¡Descarga apunts optimització y más Apuntes en PDF de Química solo en Docsity!
Capítol 4
OPTIMITZACIÓ. EXTREMS DE
FUNCIONS DE DIVERSES VARIABLES
Tot sovint convé saber quan una certa funció (per exemple una pressió, una temperatura, el cost d’un procés, etc) assoleix el màxim o el mínim. En aquest capítol veurem com es determinen els màxims i mínims de funcions de més d’una variable en dues situacions corrents: sense restriccions a les variables i sota les restriccions imposades per una altra (o més) funcions.
4.1 Extrems relatius
4.1.1 Definicions
Definició 4.1.1.1 Sigui Ω ⊂ Rn^ i sigui f : Ω −→ R una funció de n variables. Diem que un punt a ∈ Ω és un màxim (resp. mínim) absolut de f si
f (x) ≤ f (a) ( resp. f (x) ≥ f (a)) ∀x ∈ Ω.
Quan no necessitem precisar si a és màxim o mínim absolut, diem simplement que a és extrem absolut de f_._
Exemple 4.1.1.2 (a) Sigui f (x, y) = x^2 + y^2 a Ω = R^2_. Aquesta funció té un ´únic mínim absolut al punt_ a = (0, 0) , ja que
f (x, y) = x^2 + y^2 ≥ 0 = f (0, 0) ∀(x, y) ∈ R^2.
En canvi, la funció no té cap màxim absolut, perquè donat qualsevol (x 0 , y 0 ) ∈ R^2 , sempre podem trobar un altre punt (x, y) ∈ R^2 tal que
f (x, y) = x^2 + y^2 > x^20 + y^20 = f (x 0 , y 0 ).
(b) La funció f (x, y) = y a R^2 no té cap extrem absolut. (c) La funció f (x, y) = cos(x^2 + y^2 ) assoleix el màxim als punts (x, y) on cos(x^2 + y^2 ) = 1 , és a dir, als cercles x^2 + y^2 = 2kπ k ∈ Z.
2 OPTIMITZACIÓ. EXTREMS DE FUNCIONS DE DIVERSES VARIABLES
Anàlogament, els mínims s’assoleixen quan cos(x^2 + y^2 ) = − 1 , als cercles
x^2 + y^2 = (2k + 1)π k ∈ Z.
Definició 4.1.1.3 Sigui Ω ⊂ Rn^ i sigui f : Ω −→ R una funció de n variables. Diem que un punt a ∈ Ω és un màxim (resp. mínim) local, o relatiu, de f si existeix un entorn U del punt a tal que
f (x) ≤ f (a) ( resp. f (x) ≥ f (a)) ∀x ∈ U.
No tots els extrems relatius són extrems absoluts.
4.1.2 Càlcul d’extrems relatius
Anàlogament al que passa per a funcions d’una variable, quan una funció de diverses variables assoleix un extrem relatiu la “primera derivada"s’anul.la.
Teorema 4.1.2.1 Sigui Ω ⊂ Rn^ i sigui f : Ω −→ R una funció derivable de n variables. Si un punt a ∈ Ω és un extrem relatiu, aleshores
∂f ∂xi
(a) = 0 ∀ i = 1,... , n.
Recordem que donada f = f (x 1 ,... , xn), s’anomena gradient de f al punt a ∈ Ω al vector
∇f (a) =
( (^) ∂f ∂x 1
(a),... ,
∂f ∂xn
(a)
Es diu que a ∈ Ω es un punt crític de f quan ∇f (a) = 0. Així doncs, el teorema anterior diu que els extrems relatius es troben entre els punts crítics de f. Per simplificar la notació escriurem fxi en lloc de ∂f /∂xi.
Exemple 4.1.2.2 Calculem els punts crítics de la funció
f (x, y) = 2x^4 + y^4 − 2 x^2 − 2 y^2.
Hem de resoldre el sistema { fx(x, y) = 8x^3 − 4 x = 4x(2x^2 − 1) = 0 fy(x, y) = 4y^3 − 4 y = 4y(y^2 − 1) = 0.
Això dóna els punts (0, 0) , (0, 1) , (0, −1) , (1/
i (− 1 /
2 , −1). En particular, els màxims i mínims relatius de f (si existeixen) es troben necessàri- ament entre aquests punts.
En funcions d’una variable real hi ha punts crítics que no són màxims ni mínims, els anomenats punts d’inflexió. Per a funcions de diverses variables hi ha punts amb característiques anàlogues.
