Optimización de funciones de una variable, Apuntes de Derecho Civil

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Tema 6

Optimizaci´on de funciones de una variable

Crecimiento y decrecimiento

Dada una funci´on f (x) y un intervalo abierto I ⊂ dom(f ) Definici´on La funci´on f es creciente en I si se verifica: ∀a, b ∈ I

si a ≤ b ⇒ f (a) ≤ f (b) a (^) b

f (a)

f (b)

Definici´on La funci´on f es decreciente en I si se verifica: ∀a, b ∈ I

si a ≤ b ⇒ f (a) ≥ f (b) a (^) b

f (a)

f (b)

Propiedad

Si f es derivable en el intervalo I , entonces:

(^1) f es creciente en I si y s´olo si f ′(x) ≥ 0 ∀ x ∈ I

(^2) f es decreciente en I si y s´olo si f ′(x) ≤ 0 ∀ x ∈ I

Ejercicio

Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funci´on f (x) = (2x − 7)e^2 x

M´aximos y m´ınimos relativos

Dada una funci´on f (x) y un punto c ∈ dom(f ), supongamos que existe un intervalo (α, β) ⊂ dom(f ) que contiene al punto x = c en su interior.

Definici´on Si f es creciente en (α, c) y decreciente en (c, β) diremos que f alcanza en x = c un m´aximo relativo

. Esquem´aticamente: c

Definici´on Si f es decreciente en (α, c) y creciente en (c, β) diremos que f alcanza en x = c un m´ınimo relativo

. Esquem´aticamente: c

En cualquiera de los dos casos (m´aximo relativo o m´ınimo relativo) se dice que f alcanza en x = c un extremo relativo.

Concavidad y convexidad

Dada una funci´on dos veces derivable en un intervalo I ⊂ dom(f ) Definici´on f es convexa en I si se cumple:

f ′′(x) ≥ 0 ∀ x ∈ I.

Definici´on f es c´oncava en I si se cumple:

f ′′(x) ≤ 0 ∀ x ∈ I.

Existen definiciones m´as generales de concavidad y convexidad.

Ejemplos Son funciones convexas:

x

y

x

y

x

y

f (x) = x^2 f (x) = ex^ f (x) = 2 x − 2

Ejemplos

Son funciones c´oncavas:

x

y

x

y

x

y

f (x) = 1 − x^2 f (x) = ln (x) f (x) = 2 x − 2

En general podemos expresar el dominio de una funci´on como uni´on de intervalos en los que es convexa y de intervalos en los que es c´oncava.

Para ello estudiaremos el signo de f ′′(x) y elaboraremos un diagrama de concavidad-convexidad:

a (^) b

_ ^ _

Puntos de inflexi´on

Dada una funci´on f (x) y un punto c ∈ dom(f ). Definici´on Diremos que f alcanza en x = c un punto de inflexi´on si existe un intervalo (α, β) ⊂ dom(f ) que contiene al punto x = c en su interior y tal que o bien

f es convexa en (α, c) y c´oncava en (c, β)

o bien

f es c´oncava en (α, c) y convexa en (c, β)

x

y

c

Ejercicio

Representa un diagrama de concavidad-convexidad de la funci´on

f (x) = x^4 − x^3 − 14

e indica sus puntos de inflexi´on.

Clasificaci´on de puntos cr´ıticos

Sea c un punto en el interior de dom (f ) y supongamos que f es tantas veces derivable como se precise y que f ′(c) = 0.

Teorema (^1) Si f ′′(c) > 0 , entonces f alcanza en c un m´ınimo relativo. (^2) Si f ′′(c) < 0 , entonces f alcanza en c un m´aximo relativo.

¿Qu´e podemos hacer si f ′′(c) = 0? → seguimos derivando y evaluando en x = c hasta encontrar una derivada no nula. Teorema Supongamos que f ′(c) = 0 = f ′′(c) = · · · f (n−1)(c), y que f (n)(c) 6 = 0. Entonces (^1) Si n es par y f (n)(c) > 0 , entonces f alcanza en c un m´ınimo relativo. (^2) Si n es par y f (n)(c) < 0 , entonces f alcanza en c un m´aximo relativo. (^3) Si n es impar, entonces f alcanza en a un punto de inflexi´on.

Ejercicio

¿Qu´e alcanza la funci´on f (x) en el punto x = 8 si verifica lo siguiente?:

f ′(8) = 0 f ′′(8) = 0 f ′′′(8) = 0 f iv^ (8) = 5

Ejercicio

¿Qu´e alcanza la funci´on f (x) en el punto x = 8 si verifica lo siguiente?:

f ′(8) = 0 f ′′(8) = 0 f ′′′(8) = 5

Ejercicio

¿Qu´e alcanza la funci´on f (x) en el punto x = 8 si verifica lo siguiente?:

f ′(8) = 4 f ′′(8) = − 2 f ′′′(8) = 0

Ejercicio

¿Qu´e alcanza la funci´on f (x) en el punto x = 8 si verifica lo siguiente?:

f ′(8) = 1 f ′′(8) = 0 f ′′′(8) = 7

M´aximos y m´ınimos absolutos

Dada una funci´on f (x), un conjunto A ⊂ dom(f ) y un punto c ∈ A.

Definici´on Diremos que f alcanza en x = c un m´aximo absoluto de f en A si la imagen de cualquier otro punto x ∈ A es menor o igual que f (c)

f (x) ≤ f (c) ∀x ∈ A.

En tal caso tambi´en diremos que f (c) es el valor m´aximo de f en A.

Definici´on Diremos que f alcanza en x = c un m´ınimo absoluto de f en A si la imagen de cualquier otro punto x ∈ A es mayor o igual que f (c)

f (x) ≥ f (c) ∀x ∈ A.

En tal caso tambi´en diremos que f (c) es el valor m´ınimo de f en A.

. Dada una funci´on f (x) y un conjunto A ⊂ dom(f ) el problema que se indica mediante la expresi´on:

Maximizar : f (x) s.a. x ∈ A

consiste en:

estudiar si f (x) alcanza un valor m´aximo cuando x recorre el conjunto A calcular, si existe, ese valor m´aximo calcular el punto (o los puntos) de A en los que se alcanza el valor m´aximo

Terminolog´ıa

f −→ funci´on objetivo A −→ conjunto factible (o de soluciones posibles) x −→ variable de decisi´on

Teorema de Weierstrass

Sea f (x) es una funci´on continua en [a, b]. Entonces f alcanza en [a, b] al menos un m´aximo absoluto y un m´ınimo absoluto.

. Para resolver Optimizar : f (x) s.a. x ∈ [a, b]

cuando la funci´on f (x) es continua, utilizaremos el siguiente m´etodo:

Algoritmo: El m´etodo de los candidatos

(^1) Calculamos los puntos cr´ıticos de f : hallando f ′(x), estudiando si es derivable y resolviendo la ecuaci´on f ′(x) = 0. (^2) Elaboramos una lista con los candidatos:

C = {a, b, puntos cr´ıticos de f en (a, b)}

(^3) Evaluamos f en cada candidato e identificamos el valor m´aximo y el valor m´ınimo.

Ejercicio

Resuelve

Optimizar : 2 x − x^2 + 20 s.a. x ∈ [0, 3]