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Introducci´on
El uso de los s´ımbolos en matem´aticas.
En el estudio de las matem´aticas lo primero que necesitamos es conocer su lenguaje y, en parti- cular, sus s´ımbolos. Algunos s´ımbolos, que reciben el nombre de constantes l´ogicas, representan un objeto matem´atico definido, como los n´umeros (0, 1 , √ 2 , π). Otros s´ımbolos son las variables y se utilizan para representar un elemento no especificado de un conjunto dado. Dicho conjunto recibe el nombre de conjunto universal de la variable o dominio de variaci´on, en el cual cada elemento del conjunto es un posible valor de la variable. Adem´as tambi´en se emplean otros s´ımbolos para representar operaciones y relaciones entre cons- tantes l´ogicas y variables. Estos s´ımbolos reciben el nombre gen´erico de signos y son de tres clases: signos de operaci´on, signos de relaci´on y signos de agrupaci´on. Los signos b´asicos de operaci´on son: suma, resta, multiplicaci´on y divisi´on, que se indican con los correspondientes signos de la aritm´eti- ca. Los signos de relaci´on se emplean para indicar la relaci´on que existe entre dos cantidades y los principales son el signo igual y los signos de mayor y menor. Como signos de agrupaci´on se utilizan par´entesis, corchetes y llaves e indican que la operaci´on colocada entre ellos debe efectuarse primero. Por ejemplo, cuando escribimos x^2 −16 = (x+4)(x−4), los s´ımbolos 16 y 4 son n´umeros concretos y la letra x es un s´ımbolo que representa a un n´umero cualquiera. El signo igual nos indica que la expresi´on a su izquierda es igual a la expresi´on a su derecha. El n´umero 2 sobre la x nos indica que debemos elevar la variable al cuadrado y los signos + y − que debemos sumar o restar los n´umeros correspondientes a la variable. Los par´entesis nos indican que debemos sumar y restar 4 a la variable antes de multiplicar. Este tipo de expresiones reciben el nombre de igualdades y son de dos tipos. Tenemos una ecuaci´on cuando la variable x es el s´ımbolo de un n´umero desconocido que queremos averiguar y en este caso los n´umeros que verifican la ecuaci´on reciben el nombre de soluciones de la ecuaci´on. En determinados casos, como en el ejemplo que hemos visto, la igualdad es v´alida para cualquier n´umero representado
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por la variable x. En este caso decimos que la igualdad es una identidad y a veces sustituimos el signo de igualdad (=) por el el s´ımbolo de identidad (≡). El signo de igualdad tambi´en se usa de otras formas, por ejemplo, para definir funciones como f (x) = 3x + 1 o en f´ormulas como A = πr^2 , la cual nos permite obtener el ´area de un c´ırculo, A, en funci´on de su radio, r. Cuando se trabaja con varias variables utilizamos letras distintas para representarlas. Normal- mente, las cantidades desconocidas y las variables de las funciones se representan por las ´ultimas letras del alfabeto (x, y, z) y las cantidades conocidas o fijas por las primeras letras del alfabeto (a, b, c). Tambi´en utilizamos estas letras cuando en una expresi´on queremos representar constantes num´ericas que pueden tomar distintos valores, en cuyo caso reciben el nombre de par´ametros. Si el n´umero de variables es grande utilizamos sub´ındices para distinguir unas de otras (x 1 , x 2 ,.. .).
El sistema de los n´umeros reales.
Los n´umeros que usamos para contar son los llamados naturales (1, 2, 3,... ) y forman un conjunto que se representa por N. Las reglas de la aritm´etica; adici´on, sustracci´on, multiplicaci´on y divisi´on; hacen que aparezca otro tipo de n´umeros. As´ı, la adici´on y la sustracci´on introducen el cero (0) y los n´umeros negativos (-1, -2, -3,... ), que al unirlos a los naturales forman los n´umeros enteros, cuyo conjunto se representa por Z. La multiplicaci´on y la divisi´on hacen que aparezcan los n´umeros racionales, que son aquellos que se pueden escribir en la forma a/b, donde a y b son enteros. Los n´umeros racionales forman un conjunto que se representa por Q e incluye a los n´umeros enteros, ya que un entero n se puede representar por n/1. Operaciones m´as complejas hacen que aparezcan n´umeros, como √2, que no corresponden a ninguna fracci´on. Esto lleva a ampliar el conjunto de los n´umeros al conjunto de los n´umeros reales, que se representar´a por R. Para ampliar el concepto de n´umero, vamos a construir una recta que nos va a permitir representar todo tipo de n´umeros como la longitud de un segmento: la recta real. Para construir esta recta se elige de manera arbitraria un punto de una l´ınea recta para que represente el cero o punto origen y se elige un punto a una distancia adecuada a la derecha del origen para que represente al n´umero 1. Esto establece la escala de la recta num´erica. Cada punto sobre esta recta es un n´umero. Los n´umeros naturales son los correspondientes m´ultiplos de la longitud del segmento a la derecha del origen y los enteros negativos los situados a su izquierda.
