entonces:
2 2 (^00 )^ ( )
2 z (^) ktHz 0 Hz H eikt x H eiktxei tkzz x
H − −
∂ + = ⇒ = +^ + −
∂ ω
de donde:
( )
2 2 (^00 )^ ( )
( ) 2 2 0 0
ikx ikx i tk z t
z z t
z x
z t
z y
ikx ikx i tkz t
z t
y
z t
x
t t z
t t z
H e H e e k
k x
H
k
ik H y
H
k
ik H
H e H e e x k
H
k
i E y
H
k
i E
− −
− −
ω
ωμ ωμ ωμ ω
De estas componentes, Ey es tangencial a los planos conductores que forman el contorno. Pero el campo en los conductores es nulo, de modo que Ey debe anularse sobre los planos:
= 0 ⇒ = (H (^0) + e− −H (^0) −e )e ( − )= 0 ⇒ H (^0) −=H (^0) + k
x E ikx ikx i tkz t
y
ωμ t t ω z
Luego: 0 sen( ) ( )
(^2) i tkz t t
y H kxe z k
i E =− + ω−
ωμ
( ) d
n H kde k k
i x d E t i tkz t t
y
= ⇒ =− ωμ ω^ −z = ⇒ =^ π
0
Queda entonces:
( ) 0
( ) 0
( ) 0
sen
cos sen
i tk z t
z x
i tkz t
y
i tkz n z
z n
z n
z n
e d
x H n k
ik H
e d
x H n k
i e E d
x H H n
−
− −
ω
ω ω
π
π ωμ π TE
En este caso el vector de onda es:
d
c ω n d c
n c
k k d
n k k c
k (^) x z z z n n
ω π ω π ω ω π
− =
−
+ ⇒ =
= + =
=
2 2 2 2 2
2 2 2
2 (^2) con
y las frecuencias de corte coincide para modos TM y TE del mismo orden n. También coinciden las expresiones de las velocidades de fase y de grupo, con lo que el modo TE presenta las mis- mas características de dispersión que el modo TM del mismo orden.
La impedancia de onda en el modo TE n es:
2
2 2 2 1 ω
ω −
η
−
ωμ
ωμ =− = n n n
n x z t c
y H k k k
E
Z TE
Se observa así que para la propagación guiada entre planos conductores paralelos:
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= η^2 Z (^) TM n Z TE n
Como en el caso TM , la expresión general de los campos en el caso TE se puede escribir como la superposición de los modos normales TE n.
∑
∑
∞
=
−
∞
=
−
0
( ) 0
0
(^0) ( )
(,) sen ˆ cos ˆ
(,) ˆsen
n
i tkz t
z
n
i tkz t
z n
n z
e d
x n d
x n k
ik t H
e d
x n k
H
t i
ω
ω
π π
π ωμ
Hr x z
TE Er y
Ejemplo 9.2: Analizar la propagación de una onda TE de 20 GHz entre planos con- ductores perfectos paralelos separados 1cm por aire. La frecuencia de corte para el modo TEn es la misma que para el modo TMn, hallada en el Ejemplo previo: f (^) n = nc/ 2 d≈ 15 nGHz de modo que nuevamente hay propagación sólo para n = 1. Los campos son:
( ) 0
(^0) ( )
(,) sen ˆ cos ˆ
( ,)^1 ˆsen
i tk z t
z
i tkz t
z n
z
e d
x d
x k
ik t H
e d
x k
i H t
−
−
ω
ω
π π
ωμ π
Hr x z
TE 1 Er y
Los valores de k , k^ z , vf y vg son los mismos que en el Ejemplo previo, mientras que:: Z T E 1 = η 0 1 −ω^2 c 1 ω^2 ≈ 1. 51 η 0 ≈ 569. 56 Ω
En la figura se muestran las líneas de campo para el modo TE 1. Las líneas de campo eléctrico se distribuyen uni- formemente a lo largo de z pero se concentran para x = d/2 por la pre- sencia de la función seno. Las líneas de campo magnético son cerradas. En la figura:
λ g =v g/ f.
