¡Descarga PAC2 Probabilitat UOC y más Apuntes en PDF de Economía solo en Docsity!
Pregunta 1.
Suposem que volem implantar un control per garantir que els cotxes d’un municipi funcionin de manera sostenible. Per a fer-ho, mirarem la fiabilitat a partir de diversos indicadors. En concret, fem dues proves als cotxes i considerem que si no es superen uns mínims, en alguna de les dues proves, els cotxes s’hauran de reparar. Després de fer les dues proves obliguem a reparar el 18% de cotxes degut a que la primera prova no és superada per un 10% dels cotxes i la segona prova per un 15% de cotxes. Quina hauria estat la probabilitat en cas d’haver estat obligats a anar a reparar-se si haguéssim estat menys estrictes (en cas de no superar cap de les dues proves)?
NOTA: Vegeu Fitxa 18 i veure mòdul 3.
Com que els dos fets no són incompatibles podem considerar que:
𝑃(𝑃1 ∪ 𝑃2) = 𝑃(𝑃1) + 𝑃(𝑃2) − 𝑃(𝑃1 ∩ 𝑃2)
Si tenim en compte les dades que ens indica l’exercici podem afirmar que:
𝑃(𝑃1) = 10% 𝑃(𝑃2) = 15% 𝑃(𝑃1 ∪ 𝑃2) = 18%
𝑃(𝑃1 ∩ 𝑃2) = 𝑃(𝑃1) + 𝑃(𝑃2) − 𝑃(𝑃1 ∪ 𝑃2) = 0,10 + 0,15 − 0.18 = 0,
I, per tant, podem afirmar que un 7% dels cotxes haurien hagut d’anar a reparar-se en cas d’haver aplicat criteris menys estrictes.
Pregunta 2.
Si considerem dos successos aleatoris diferents amb les següents probabilitats: P(S1)=0.35, P(S2)=0.40 i P(S U S2)=0.60, troba les següents probabilitats:
a) 𝑃(𝑆1 ∩ 𝑆2) b) 𝑃(𝑆1 ⎸𝑆2) c) 𝑃(𝑆2 ⎸𝑆1) d) 𝑃(𝑆1 ⎸𝑆2̅̅̅) e) 𝑃(𝑆1 ∪ 𝑆2̅̅̅)
NOTA: Vegeu Fitxa 18. Mòdul 3.
Si considerem
𝑃(𝑆1 ∪ 𝑆2) = 𝑃(𝑆1) + 𝑃(𝑆2) − 𝑃(𝑆1 ∩ 𝑆2)
𝑃(𝑆1|𝑆2) =
Llavors, anem resolent els diferents apartats:
a) 𝑃(𝑆1 ∩ 𝑆2) = 𝑃(𝑆1) + 𝑃(𝑆2) − 𝑃(𝑆1 ∪ 𝑆2) = 0.35 + 0.40 − 0.60 = 0.
b) 𝑃(𝑆1|𝑆2) = 𝑃(𝑆1 ∩ 𝑆2)𝑃(𝑆2) = 0.150.40 = 0.
c) Si considerem que 𝑃(𝑆1 ∩ 𝑆2) = 𝑃(𝑆2 ∩ 𝑆1) llavors, 𝑃(𝑆2|𝑆1) = 𝑃(𝑆2 ∩ 𝑆1) 𝑃(𝑆1) =^
0.35 = 0.
d) S’ha d’obtenir 𝑃(𝑆1 ⎸𝑆2̅̅̅) = 𝑃(𝑆1 ∩ 𝑆2̅̅̅̅) 𝑃(𝑆2̅̅̅̅)^ i per resoldre-ho s’ha de trobar:^ 𝑃(𝑆2̅̅̅) = 1 − 𝑃(𝑆2) = 1 − 0.40 = 0.60, mentre que 𝑃(𝑆1 ∩ 𝑆2̅̅̅) = 𝑃(𝑆1) − 𝑃(𝑆1 ∩ 𝑆2) = 0.35 − 0.15 = 0.20, llavors:
e) 𝑃(𝑆1 ∪ 𝑆2̅̅̅) = 𝑃(𝑆1) + 𝑃(𝑆2̅̅̅) − 𝑃(𝑆1 ∩ 𝑆2̅̅̅) = 0.35 + 0.60 − 0.20 = 0.
Una manera complementària de veure-ho és anar marcant les superfícies sobre els conjunts que anem definint, per exemple, en aquest cas:
Pregunta 3.
Tenim una trobada internacional d’experts sobre temes relacionats amb el canvi climàtic. Suposem que en tenim 10 d’europeus, 4 de japonesos i 4 dels EUA. Volem muntar comissions de 3 membres amb l’objectiu de facilitar la discussió. Quantes combinacions de potencials comissions resultarien? I si volem que hi hagi un membre de cada país?
En els dos casos, l’ordre de les persones no és rellevant.
NOTA: Vegeu Fitxa 2 i veure mòdul 3.
Tenint en compte que l’odre de les persones no és rellevant, el número de possibles comissions sortirà a partir del càlcul de combinacions de 18 individus, agafats de 3 en 3. Per tant:
I, per tant, podem dir que hi ha 816 combinacions possibles.
Si per contra, hi ha d’haver un membre de cada país, llavors el resultat final serà la multiplicació de les combinacions de cada un dels grups que s’han considerat, és a dir, les combinacions de 10 elements on n’agafarem 1 (europeus) i de 4 elements on n’agafarem 1 (1 pel grup de japonesos i pel grup dels EUA), per tant:
𝐶 110 · 𝐶 14 · 𝐶 14 = (^10
) · (^4
) · (^4
I, per tant, podem dir que hi ha 160 combinacions possibles.
Pregunta 4.
