¡Descarga optimitzacio sense restriccions y más Apuntes en PDF de Administración de Empresas solo en Docsity!
Bloque temático 2. Cálculo
1. Funciones reales de n variables
2. Optimización sin restricciones
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
**1. Conceptos básicos
- Optimización convexa
- Optimización de funciones**
Dada
f : A ⊆ ℜ → ℜ
a ∈ A
( ) ( )
x A , f x f a
⇔
∀ ∈ ≤
a es un máximo absoluto o global de f
( ) ( )
x A , f x f a
⇔
∀ ∈ ≥
a es un mínimo absoluto o global de f
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
1.1 Óptimos de una función
1. Conceptos básicos
Dada
f : A ⊆ ℜ → ℜ
a ∈ A
] [ ( ) ( )
ε 0 / x a ε , a ε A , f x f a
] [ ( ) ( )
ε 0 / x a ε , a ε A , f x f a
a es un máximo relativo o local de f
a es un mínimo relativo o local de f
a-ε a
f ( a )
y
a+ε x Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
1. Conceptos básicos
1.1 Óptimos de una función
Dada
n
f A ⊆ ℜ → ℜ
a ∈ A
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
con
a máximo global o absoluto de f ⇔ ∀ ∈ x A , f x ≤ f a
a mínimo global o absoluto de f ⇔ ∀ ∈ x A , f x ≥ f a
6 5
4
3
y
2
0
x
1
0
0
1
20
18
16
14
12
z 10
8
6
4
2
2
3
4
5
6
-5 -
5
4
2
0
z
x
4 5
1 1
y
0
0
2 3
2 3
1. Conceptos básicos
1.1 Óptimos de una función
Dada
n
f A ⊆ ℜ → ℜ
A
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
es CONTINUA en el conjunto A , entonces:
conjunto CERRADO y ACOTADO (compacto), y
( ) ( ) ( )
∃ , ∈ tales que ∀ ∈ ,
a b A x A
f a f x f b
f
a
Mínimo global o absoluto de
b
Máximo global o absoluto de
f
f
1. Conceptos básicos
1.2 Teorema de Weierstrass
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
1. Conceptos básicos
1.2 Teorema de Weierstrass
Ejemplo: Verificar si la función
cumple las hipótesis del teorema de Weierstrass sobre el conjunto:
( )
2 2
3
,
4
=
xy
f x y
x y
( )
{ }
2
A = x y , ∈ℜ x ≥ 1, y ≥ 0, y ≥ 2 − x
A
y
x
1 2
y = 2 − x
El conjunto A es cerrado pero
NO acotado, por tanto:
NO se cumplen las hipótesis del
teorema de Weierstrass, y por
ello, no podemos asegurar la
existencia de máximo y mínimo
global de f en A
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
1. Conceptos básicos
1.2 Teorema de Weierstrass
Ejercicio: Verificar si la función
cumple las hipótesis del teorema de Weierstrass sobre el conjunto:
( )
2
,
1
=
− +
x y
f x y
y x
( )
{ }
2 2 2
A = x y , ∈ℜ x ≥ 0, x + y ≤ 4
y
x
2 2
x + y = 4
2
0
A
Dada
f : A ⊆ ℜ → ℜ
a ∈ A
DERIVABLE en
( )
a es óptimo local o relativo de f ⇒ f ' a = 0
- A los puntos que cumplen esta condición se les denomina
puntos CRÍTICOS o puntos SINGULARES
- No todos los puntos críticos son óptimos de la función
- Cuando NO lo son se denominan PUNTOS DE INFLEXIÓN
2.1 Condición necesaria de optimalidad local
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
2. Optimización de funciones
Dada :
n
f A ⊆ ℜ → ℜ
A
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
con
( )
a óptimo local o relativo de f ⇒ ∇ f a = 0
abierto
Si
f
tiene derivadas parciales segundas continuas sobre
A
entonces:
- Esta es una condición necesaria, pero no suficiente
- Los puntos que cumplen esta condición se denominan puntos
CRÍTICOS o puntos ESTACIONARIOS
- No todos los puntos críticos son óptimos de la función
- Cuando NO lo son se denominan PUNTOS DE SILLA
2.1 Condición necesaria de optimalidad local
2. Optimización de funciones
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
20
5
4
10
3
2
z
1
0
y
5
4
x
3
2
1
0
0
Punto de silla
2.1 Condición necesaria de optimalidad local