4 OPTIMITZACIÓ. EXTREMS DE FUNCIONS DE DIVERSES VARIABLES
Observació 4.1.2.8 Això diu, en particular, que quan la matriu Hessiana a un punt crític a no és semidefinida positiva ni negativa, aleshores a és un punt de sella.
Hi ha casos en que el teorema anterior no permet determinar la natura del punt crític. Per exemple, la funció f (x, y) = x^4 + y^4 té un mínim al punt (0, 0) , però la matriu Hessiana al (0, 0) és
Hf (0, 0) =
Exemple 4.1.2.9 Classifiquem els punts crítics de la funció de l’Exemple 4.1.2.2. La matriu Hes- siana a un punt (x, y) qualsevol és
Hf (x, y) =
24 x^2 − 4 0 0 12 y^2 − 4
Ara hem de substituir cadascun dels punts crítics a aquesta matriu i veure si ens surt una matriu (semi)definida positiva o negativa. Per exemple
Hf (0, 0) =
definida negativa: (0, 0) és màxim relatiu de f_._
Hf (0, 1) =
no semi-definida: (0, 1) és punt de sella de f_._
Hf (0, −1) =
no semi-definida: (0, −1) és punt de sella de f_._
Anàlogament es veu que
(i) (1/
2 , 0) i (− 1 /
2 , 0) són punts de sella de f_._
(ii) (1/
2 , −1) són mínims relatius de f_._
4.2 Extrems condicionats
A la pràctica, juntament amb una funció que modelitza matemàticament un cert fenòmen, tot sovint trobem unes restriccions per a les variables de les quals depèn la funció.
Una funció contínua d’una variable, definida a un interval del tipus [a, b], sempre té màxim i mínim absoluts. Aquests poden trobar-se a l’interior de l’interval, és a dir en (a, b), o bé en els punts a o b. Per exemple, la funció f (x) = x^3 − 9 x^2 + 12x + 2 té un màxim i un mínim relatius a l’interior de l’interval [0, 8]. El mínim relatiu és també el mínim absolut, però en canvi el màxim absolut es troba al punt x = 8, a un extrem de l’interval (vegeu dibuix), i no coincideix amb el màxim relatiu.
4.2. Extrems condicionats 5
0
10
20
30
40
0 1 2 3 4 5 6 7 8
(x3)-9(x2)+12x+
Per a funcions de més variables passa una cosa semblant: les funcions contínues definides a un cert tipus de conjunts (anomenats compactes), sempre tenen màxim i mínim absoluts.
Definició 4.2.0.10 Un conjunt K ⊂ Rn^ s’anomena compacte si
(i) K és tancat , és a dir, els punts de la vora de K pertanyen a K_._
(ii) K és acotat , és a dir, cap part de K va a l’infinit (més precisament, existeix una bola B tal que K ⊂ B ).
Exemple 4.2.0.11 1. L’interval [a, b] és compacte a R_._
2. El disc D = {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 < 1 } no és compacte. És clar que D és acotat, però en canvi no és tancat, perquè la vora de D és el cercle C = {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 = 1} , que està format per punts que no pertanyen a K_.
- El quadrat_ Q = {(x, y) ∈ R^2 : |x| ≤ 1 , |y| ≤ 1 } és compacte.
Teorema 4.2.0.12 (de Weierstrass) Sigui K ⊂ Rn^ compacte. Tota funció contínua f : K → R té màxim i mínim absolut.
Tal i com passava amb les funcions d’una variable definides a [a, b], els extrems absoluts de f : K −→ R es poden trobar a l’interior de K o a la frontera. Així doncs, per determinar els extrems absoluts de f a K, seguirem tres passos:
(i) prendrem els punts crítics que es troben dins K
(ii) restringirem la funció a la frontera de K i n’estudiarem els candidats a extrem
(iii) avaluarem la funció a cadascun dels punts obtinguts anteriorment, i decidirem quins són els màxims i els mínims absoluts.
Exemple 4.2.0.13 Busquem els màxims i mínims absoluts de la funció f (x, y) = 4x^3 + 2x^2 y + y^2 definida al quadrat Q = {(x, y) ∈ R^2 : |x| ≤ 1 , |y| ≤ 1 }. La funció f és contínua (és un polinomi), i ja hem observat a l’exemple anterior que Q és compacte. Per tant, el Teorema de Weierstrass assegura l’existència dels màxims i mínims que busquem.
4.2. Extrems condicionats 7
Costat 3. x = − 1 i y ∈ [− 1 , 1]. Aquí tenim la funció
g(y) = f (− 1 , y) = −4 + 2y + y^2.