En la siguiente sección analizamos la influencia de las pérdidas conductoras en la propagación de ondas en una guía de planos paralelos.
x d
0
z
λg
H^ E
En resumen, para la propagación de ondas guiadas entre planos conductores paralelos:
- en el modo TEM no existe límite de frecuencia - inferior o superior - para la propaga- ción de ondas. No hay dispersión de paquetes de onda;
- en los modos TM y TE hay un límite inferior de frecuencia para la propagación, la frecuencia de corte, que además depende del orden del modo. Hay dispersión de pa- quetes de onda.
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Una conclusión importante es que la energía media almacenada dentro de la guía resulta la suma de las energías medias almacenadas asociadas a cada modo de orden n. Este resultado ocurre siempre que describimos un campo mediante una superposición de funciones ortogonales como en la representación de Fourier.
Como dentro de la guía (por encima de la frecuencia de corte) existe propagación, hay un flujo de energía que podemos cuantificar con el vector de Poynting:
N = 21 ℜe ( E × H* )
Para los modos de propagación hallados tenemos:
N z Hr y
Er x ˆ (,) ˆ 2
( ,) ˆ^2
0 0 ( )
( ) 0
η η
ω
ω E e
E
t
t E e i tkz
i t kz ⇒ =
−
− TEM
donde hemos usado el hecho de que la impedancia η es real.
( ) N z Hr y
Er x z cos ˆ (,) cos ˆ^2
(,) cos ˆ sen ˆ
1
2
2 0
1
(^0) ( )
1
0 ∑ ∑
∑ (^) ∞ ∞ = =
−
∞
−
⇒ =
=
+
=
n
z
n
itkz
n
n itkz z x x d
n k
E k
xe d
n
E t
x d
n k
x ik d
n k
t E e k n n z
z π π η η
π π
ω
ω TM
N z Hr x z
Er y sen ˆ
4
(,) 2 sen ˆ cos ˆ
(,) 2 ˆsen 2 1 2
2 0
1
( ) 0
1
(^0) ( )
⇒ =
+
=
=− ∑ ∑
∑ (^) ∞ ∞ =
=
−
∞
=
−
d
n x k
H k
e d
n x d
n x k
t H ik
e d
n x k
H t i
n (^) t
z
n
i tkz t
z
n
i tkz t n z n
n z ωμ π π π
ωμ π
ω
ω TE
Se ve que no hay flujo medio de potencia sobre la dirección transversal x. También se anulan, como hemos visto, los productos de términos de frecuencias diferentes.
Estas expresiones son válidas para frecuencias mayores que la frecuencia de corte. Por debajo, kz es imaginario puro y la parte real del producto de fasores se anula, lo que implica que no hay propagación , ya que se trata de campos ecvanescentes.
Pérdidas conductoras
Las guías reales presentan pérdidas, debido a que los conductores no son perfectos y presentan una conductividad finita y pérdidas por efecto Joule, y eventualmente puede haber pérdidas di- eléctricas. En este tratamiento introductorio consideraremos solamente pérdidas conductoras.
Consideramos que los planos conductores tienen un cierto espesor d. Debido a la presencia de una conductividad finita, existe campo EM dentro de los conductores y supondremos que, a la frecuencia de trabajo,d >> δ. En estas condiciones, para analizar el comportamiento del campo dentro de la guía podemos aplicar los resultados del análisis de la incidencia oblicua desde un dieléctrico sobre un buen conductor: ρ (^) TE ≈ − 1 + 2 cos(θi)η 2 η 1 ρ (^) TM ≈− 1 + 2 sec(θi)η 2 η 1
donde θi es el ángulo de incidencia (complementario de α en la figura de la pág. 9.6), η 1 es la impedancia intrínseca del dieléctrico interior a la guía y η 2 es la impedancia intrínseca del con- ductor. En ambos casos se observa que el coeficiente de reflexión difiere del caso ideal (-1) en muy poco.
Por este motivo es posible aproximar las expresiones de los campos en el interior de la guía con pérdidas con las correspondientes al caso ideal, pero introduciendo un factor de ate- nuación que tenga en cuenta las pérdidas^4 :
z real ideal
z
real t ideal t e t t e
E ( r ,)≈ E ( r ,) −α^ H ( r , )≈ H ( r ,) −^ α
(^4) Esta aproximacioón es posible en todos los casos en que las pérdidas son bajas en relación a la potencia propagada.