2. Optimización de funciones
Ejemplo: Determinar los posibles puntos críticos de la función
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
3 3
f x y , = 3 xy − x − y
Veamos que puntos cumplen la condición necesaria:
∇ f x y , = 0
2
f x y
y x
x
2
f x y
x y
y
Por tanto, los puntos críticos, serán solución del sistema de ecuaciones:
2
2
y x
x y
2
y = x
2
2
x − x = 0
2.1 Condición necesaria de optimalidad local
2. Optimización de funciones
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
4 3
x − x = x · 1 − x = 0
3
x
x x
Como habíamos expresado , tenemos que:
2
y = x
x y
x y
En definitiva, los puntos críticos, o posibles óptimos relativos, son:
x y
x y
2.1 Condición necesaria de optimalidad local
2. Optimización de funciones
Ejemplo: Buscar los óptimos locales de la función ( )
2
f x = x
( )
3
g x = x
( )
: 0
''
Punto crítico x
f x
=
= 2
( )
f '' 0 = 2 > 0 ⇒ x = 0 es un MÍNIMO local
( )
: 0
''
Punto crítico x
g x
=
=
( )
g '' 0 =
Ejercicio: Buscar los óptimos locales de la función
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
2. Optimización de funciones
2.2 Condición suficiente de optimalidad local
Ejercicio: Buscar los óptimos locales de la función
( )
4
h x = − x
( )
: 0
''
Punto crítico x
h x
=
=
h '' 0 ( )=
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
2. Optimización de funciones
2.2 Condición suficiente de optimalidad local
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
Dada
n
f A ⊆ ℜ → ℜ
con A abierto
Si
f tiene derivadas parciales segundas continuas sobre A entonces:
( )
( )
f a 0
Hf a
a f
a f
∇ =
⇒
⇒
Si y
la forma cuadrática de matriz asociada
es definida negativa máximo local estricto de
es definida positiva mínimo local estricto de
2. Optimización de funciones
2.2 Condición suficiente de optimalidad local
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
2.4 Condición suficiente de optimalidad local
PROBLEMA: Optimizar la función :
n
f ℜ → ℜ
Condición necesaria :
( )
∇ f x = 0
La resolución del sistema permite detectar los puntos críticos :
máximos, mínimos relativos y puntos de silla
Condición suficiente : El signo de la forma cuadrática de matriz asociada
( )
Hf a
- Definida positiva
- Semidefinida positiva
- Semidefinida negativa
- Definida negativa
- Indefinida
permite decidir el carácter de cada punto:
Mínimo relativo estricto
Máximo relativo o punto de silla
Punto de silla
Mínimo relativo o punto de silla
Máximo relativo estricto
2. Optimización de funciones de varias variables
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
( )
Hf 0,0 =
Así pues, la forma cuadrática es
En consecuencia, el punto (0,0) es un
En el punto crítico (0,0) tenemos:
INDEFINIDA
PUNTO DE SILLA
2. Optimización de funciones
2.2 Condición suficiente de optimalidad local
Los menores principales generalizados de la matriz son:
{ } { }
1
Mp = 0 , 0 = 0,
{ }
2
0 3
9
3 0
Mp
= = −
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
Condición suficiente : Como
tenemos
( )
f x y ,
x
( )
f x y ,
y
( )
Hf x y , =
2. Optimización de funciones
2.2 Condición suficiente de optimalidad local
Ejercicio: Determinar los óptimos relativos de la función
( )
2 4
f x y , = 2 x − 4 xy + y
En un ejercicio anterior, a partir de la condición necesarias, se
obtuvieron los siguientes puntos críticos:
( )
( )
( )
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
Así pues, en el punto crítico (0,0):
la forma cuadrática es:
y en el punto (0,0) la función tiene un:
2. Optimización de funciones
