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Tipo: Ejercicios
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Tarea 1. Optimización de funciones de una variable
Dr. Balderas López José Abraham
Dra. Marín Albino Ma. Del Carmen
Calderón Rebollo Armando
López Ayala Arely Danae
Segura Guzmán Aldo Leonardo
Viernes 2 de septiembre de 2022
Aplicaciones Matemáticas
Tarea 1: Optimización de funciones de una variable
Fecha de entrega: 2 de septiembre de 2022
Instrucciones: Resuelva los siguientes ejercicios explicando detalladamente todo el desarrollo.
Incluir las gráficas de las funciones objetivo y explicar su comportamiento.
2
de región impresa tiene un margen de 2 in en sus partes
superior e inferior, mientras que en los lados los márgenes son de 4/3 in. Determine las
dimensiones del menor trozo de cartón que pueda emplearse para realizar el cartel.
Sol. 7.3 in × 10.9 in
x
Texto
y
𝑥 −
8
3
𝑦 − 4
𝐸𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ó𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎 𝑒𝑠 𝑑𝑒 32 𝑖𝑛
2
𝑖
𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑑𝑜: 𝐴 = 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
𝑖
𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑖𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑒𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑥, 𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑒𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑥 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑥𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝐴
𝑖
𝐴𝑙 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠:
3
3
3
3
Debido a que 1.7 > 0 el punto encontrado en x es un mínimo.
Sustituimos x = 7.
Adicional nos es posible calcular el área del cartel:
2
En la gráfica podemos apreciar el punto que corresponde a un mínimo, siendo x=7.3, A(x)= 79.
Grafica de la función:
32 𝑥
(𝑥−
8
3
)
automóvil está a 120 m del crucero, un camión, que viaja a una rapidez de 40 m/s en una
carretera perpendicular a la carretera del automóvil, pasa por el crucero. Determine
analíticamente en qué tiempo, después de que el camión deja el crucero, los vehículos están
más cercanos.
Sol. 1.44 s
Del Teorema de Pitágoras tenemos que en todo triángulo rectángulo el
cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los
catetos.
2
2
2
2
2
Sustituimos:
2
2
2
2
Por lo tanto nuestra función objetivo es:
2
Derivamos la función e igualamos a cero:
2
1
2 →
2
1
2
− 1
2
−
1
2
×
2
2