S’ha engegat un procés participatiu en un municipi per tal de determinar quins són els principals eixos que s’han de prioritzar en aquests propers anys. S’ha arribat a la conclusió que hi ha cinc grans eixos a treballar (Educació, Sanitat, Transport, Seguretat i Ciutadania) tot i que es poden prioritzar de manera diferent:
Problema 2.
a. A un departament de 10 analistes com a premi per la seva bona tasca es sortegen 4 acreditacions per a assistir a un congrés. Trobeu totes les possibles agrupacions que es poden fer si els premis són iguals i una mateixa persona no pot rebre més d'una acreditació.
Si una persona no pot rebre més d'un premi i només pot rebre una acreditació i no hi ha per a tothom, hem de calcular les combinacions o agrupacions on no importa l'ordre:
C10,4 = (^10
4! × 6!
10 × 9 × 8 × 7 × 6!
4! × 6!
10 × 9 × 8 × 7
b. En el mateix supòsit que en el cas de la pregunta 1, trobeu quantes agrupacions diferents poden fer-se si els premis són diferents i una mateixa persona pot rebre més d'un premi (fins a 4 premis):
Si una persona pot rebre més d'un premi i aquests són diferents hem de calcular les variacions amb repetició:
VR10,4 = 10^4 = 10.000 combinaciones posibles de premios
Exercici 3.
Suposem que si escollim un llibre a l’atzar, tenim un 10% de probabilitats d’haver escollit una novel·la històrica i un 20% d’haver escollit una novel·la policíaca. En el cas que l’opció escollida sigui una novel·la històrica, la probabilitat que l’escriptor sigui nòrdic és un 30%, mentre que en el cas de la novel·la policíaca, aquesta probabilitat és del 50%. En d’altres tipus de llibres, la probabilitat que l’escriptori sigui nòrdic és del 10%. A partir d’aquesta informació, respon a les següents preguntes.
a. Quina és la probabilitat que la novel·la escollida sigui d’un escriptor nòrdic, independentment del tipus de novel·la? b. Quina és la probabilitat que havent trobat un escriptor nòrdic, la novel·la sigui històrica? c. Quina és la probabilitat de trobar una novel·la d’un escriptor no nòrdic i que aquesta sigui una novel·la policíaca?
NOTA: Vegeu Fitxa 18 i vegeu mòdul 3.
Sabem que la probabilitat de trobar una Novel·la Històrica P(NH) = 10%, una Novel·la Policíaca P(NP) = 20% i altres casos P(Resta)=70%, i que la probabilitat de trobar un Escriptor Nòrdic (EN) en el cas que estiguem parlant d’una NH seria P(EN/NH)=30%, mentre que si estem parlant de les novel·les policíaques seria P(EN/NP)=50%. També sabem que P(EN/Resta)=10%.
Tenint en compte aquestes probabilitats podem construir l’arbre de probabilitats que ens permetrà resoldre el problema.
P(NH) = 10% 𝑃(𝐸𝑁|𝑁𝐻) = 30% 𝑃(𝐸𝑅|𝑁𝐻) = 70% on ER es un escriptor de la resta de països.
P(NP) = 20%
𝑃(𝐸𝑁|𝑁𝑃) = 50% 𝑃(𝐸𝑅|𝑁𝑃) = 50%
P(Resta) = 70%
𝑃(𝐸𝑁|𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎) = 10% 𝑃(𝐸𝑅|𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎) = 90%
Si tenim en compte que “La probabilitat condicionada d’un esdeveniment és la probabilitat que en fer un experiment aleatori, el resultat que s’obtingui pertanyi a A, sabent que el resultat que s’ha obtingut pertany a B”, llavors:
A partir de tot plegat, ja podem resoldre els diferents apartats que ens demanen:
a) Busquem 𝑃(𝐸𝑁)
Per tant, calculem
𝑃(𝐸𝑁) = 𝑃(𝐸𝑁 ∩ 𝑁𝐻) + 𝑃(𝐸𝑁 ∩ 𝑁𝑃) + 𝑃(𝐸𝑁 ∩ 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎) = 𝑃(𝑁𝐻) · 𝑃(𝐸𝑁 ⎸𝑁𝐻) + 𝑃(𝑁𝑃) · 𝑃(𝐸𝑁 ⎸𝑁𝑃) + 𝑃(𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎) · 𝑃(𝐸𝑁 ⎸𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎) = 0.10 · 0.30 + 0.20 · 0.50 + 0.70 · 0.10 = 0.03 + 0.10 + 0.07 = 0.
I això ens permet afirmar que la probabilitat de trobar un llibre d’un escriptor nòrdic és del 20%.
Considerem en aquest cas una de les propietats d’aquestes operacions:
b) En aquest cas el nostre objectiu és el d’obtenir la probabilitat una novel·la històrica en el cas que haguem trobat un escriptor nòrdic: 𝑃(𝑁𝐻 ⎸𝐸𝑁)
I, per tant, haurem de considerar:
És a dir, que tenim un 15% de probabilitat de trobar una novel.la històrica en el cas que haguem trobat un escriptor nòrdic.
c) En aquest cas haurem de trobar la 𝑃(𝐸𝑅 ∩ 𝑁𝑃). Per a trobar-ho considerarem:
𝑃(𝐸𝑅 ∩ 𝑁𝑃) = 𝑃(𝐸𝑅 ⎸𝑁𝑃) · 𝑃(𝑁𝑃)
Sabem que P(NP) = 20% i 𝑃(𝐸𝑅|𝑁𝑃) = 50%.
I considerant aquests valors ja podem resoldre l’exercici:
𝑃(𝐸𝑅 ∩ 𝑁𝑃) = 0.50 · 0.20 = 0.
I, per tant, podem afirmar que hi ha un 10% de probabilitat.
