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ÍNDICE 1
EJERCICIOS SOBRE OPERACIONES CON MATRICES
Índice
A. Operaciones básicas con matrices
- Dadas las matrices siguientes
A =
, B =
, C =
se pide calcular las siguientes operaciones:
a) AB Solución:
AB =
b) B
t A
t Solución:
B
t A
t = (AB)
t
c) (A + I 3 )
2 Solución:
(A + I 3 )
2
d ) A
2
Como AI 3 = I 3 A = A se puede utilizar el binomio de Newton y el resultado será
entonces la matriz del apartado anterior.
e) AC Solución:
AC =
f ) CA
Solución:
CA =
g) (A + C)
2
Solución:
(A + C)
2
2
A OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES 2
h) A
2
2
Solución:
A
2
2
i) A
2
2
Solución:
Como (A + C)
2 = (A + C)(A + C) = A
2
2 , entonces:
A
2
2
- Dadas las matrices siguientes
A =
, B =
, C =
se pide calcular las siguientes operaciones:
a) AB Solución:
AB =
b) B
t A
t Solución:
B
t A
t = (AB)
t
c) (A + I 3 )
2 Solución:
(A + I 3 )
2
d ) A
2
Como AI 3 = I 3 A = A se puede utilizar el binomio de Newton y el resultado será
entonces la matriz del apartado anterior.
e) AC Solución:
AC =
f ) CA
Solución:
CA =
A OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES 4
f ) CA
Solución:
CA =
g) (A + C)
2
Solución:
(A + C)
2
2
h) A
2
2
Solución:
A
2
2
i) A
2
2
Solución:
Como (A + C)
2 = (A + C)(A + C) = A
2
2 , entonces:
A
2
2
- Dadas las matrices siguientes
A =
, B =
, C =
se pide calcular las siguientes operaciones:
a) AB Solución:
AB =
b) B
t A
t Solución:
B
t A
t = (AB)
t
c) (A + I 3 )
2 Solución:
(A + I 3 )
2
A OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES 5
d ) A
2
Como AI 3 = I 3 A = A se puede utilizar el binomio de Newton y el resultado será
entonces la matriz del apartado anterior.
e) AC Solución:
AC =
f ) CA
Solución:
CA =
g) (A + C)
2
Solución:
(A + C)
2
2
h) A
2
2
Solución:
A
2
2
i) A
2
2
Solución:
Como (A + C)
2 = (A + C)(A + C) = A
2
2 , entonces:
A
2
2
- Dadas las matrices siguientes
A =
, B =
, C =
se pide calcular las siguientes operaciones:
a) AB Solución:
AB =
A OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES 7
a) AB Solución:
AB =
b) B
t A
t Solución:
B
t A
t = (AB)
t
c) (A + I 3 )
2 Solución:
(A + I 3 )
2
d ) A
2
Como AI 3 = I 3 A = A se puede utilizar el binomio de Newton y el resultado será
entonces la matriz del apartado anterior.
e) AC Solución:
AC =
f ) CA
Solución:
CA =
g) (A + C)
2
Solución:
(A + C)
2
2
h) A
2
2
Solución:
A
2
2
i) A
2
2
Solución:
Como (A + C)
2 = (A + C)(A + C) = A
2
2 , entonces:
A
2
2
B CÁLCULO DE DETERMINANTES 8
B. Cálculo de determinantes
- Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:
(a)
, (b)
, (c)
, (d)
Solución:
(a) 9, (b) -9, (c) -16 (d) -
- Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:
(a)
, (b)
, (c)
, (d)
Solución:
(a) 8, (b) -16, (c) -21 (d) -
- Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:
(a)
, (b)
, (c)
, (d)
Solución:
(a) 7, (b) -21, (c) -24 (d) -
- Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:
(a)
, (b)
, (c)
, (d)
Solución:
(a) 12, (b) -24, (c) -25 (d) -
- Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:
(a)
, (b)
, (c)
, (d)
Solución:
(a) 10, (b) -25, (c) -24 (d) -
B CÁLCULO DE DETERMINANTES 10
- Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:
(a)
, (b)
, (c)
, (d)
Solución:
(a) 16, (b) -16, (c) -20 (d) -
- Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:
(a)
, (b)
, (c)
, (d)
Solución:
(a) 21, (b) -21, (c) -22 (d) -
- Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:
(a)
, (b)
, (c)
, (d)
Solución:
(a) 48, (b) -24, (c) -22 (d) -
- Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:
(a)
, (b)
, (c)
, (d)
Solución:
(a) 50, (b) -25, (c) -20 (d) -
- Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:
(a)
, (b)
, (c)
, (d)
Solución:
(a) 48, (b) -24, (c) -16 (d) -
B CÁLCULO DE DETERMINANTES 11
- Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:
(a)
, (b)
, (c)
, (d)
Solución:
(a) 42, (b) -21, (c) -10 (d) -
- Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:
(a)
, (b)
, (c)
, (d)
Solución:
(a) 32, (b) -16, (c) -2 (d) -
- Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:
(a)
, (b)
, (c)
, (d)
Solución:
(a) 18, (b) -9, (c) 8 (d) 0
- Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:
(a)
, (b)
, (c)
, (d)
Solución:
(a) 36, (b) -18, (c) -32 (d) -
- Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:
(a)
, (b)
, (c)
, (d)
Solución:
(a) 64, (b) -32, (c) -40 (d) -
C CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ 13
- Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:
(a)
, (b)
, (c)
, (d)
Solución:
(a) 64, (b) -32, (c) -4 (d) -
- Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:
(a)
, (b)
, (c)
, (d)
Solución:
(a) 36, (b) -18, (c) 16 (d) 0
- Demuestra, usando las propiedades de los determinantes, que
2 a 3 b + 2 2 c + 5 2 e + d + 5
2 a b + 2 2 c + 3 e + 3
a 1 1 1
a b + 1 c + 2 d + e + 2
= abcd.
- Demuestra, usando las propiedades de los determinantes, que
∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ a b + c d + e
3 a 3 b + 4c 3 d + 4e
2 a 2 b + 3c 2 d + 2e
= −ace
C. Cálculo de la inversa de una matriz
- Calcula la inversa de
y comprueba que es:
- Calcula la inversa de la matriz
(^) y comprueba que el resultado es
- Calcula la inversa de
y comprueba que es:
- Calcula la inversa de la matriz
(^) y comprueba que el resultado es
C CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ 14
- Calcula la inversa de
y comprueba que es:
- Calcula la inversa de la matriz
(^) y comprueba que el resultado es
- Calcula la inversa de
y comprueba que es:
- Calcula la inversa de la matriz
(^) y comprueba que el resultado es
- Calcula la inversa de
y comprueba que es:
- Calcula la inversa de la matriz
(^) y comprueba que el resultado es
- Calcula la inversa de
y comprueba que es:
- Calcula la inversa de la matriz
(^) y comprueba que el resultado es
- Calcula la inversa de
y comprueba que es:
- Calcula la inversa de la matriz
(^) y comprueba que el resultado es
- Calcula la inversa de
y comprueba que es:
- Calcula la inversa de la matriz
(^) y comprueba que el resultado es
D DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES 16
- Calcula la inversa de
y comprueba que es:
- Calcula la inversa de la matriz
(^) y comprueba que el resultado es
- Calcula la inversa de la matriz
1 c d f
2 2 c + 1 2 d + b 2 f + e
1 c + 1 d + b + 1 f + e + a
1 c d f + 1
y comprueba que el resultado es:
f − c e − a d − d + a b c + b c + 2 c + 1 d − b c − c − (d − b c) − (f − c e − a d + a b c)
e − a b − b − 2 b + 1 −b − (e − a b)
a + 1 − 1 1 −a
− 1 0 0 1
- Calcula la inversa de la matriz
− 1 a b
− 2 2 a + 1 c + 2 b
− 1 a b + 1
y comprueba que el resultado es:
a c − b − 2 a − 1 a − (a c − b)
c − 2 1 −c
− 1 0 1
D. Diagonalización de matrices
- Dada la matriz A =
(^) se pide responder a las siguientes preguntas:
a) Calcula el polinomio característico de A y sus raíces dando las multiplicidades.
Solución:
pA(x) = (x − 2)
2 (x − 1), m(2) = 2 m(1) = 1.
b) Calcula una base del espacio vectorial S = {(x, y, z) : (A − 2 I 3 )(x, y, z)
t = (0, 0 , 0)
t }.
Solución:
βS = {(1, 1 , 0), (1, 0 , 1)}.
c) Calcula una base del espacio vectorial T = {(x, y, z) : (A − 1 I 3 )(x, y, z)
t = (0, 0 , 0)
t }.
Solución:
βT = {(1, 1 , 1)}.
D DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES 17
d ) Justifica si la matriz A es diagonalizable y caso de serlo da la matriz diagonal y de paso.
Solución:
La matriz es diagonalizable porque dim V 2 = dim VS = m(2) = 2 y dim V 1 = dim VT =
m(1) = 2
e) Sean las bases β = {u 1 = (1, 1 , 1), u 2 = (1, 1 , 0), u 3 = (1, 0 , 0)} y β
′ = {v 1 , v 2 , v 3 }. Se
sabe que Mββ′ = A y se pide que des las coordenadas de los vectores de β
′ respecto de
la base canónica.
Solución:
Usando la definición de la matriz Mββ′ tenemos que:
v 1 = (3, 1 , 1)β = 3u 1 + 1u 2 + 1u 3 = (5, 4 , 3)
v 2 = ( − 1 , 1 , − 1)β = ( − 1 , 0 , − 1)
v 3 = ( − 1 , − 1 , 1)β = ( − 1 , − 2 , − 1)
- Dada la matriz A =
(^) se pide responder a las siguientes preguntas:
a) Calcula el polinomio característico de A y sus raíces dando las multiplicidades.
Solución:
pA(x) = (x − 3)
2 (x − 1), m(3) = 2 m(1) = 1.
b) Calcula una base del espacio vectorial S = {(x, y, z) : (A − 3 I 3 )(x, y, z)
t = (0, 0 , 0)
t }.
Solución:
βS = {(1, 1 , 0), (1, 0 , 1)}.
c) Calcula una base del espacio vectorial T = {(x, y, z) : (A − 1 I 3 )(x, y, z)
t = (0, 0 , 0)
t }.
Solución:
βT = {(1, 1 , 1)}.
d ) Justifica si la matriz A es diagonalizable y caso de serlo da la matriz diagonal y de paso.
Solución:
La matriz es diagonalizable porque dim V 3 = dim VS = m(3) = 2 y dim V 1 = dim VT =
m(1) = 2
e) Sean las bases β = {u 1 = (1, 1 , 1), u 2 = (1, 1 , 0), u 3 = (1, 0 , 0)} y β
′ = {v 1 , v 2 , v 3 }. Se
sabe que Mββ′ = A y se pide que des las coordenadas de los vectores de β
′ respecto de
la base canónica.
Solución:
Usando la definición de la matriz Mββ′ tenemos que:
v 1 = (5, 2 , 2)β = 5u 1 + 2u 2 + 2u 3 = (9, 7 , 5)
v 2 = ( − 2 , 1 , − 2)β = ( − 3 , − 1 , − 2)
v 3 = ( − 2 , − 2 , 1)β = ( − 3 , − 4 , − 2)
- Dada la matriz A =
(^) se pide responder a las siguientes preguntas:
a) Calcula el polinomio característico de A y sus raíces dando las multiplicidades.
Solución:
pA(x) = (x − 4)
2 (x − 1), m(4) = 2 m(1) = 1.
D DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES 19
- Dada la matriz A =
(^) se pide responder a las siguientes preguntas:
a) Calcula el polinomio característico de A y sus raíces dando las multiplicidades.
Solución:
pA(x) = (x − 6)
2 (x − 1), m(6) = 2 m(1) = 1.
b) Calcula una base del espacio vectorial S = {(x, y, z) : (A − 6 I 3 )(x, y, z)
t = (0, 0 , 0)
t }.
Solución:
βS = {(1, 1 , 0), (1, 0 , 1)}.
c) Calcula una base del espacio vectorial T = {(x, y, z) : (A − 1 I 3 )(x, y, z)
t = (0, 0 , 0)
t }.
Solución:
βT = {(1, 1 , 1)}.
d ) Justifica si la matriz A es diagonalizable y caso de serlo da la matriz diagonal y de paso.
Solución:
La matriz es diagonalizable porque dim V 6 = dim VS = m(6) = 2 y dim V 1 = dim VT =
m(1) = 2
e) Sean las bases β = {u 1 = (1, 1 , 1), u 2 = (1, 1 , 0), u 3 = (1, 0 , 0)} y β
′ = {v 1 , v 2 , v 3 }. Se
sabe que Mββ′ = A y se pide que des las coordenadas de los vectores de β
′ respecto de
la base canónica.