2.2 Condición suficiente de optimalidad local
Los menores principales generalizados de la matriz son:
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
Finalmente, en los puntos críticos (1,1) y (-1,-1):
la forma cuadrática es:
y en los puntos (1,1) y (-1,-1) la función tiene dos:
2. Optimización de funciones
2.2 Condición suficiente de optimalidad local
Los menores principales generalizados de la matriz son:
Dada f : A ⊆ ℜ → ℜ DERIVABLE en A
hasta un orden k > n y a ∈ A
( )
( )
1
n
f a f a
−
y
( )
n
f a ≠
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
3. Optimización convexa
3.2 Caracterización de la curvatura de una función
Si n par
Si n impar
y n> 1
0
n
f a <
0
n
f a >
abierto
f a
esconvexaen
a f
espuntodeinflexiónde
f a
escóncavaen
Ejemplo: Estudiar la curvatura de la función
en el punto x = -
( )
3
f x = x − 4 x
f ' ( x )=
2
3 x − 4
f '' ( x )= 6 x
( )
f '' − 1 = ( )
6 ⋅ − 1 = − 6 < 0 ⇒ en x = − 1 f es CÓNCAVA
( )
f '' 2 =
f '' 0 ( )=
Ejercicio: Estudiar la curvatura de la función
en los puntos x =0 y x =
( )
3
f x = x − 4 x
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
3.2 Caracterización de la curvatura de una función
3. Optimización convexa
Dada
n
f A ⊆ ℜ → ℜ
f
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
Si tiene derivadas parciales segundas continuas sobre
siendo A abierto y convexo
A
f
es convexa sobre A ⇔
( )
⇔ ∀ ∈ x A , Hf x es definida o semidefinida positiva
f
es cóncava sobre
A ⇔
( )
⇔ ∀ ∈ x A , Hf x
3. Optimización convexa
3.2 Caracterización de la curvatura de una función
es definida o semidefinida negativa
Ejemplo: Estudiar la curvatura de la función
3. Optimización convexa
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
( )
2 4
f x y , = x + 3 y
( )
f x y
x
x
( )
3
f x y
y
y
( )
2
Hf x y
y
3.2 Caracterización de la curvatura de una función
la forma cuadrática es semidefinida positiva. Por tanto, la función es CONVEXA
Los menores principales generalizados de la matriz son:
{ }
2
1
Mp = 2,36 y
{ }
2
2
2
2 0
72
0 36
Mp y
y
= =
3. Optimización convexa
3.3 Relación entre curvatura y optimalidad
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
Dada
n
f A ⊆ ℜ → ℜ
f Si es cóncava o convexa y,
tiene derivadas parciales segundas continuas sobre
entonces se verifica que:
A
siendo abierto y convexo
A
a óptimo local o relativo de
a óptimo global o absoluto de
f
f
⇓
Teorema
3. Optimización convexa
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
a
mínimo local (y global) de ( )
f ⇔ ∇ f a = 0
Si f es convexa,
a
máximo local (y global) de ( )
f ⇔ ∇ f a = 0
Si f es cóncava,
3.3 Relación entre curvatura y optimalidad
Además,
Es decir, en cada caso la condición necesaria de optimalidad local es
también condición suficiente de optimalidad local y global
3. Optimización convexa
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
Ejemplo: Para determinar los óptimos de la función
( )
2 2
f x y , = x + y
( )
f x y
x
x
( )
f x y
y
y
calculamos:
( )
Hf x y , =
y, por tanto:
la forma cuadrática es definida positiva. Por tanto, la función
es CONVEXA
3.3 Relación entre curvatura y optimalidad
3. Optimización convexa
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
Por tanto, a partir del teorema de optimización local-global y de la
condición necesaria y suficiente de optimalidad:
( )
f x y
x x
x
( )
f x y
y y
y
se concluye que el punto ( ) ( )
x y , = 0,
es un MÍNIMO LOCAL y GLOBAL de la función
3.3 Relación entre curvatura y optimalidad