La condició g′(y) = 0 dóna lloc al punt (− 1 , −1). Aquí no cal afegir els extrems de l’inter- val, perquè ja han sortir abans.
Costat 4. y = − 1 i x ∈ [− 1 , 1]. Ara tenim la funció
g(x) = f (x, −1) = 4x^3 − 2 x^2 + 1.
La condició g′(x) = 0 dóna lloc als punts (0, −1) i (1/ 3 , −1). Aquí tampoc no cal afegir els extrems d l’interval.
(ii) Avaluació de la funció als punts trobats a (i) i (ii). Tot plegat, els candidats a màxim i mínim absolut són els punts: (0, 0) , (1, −1) , (1, 1) , (0, 1) , (− 1 / 3 , 1) , (− 1 , 1) , (− 1 , −1) , (0, −1) i (1/ 3 , −1). Tenim
f (0, 0) = 0 f (1, −1) = 3 f (1, 1) = 7 f (0, 1) = 1 f (− 1 / 3 , 1) = 1 + 2/ 27 f (− 1 , 1) = − 1 f (− 1 , −1) = − 5 f (0, −1) = 1 f (1/ 3 , −1) = 1 − 2 / 27 ,
d’on en deduïm que (1, 1) és màxim absolut i (− 1 , −1) és mínim absolut.
4.2.1 Mètode dels multiplicadors de Lagrange
Tot sovint, en mirar quins són els possibles extrems a la frontera, ens trobem amb que la condició que defineix la frontera no es pot substituir directament a la funció. El mètode que explicarem a continuació permet resoldre algunes d’aquestes situacions. Sigui f : Rn^ → R amb derivades parcials contínues, i sigui el conjunt
M = {x ∈ Rn^ : g 1 (x) = · · · = gm(x) = 0},
on gi(x), 1 ≤ i ≤ m < n, són funcions també amb derivades parcials contínues, i tals que la matriu ( (^) ∂gi ∂xj
1 ≤i≤m 1 ≤j≤n té rang m per a tot x ∈ M.
Teorema 4.2.1.1 En les condicions anteriors, qualsevol extrem absolut de f restringida a M és també un extrem relatiu de la funció
L(x 1 ,... , xn, λ 1 ,... , λm) = f (x 1 ,... , xn) − λ 1 g 1 (x 1 ,... , xn) − · · · − λmgm(x 1 ,... , xn).
8 OPTIMITZACIÓ. EXTREMS DE FUNCIONS DE DIVERSES VARIABLES
La funció L s’anomena funció Lagrangiana. A la práctica el teorema anterior ens porta a buscar els punts crítics de L, que surten de resoldre el sistema: (^)
∂f ∂x 1
(x) − λ 1
∂g 1 ∂x 1
(x) − · · · − λm
∂gm ∂x 1
(x) = 0
· · · · · · ∂f ∂xn
(x) − λ 1
∂g 1 ∂xn
(x) − · · · − λm
∂gm ∂xn
(x) = 0
g 1 (x) = 0 · · · · · · gm(x) = 0
El cas que tractarem més sovint és el d’una funció de dues variables f (x, y) restringida a un conjunt definit per una equació del tipus g(x, y) = c. Aleshores el sistema anterior esdevé
fx(x, y) − λgx(x, y) = 0 fy(x, y) − λgy(x, y) = 0 g(x, y) = c
Exemple 4.2.1.2 Calculem els extrems absoluts de f (x, y) = x + y restringida al cercle x^2 + y^2 = 1_. Abans de començar observem que el cercle unitat és un conjunt compacte i que la funció_ f és contínua; per tant el Teorema de Weierstrass assegura l’existència dels extrems absoluts. Observem que el conjunt on estem restringint f és, en la notació anterior,
M = {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 − 1 = 0}.
Si definim g(x, y) = x^2 + y^2 − 1 veiem de seguit que aquest és un dels conjunts que apareixen en el teorema anterior. Per tant, d’acord amb el Teorema 4.2.1.1, hem de buscar els punts crítics de la funció Lagrangiana L(x, y, λ) = x + y − λ(x^2 + y^2 − 1),
és a dir, hem de resoldre el sistema (^)
1 − λ 2 x = 0 1 − λ 2 y = 0 x^2 + y^2 = 1.
De les dues primeres equacions veiem que x = y , i de la tercera en deduïm aleshores que x^2 = 1 / 2_. Això dóna lloc als punts_ (1/
- i (− 1 /
2). Avaluant la funció trobem que f (1/
2 i f (− 1 /
2_. Per tant_ (1/
- és màxim absolut i (− 1 /
- és mínim absolut.