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Los campos para una guía real de planos paralelos quedan entonces:
Hr y N^ z
Er x ˆ (,) ˆ 2
( ,) ˆ 2
2 ( )^0 0
( ) (^0) z zitkz
zitkz e
E t E e e
t E e e α ω^ α
α ω
η η
− − −
− − ⇒ =
= TEM
( ) N z Hr y
Er x z cos ˆ (,) cos ˆ^2
(,) cos ˆ sen ˆ
1
2 2
2 0
1
(^0) ( )
(^10) ∑
∑
∑ (^) ∞
=
− ∞ =
− −
∞
− −
⇒ =
=
+
=
n
z z
n
zitkz
n
zitkz z x n n n n n z
n z x e d
n k
E k
xe e d
n
E t
x d
n k
x ik d
n k
t E e e k α α ω
α ω π π η η
π π TM
N z Hr x z
Er y sen^ ˆ (,) sen ˆ cos ˆ
( ,) ˆsen 2 2 1 2
2 0
1
0 ( )
1
(^0) ( ) z n (^) t
z
n
zitkz t
z
n
zitkz t n n n z n
n n z e d
n x k
H k
e e d
nx d
nx k
t H ik
e e d
nx k
H t i α α ω
α ω ωμ π π π
ωμ π ∞ − ∞ = =
− −
∞
− −
⇒ =
=
=− ∑ ∑
∑ TE
Obsérvese que, en general, el coeficiente de atenuación dependerá del modo en consideración. Para determinar este coeficiente analizamos la pérdida de energía a lo largo de la propagación.
La potencia que cruza un área transversal dS de la guía es N dS, y entonces la diferencia entre
estas cantidades a lo largo de un desplazamiento elemental dz es la potencia perdida en ese tra- mo^5 :
N dz
dN dv
dP dSdz dv
dP N (z + dz)• n ˆdS= N (z)• n ˆdS− ⇒ =− = 2 α
La potencia perdida sobre el tramo dz se da en los conductores, y se puede expresar por unidad de su- perficie como se describe en el Capítulo 8, en la sec- ción dedicada al efecto pelicular:
dS^ s
d P = j • E 4
δ
donde δ es la profundidad de penetración y los cam- pos se calculan sobre la superficie del conductor. Se puede reescribir esta expresión en términos del cam- po magnético sobre la superficie del conductor:
dS s^ Es Hs Hs Hs R^ s
d P 2 2 2 2 2 2
σδ
δ σδ σδη j E con Rs= 1 / σδ
Esta es la potencia perdida por unidad de área por efecto Joule. Se debe multiplicar por 2 por la existencia de dos planos conductores. Tomando un paralelepípedo de ancho unitario, altura d y profundidad dz, tenemos:
=∫ = ∫
1
0
2
1
0
P H^2 Rdydz Rdz H dy s s s s ⇒ = ∫
1
0
R H^2 dy dz
dP s s
y: (^) = ⇒ = ∫ dz S^ NdS
dP N dv
dP 2 α 2 α
e igualando ambas expresiones obtenemos finalmente para α:
∫
∫
S
s s NdS
H dy R
1
0
2
2
α
(^5) Esta expresión ya fue hallada en el tratamiento general de la propagación de ondas electromagnéticas en medios
ilimitados, Capítulo 8.
x
z y
d
1
dz
< N >
H S TEM TM (^) H S TE
S = 1d
Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería
( )
( )
TM
c c
c TE
c
TM
s TEM
d
d
d d
R
α ω
ω σ ω ω
ω ω ωε α
σ ω ω
ωε α
σ
ωε η
α
2
2 2 2
2 2
2 2
Graficamos a la derecha para n = 1. Se observa que αTM crece con la fre- cuencia, mientras que αTE tiende a cero, y que αTEM (constante con ω) se halla entre las otras curvas para ω > ~1.8ωc. Las curvas para otros valores de n son idénticas a las presentadas, ya que sólo varía la frecuencia de corte.