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Nociones sobre conjuntos.
Aunque no hemos definido que es lo que es un conjunto, en la secci´on anterior hemos visto algunos conjuntos de n´umeros: los naturales, enteros, racionales y reales. Lo que los caracteriza como un conjunto es que agrupan objetos de la misma naturaleza. En todos los casos tenemos una colecci´on de objetos que se ven como un todo. Estas colecciones se llaman conjuntos y los objetos son los elementos del conjunto. Se considera que dos conjuntos son iguales si cada elemento de uno es un elemento del otro. S´olo hay un conjunto que no tiene elementos: el conjunto vac´ıo, que se denota por ∅. La manera m´as sencilla de definir un conjunto es dar una lista de sus elementos entre dos llaves. Sin embargo, este tipo de definici´on s´olo es posible para conjuntos finitos y algunos conjuntos son infinitos. En este caso, una forma de definir el conjunto es caracterizar a sus elementos, como hemos hecho con los conjuntos de n´umeros de la secci´on anterior. Para caracterizar los elementos de un conjunto tenemos que determinar qu´e tipo de elementos son y cu´ales son sus propiedades. Por ejemplo, para definir el intervalo de n´umeros reales comprendidos entre dos n´umeros a y b (con a < b) distinguimos dos casos:
Intervalo abierto de extremos a y b: (a, b) = {x ∈ R/a < x < b} Intervalo cerrado de extremos a y b: [a, b] = {x ∈ R/a ≤ x ≤ b} En ambas definiciones se usan las llaves { } para designar al conjunto, que se define en dos partes. A la izquierda de la barra se designa un elemento t´ıpico del conjunto (la barra / se lee tal que y a veces se sustituye por dos puntos). En nuestro caso, el s´ımbolo ∈, que se lee pertenece, nos indica que un elemento del conjunto, x, pertenece al conjunto de los n´umeros reales, R. A la derecha de la barra se especifica la propiedad (o propiedades) que cumplen los elementos del conjunto. En ambos casos, nos indican que los elementos del conjunto est´an entre a y b. En el primer caso no se incluyen los extremos y en el segundo s´ı. Otro concepto importante dentro de la teor´ıa de conjuntos es el de subconjunto. De forma que un conjunto A es un subconjunto de un conjunto B si todos los elementos de A son tambi´en elementos de B. Se escribe A ⊆ B y se lee A est´a contenido en B. Si son conjuntos distintos decimos que A es un subconjunto propio de B.
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Las operaciones b´asicas entre conjuntos son uni´on, intersecci´on y diferencia de conjuntos: A uni´on B son los elementos que pertenecen a cualquiera de los dos conjuntos: A ∪ B = {x/x ∈ A ´o x ∈ B}
A intersecci´on B son los elementos que pertenecen a ambos conjuntos: A ∩ B = {x/x ∈ A y x ∈ B}
A menos B son los elementos que pertenecen a A pero no pertenecen a B: A \ B = {x/x ∈ A y x ∈/ B}
Obs´ervese que en la ´ultima definici´on hemos utilizado el s´ımbolo ∈/ , que indica que un elemento no pertenece al conjunto y se lee x no pertenece a B.
Nociones sobre l´ogica.
Hay afirmaciones que son ciertas o falsas, a las que llamanos enunciados o proposiciones. Sin embargo, cuando una afirmaci´on incluye variables no siempre se puede afirmar que sea cierta o falsa. Por ejemplo, la expresi´on x > 1 no es ni verdadera ni falsa, y no lo ser´a hasta que no reemplacemos a la variable x por alg´un n´umero. Este tipo de expresiones reciben el nombre de proposiciones abiertas y es posible darles un valor de verdad si se utilizan cuantificadores. Un cuantificador es una expresi´on que afirma que una condici´on se cumple para un cierto n´umero de individuos. Dos de estos cuantificadores son el cuantificador universal y el cuantificador existencial. El primero afirma que una condici´on se cumple para todos los individuos de los que se est´a hablando y se representa por el s´ımbolo ∀ (que se lee para todo). El segundo afirma que la condici´on se cumple para al menos uno de los individuos y se representa por el s´ımbolo ∃ (que se lee existe). As´ı, podemos asignar un valor de verdad a la expresi´on ∀x : x > 1. Sin embargo, esta expresi´on es falsa si consideramos que el dominio de variaci´on de x son todos los n´umeros reales y verdadera si consideramos que el dominio de variaci´on son todos los naturales pares. Por tanto, en una proposici´on es imprescindible especificar el dominio de variaci´on de las variables. Tambi´en hay proposiciones que se construyen a partir de otras proposiciones, como x ≥ 0, que es una abreviatura de la proposici´on x > 0 ´o x = 0. Esta proposici´on ser´a verdadera bien si x es positiva