Solución:
Usando la definición de la matriz Mββ′^ tenemos que:
v 1 = (11, 5 , 5)β = 11u 1 + 5u 2 + 5u 3 = (21, 16 , 11)
v 2 = ( − 5 , 1 , − 5)β = ( − 9 , − 4 , − 5)
v 3 = ( − 5 , − 5 , 1)β = ( − 9 , − 10 , − 5)
- Dada la matriz A =
(^) se pide responder a las siguientes preguntas:
a) Calcula el polinomio característico de A y sus raíces dando las multiplicidades.
Solución:
pA(x) = (x − 7)
2 (x − 1), m(7) = 2 m(1) = 1.
b) Calcula una base del espacio vectorial S = {(x, y, z) : (A − 7 I 3 )(x, y, z)
t = (0, 0 , 0)
t }.
Solución:
βS = {(1, 1 , 0), (1, 0 , 1)}.
c) Calcula una base del espacio vectorial T = {(x, y, z) : (A − 1 I 3 )(x, y, z)
t = (0, 0 , 0)
t }.
Solución:
βT = {(1, 1 , 1)}.
d ) Justifica si la matriz A es diagonalizable y caso de serlo da la matriz diagonal y de paso.
Solución:
La matriz es diagonalizable porque dim V 7 = dim VS = m(7) = 2 y dim V 1 = dim VT =
m(1) = 2
e) Sean las bases β = {u 1 = (1, 1 , 1), u 2 = (1, 1 , 0), u 3 = (1, 0 , 0)} y β
′ = {v 1 , v 2 , v 3 }. Se
sabe que Mββ′^ = A y se pide que des las coordenadas de los vectores de β
′ respecto de
la base canónica.
D DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES 20
Solución:
Usando la definición de la matriz Mββ′^ tenemos que:
v 1 = (13, 6 , 6)β = 13u 1 + 6u 2 + 6u 3 = (25, 19 , 13)
v 2 = ( − 6 , 1 , − 6)β = ( − 11 , − 5 , − 6)
v 3 = ( − 6 , − 6 , 1)β = ( − 11 , − 12 , − 6)
- Dada la matriz A =
(^) se pide responder a las siguientes preguntas:
a) Calcula el polinomio característico de A y sus raíces dando las multiplicidades.
Solución:
pA(x) = (x − 8)
2 (x − 1), m(8) = 2 m(1) = 1.
b) Calcula una base del espacio vectorial S = {(x, y, z) : (A − 8 I 3 )(x, y, z)
t = (0, 0 , 0)
t }.
Solución:
βS = {(1, 1 , 0), (1, 0 , 1)}.
c) Calcula una base del espacio vectorial T = {(x, y, z) : (A − 1 I 3 )(x, y, z)
t = (0, 0 , 0)
t }.
Solución:
βT = {(1, 1 , 1)}.
d ) Justifica si la matriz A es diagonalizable y caso de serlo da la matriz diagonal y de paso.
Solución:
La matriz es diagonalizable porque dim V 8 = dim VS = m(8) = 2 y dim V 1 = dim VT =
m(1) = 2
e) Sean las bases β = {u 1 = (1, 1 , 1), u 2 = (1, 1 , 0), u 3 = (1, 0 , 0)} y β
′ = {v 1 , v 2 , v 3 }. Se
sabe que Mββ′^ = A y se pide que des las coordenadas de los vectores de β
′ respecto de
la base canónica.
Solución:
Usando la definición de la matriz Mββ′ tenemos que:
v 1 = (15, 7 , 7)β = 15u 1 + 7u 2 + 7u 3 = (29, 22 , 15)
v 2 = ( − 7 , 1 , − 7)β = ( − 13 , − 6 , − 7)
v 3 = ( − 7 , − 7 , 1)β = ( − 13 , − 14 , − 7)
- Dada la matriz A =
(^) se pide responder a las siguientes preguntas:
a) Calcula el polinomio característico de A y sus raíces dando las multiplicidades.
Solución:
pA(x) = (x − 9)
2 (x − 1), m(9) = 2 m(1) = 1.
b) Calcula una base del espacio vectorial S = {(x, y, z) : (A − 9 I 3 )(x, y, z)
t = (0, 0 , 0)
t }.
Solución:
βS = {(1, 1 , 0), (1, 0 , 1)}.
c) Calcula una base del espacio vectorial T = {(x, y, z) : (A − 1 I 3 )(x, y, z)
t = (0, 0 , 0)
t }.
Solución:
βT = {(1, 1 , 1)}.