Guías abiertas
En el caso de la guía de planos paralelos, el guiado de las ondas se realiza mediante las condicio- nes de contorno impuestas por los conductores. Sin embargo, toda desadaptación de impedan- cias puede funcionar como un sistema de guiado de ondas. En ese sentido vimos en el análisis de la incidencia oblicua que, cualesquiera fueran los medios involucrados, el campo electromag- nético en el medio de incidencia consiste en una onda semiestacionaria en la dirección normal a la interfase y una onda viajera paralela a la misma. Esta onda viajera es una onda guiada por la interfase. Sommerfeld encontró en 1899 que en la radiación de antenas cerca de tierra existía una onda de superficie, guiada por la interfase aire-tierra.
Este guiado se puede entender analizando el caso de la incidencia oblicua sobre una interfase. Si el segundo medio es conductor perfecto, el campo eléctrico en el medio de incidencia resulta normal a la interfase, ya que la componente tangencial se debe anular sobre ella. Cerca de la in- terfase, entonces, todo el flujo neto de potencia se da en una dirección paralela a la misma. Si el segundo medio no es conductor perfecto, existe una componente tangencial del campo eléctrico no nula sobre la interfase. Esta componente produce un flujo del vector de Poynting normal a la interfase aparte de la paralela, de modo que resulta un flujo oblicuo, que en todos los casos va del primer medio (el medio de incidencia) al segundo medio (el medio de transmisión).
Esta característica lleva a que una interfase entre dos medios produce una tendencia a que la energía que transporta la onda viajera se con- centre cerca de la interfase, produciendo así un guiado de la energía. El ángulo de propagación de la energía respecto de la propagación paralela en distintos casos se presenta en el siguiente cuadro, para la incidencia desde el aire a una frecuencia de 3GHz: Medio 2 (^) Conductividad ( ΩΩΩΩ m)-1^ , Permitividad Angulo ττττ ( °°°° ) Conductor perfecto (^) → ∞ 0 Cobre (^) ≈ 6x10 7 , ε 0 2.2x10 - Agua de mar (^) ≈ 4 , 80ε 0 6.
En el caso en que el segundo medio sea un buen conductor, la energía que se propaga normal a la interfase se disipa por efecto Joule dentro del semiespacio conductor. Se puede mejorar el guiado de ondas por una superficie conductora agregando corrugaciones periódicas transversales o una capa dieléctrica.
En ambos casos es posible demostrar que, para la propagación normal a la interfase, la impe- dancia de onda es reactiva pura , lo que indica un onda estacionaria, a pesar de que el coefi- ciente de reflexión entre los medios extremos (aire y conductor) no es uno.
ω/ωc
αTM (mm-1^ )
αTE (mm-1^ ) (^) αTEM (mm-1 (^) )
τ
Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería
En particular, podemos considerar una capa dieléctrica supuestamente sin pérdidas, de parámetros ε y μ coloca- da entre aire (ε 0 , μ 0 ) y un conductor perfecto (σ→∞), como se indica en la figura. La solución TM para la propagación según z es, dentro de la capa:
2 2 2 2 0 cos(^ ) 0 sen( ) 0 cos( x ) x z x
x z x y x
z x (^) k E kx k k k E kx E E kx H i k
ik E =− = =−ωε =ω με= +
Esta solución anula el campo eléctrico tangencial sobre el conductor perfecto. La impedancia de onda cerca de la interfase dieléctrico-aire (x → d) es:
// ( ) tan(k d)
k tank d i i
k H
E
Z
k H
E
Z x x x x y
z z y
x ωε ωε ωε
donde hemos distinguido entre la impedancia para la propagación paralela (Z//) y la impedancia para la propagación normal (Z⊥) a las superficies interfases. Para que exista propagación guiada (a lo largo de z) se requiere que kz sea real. En tal caso la impedancia paralela es real. En general, el valor de kx puede ser real o imaginario. Si kx es real, se ve que Z⊥ es real y se pro- duce propagación. Si kx es imaginario, como tan( ikx d)= itanh(kxd) también la impedancia normal será imaginaria pura, o sea, reactiva. Esto indica que no hay propagación de energía en la dirección normal. El guiado por superficies abiertas se puede realizar mediante alambres cilíndricos rectos, alam- bres conductores rodeados por un dieléctrico, espirales conductoras, etc. En todos estos casos la excitación del modo apropiado es el problema más difícil de resolver en la práctica. El guiado de ondas mediante estructuras metálicas abiertas es uno de los campos de mayor desarrollo en los últimos años.
Guías de hoja dieléctrica
Es posible usar una hoja dieléctrica (entre dieléctricos) para guiar ondas si su permitividad (o su índice de re- fracción, si se trabaja en el rango óptico) es mayor que la de los medios a su alrededor: ε 2 > ε 3 y ε 2 > ε 1. En tal caso, existen ángulos límite:
3 2
1 (^1223)
1 θ 12 sen ε/ε o θ sen ε/ ε = −^ = − ic ic Si la radiación dentro de la hoja, considerada como una onda plana que incide “oblicuamente” sobre las interfases, lo hace con ángulos mayores que estos ángulos límite, se produce el fenó- meno de reflexión total y no existe potencia (media) que cruza la interfase. Toda la energía de la radiación se ve entonces guiada por la hoja dieléctrica. En este principio se basa el guiado de ondas de luz en las llamadas fibras ópticas. Aunque las fibras ópticas son de sección circular y requieren una descripción matemática basada en coordenadas cilíndricas, existen guías dieléctricas planas en dispositivos de óptica integrada que se basan en tecnologías de películas delgadas. Para estos dispositivos es posible realizar un análisis en sólo dos direcciones: la dirección longitudinal (de propagación) y la dirección normal a las interfases. Consideramos el caso de tres medios de características diferentes, que corresponden al sustrato (ε 3 , μ), la capa (ε 2 , μ) y el recubrimiento (ε 1 , μ) en la nomenclatiura de la tecnología de pelícu- las delgadas. Habitualmente el sustrato es el soporte mecánico de la estructura, la capa es la guía
x
d
0 ε 3 , μ
ε 1 , μ
z
ε 2 , μ
x
d
0 σ → ∞
ε 0 , μ 0
z
ε, μ
E (^) x
H E^ z y
Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería
Como C = D, quedan sólo tres incógnitas. Para que este sistema tenga solución, su determinante debe anularse:
( ) h pq
h p q tanhd e hd hd
he q hd q hd
p h
qd
qd −
= ⇒ = − −
−
−
−
− 0 ( ) 2 sen( ) cos( )
cos( ) sen( )
0
ecuación trascendente que debe cumplirse junto con las ecuaciones: 2 2 3
2 2 3
2 2 2
2 2 2
2 2 1
2 2 k 1 =ω με =q +kz k =ω με =h +kz k =ω με =p +kz
que definen las componentes del vector de onda.
Esta ecuación trascendente no tiene solución analítica. Puede resolverse en forma gráfica o en forma numérica.
Supongamos el caso simétrico en que las propiedades del sustrato y las del recubrimiento coinci- den. En tal caso ε 1 = ε 3 y entonces k 1 = k 3 ⇒ p = q, y la ecuación a resolver es:
2 2
2 ( ) h p
ph tanhd −
=
Como 1 ( )
( 2 )^2 ( ) (^2) α
α α tan
tan tan −
= tenemos: 2 2 2
2 1 ( / 2 )
( )^2 ( /^2 ) h p
ph tan hd
tanhd tanhd −
= −
=
De esta ecuación se puede obtener una ecuación cuadrática para la tangente:
−
− = ⇒ =
−
h p
p h tanhd tanhd ph
h p tan hd /
/ ( / 2 ) ( / 2 ) 1 0 ( / 2 ) 2 2 2
Además, podemos escribir que: 2 1 2
2 2 2
2 2 1 k 2 2 p h p ( ) h z =ω με − =ω με − ⇒ = ω με −ε + Por lo tanto la ecuación original se reduce a:
2 2 1 2
2
2 2 1 2
2
pd hd tanhd d hd hd tan hd
pd hd tanhd d hd hd tanhd
ω με ε
ω με ε o
Estas ecuaciones pueden resolverse en forma gráfica, ploteando ambos miembros y hallando los puntos de cruce, que son las soluciones del problema.
Ejemplo 9.4: Halle gráficamente las soluciones de las ecuaciones trascendentes del problema de la capa dieléctrica para una capa de vidrio de espesor d= 1. 46 μm ro- deada de aire ( n 1 = 1 , ε (^1) r≅ 1 ) a f= 5 × 1014 Hz(λ 0 = 0. 6 μm).
Nos quedan las ecuaciones: x 2 − 81. 89 =xtan(x) o x^2 − 81. 89 =x/tan(x) con x=hd/ 2
x 2 − 81. 89 =xtan(x )^81.^89 / ( ) x 2 − =x tanx
Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería
Se observa de las figuras que hay solución para:
x h m
x h m μ
μ
- 5 , 13. 5 , 16. 6 14. 38 , 18. 5 , 22. 74
2
1 ≅ ⇒ ≅
y para otros espesores de capa mayores.
Nociones de fibra óptica
Por muchos años se ha apreciado que el uso de ondas de luz como portadoras de información provee un enorme ancho de banda potencial. Las ondas ópticas se hallan en el rango de 1013 a 1016 Hz (30 nm - 30 μm - este rango incluye el infrarrojo lejano y el ultravioleta cercano y medio, además del espectro visible), o sea de tres a seis órdenes de magnitud mayor que las frecuencias de microondas. Sin embargo, el aire es un medio con demasiadas pérdidas por dispersión (scatte- ring) para la transmisión de ondas de luz. Sólo la evolución de guías dieléctricas de bajas pérdi- das y fabricación económica en los últimos años ha llevado al uso masivo de esta tecnología en las comunicaciones. Debido a sus propiedades, el espectro más eficiente se hallan entre los 600 - 1600 nm, siendo las longitudes de onda más utilizadas las de 850 nm, 1300 nm y 1550 nm.
Las principales ventajas de la comunicación por guías dieléctricas cilíndricas (o fibras ópticas , en la jerga) son:
- (^) Tamaño, peso y flexibilidad. Las fibras ópticas tienen espesores muy pequeños. Un gran nú- mero de fibras individuales pueden agruparse en un cable del tamaño de un coaxil normal. Los cables son más livianos que los de metal y más flexibles.
- Aislación eléctrica. Las fibras ópticas son prácticamente inmunes a las fuentes de interferen- cia. Esto hace su uso obligatorio en ambientes de alto ruido. Tampoco existe la diafonía (cross-talk) entre fibras individuales en un paquete.
- Seguridad. Es difícil "pinchar" una comunicación enviada mediante fibra óptica. Es mucho más difícil hacerlo sin que se note.
- Bajas pérdidas. Las fibras ópticas modernas tienen mejores performances que los cables coa- xiles. Se ha llegado a menos de 0.2 dB/Km de pérdidas, lo que elimina la necesidad de repeti- doras.
Las principales desventajas de la comunicación con fibras ópticas reside en la fragilidad de las fibras individuales, y fundamentalmente en la dificultad técnica para lograr conexiones confia- bles y económicas a la circuitería asociada. También la velocidad de los circuitos asociados es lo que limita al presente la tasa de transferencia de información de un sistema de comunicaciones ópticas. El paso de señales electrónicas a ópticas y viceversa es también en la actualidad un fac- tor de alto costo.
En la variante más simple, una fibra óptica consiste en un núcleo cilíndrico de vidrio de un dado índice de refracción y un recubri- miento, también de vidrio, de índice de refracción menor. El conjunto se rodea de una vaina de polietileno y otras cubiertas de protección. Las dimensiones típicas están en el or- den de 100 a 150 μm de diámetro. Debido a que el material del recu- brimiento tiene un índice de refracción menor al del núcleo (valores típicos 1.485 y 1.5), existe reflexión total para rayos de luz que se propagan en el núcleo con un ángulo mayor (respecto de la normal a la interfase) que el ángulo aceptable θa , ligado con el ángulo límite (rayos en azul),
θa
