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PENDULO DE NEWTON
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
Escuela Académico profesional de Matemática, Facultad de Ciencias Matemáticas
Péndulo de Newton: Demostración Experimental de la Conservación de la Energía y Momento Lineal.
Docente: Bibiano Miramira Tipula. Grupo de investigación: Borja Ayala Bruno. cód.: 17140008 Quino Huerta Henrri. cód.: 17140023 Quiroz Llamoctanta Amberly. cód.: 17140004 Silva Cuadros Romildo. cód.: 17140130
Lima, noviembre de 2017
EPÍGRAFE
“Cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son ciertas; cuando son ciertas, no se refieren a la realidad” Albert Einstein.
AGRADECIMIENTO
Expresamos nuestro agradecimiento al profesor Percy Paz de la Facultad de ciencias Físicas por su apoyo en la investigación de nuestro trabajo.
ÍNDICE
Pág. EPÍGRAFE .................................................................................................................................. I
DEDICATORIA ........................................................................................................................ II
AGRADECIMIENTO.............................................................................................................. III
INTRODUCCIÓN .................................................................................................................. VII
HISTORIA ............................................................................................................................ VIII
OBJETIVOS ............................................................................................................................ IX
CAPÍTULO I ............................................................................................................................ 10
ENERGÍA ............................................................................................................................ 10 Energía cinética: ............................................................................................................... 10 Energía Potencial: ............................................................................................................ 11 Conservación de la energía de una partícula .................................................................... 12 MOMENTO LINEAL .......................................................................................................... 13 Principio de la conservación del momento lineal. ........................................................... 13 CHOQUES O COLISIONES ............................................................................................... 14 De acuerdo a la ubicación de su centro de respecto a la línea de choque ........................ 14 De acuerdo a la dirección de sus velocidades antes y después de la colisión. ................. 15 Da acuerdo al número de dimensiones en el análisis del movimiento. ........................... 15
CAPÍTULO II .......................................................................................................................... 21
- ETAPA 1.
- ETAPA 2.
- ETAPA 3.
- ETAPA 4.
- CAPÍTULO III
- CONSTRUCCIÓN DEL PÉNDULO
- Materiales:
- Proceso de elaboración:........................................................................................................
- CAPITULO IV
- ANÁLISIS EXPERIMENTAL
- Materiales:
- Procedimiento experimental.................................................................................................
- Contrastación de datos y variables.
- CONCLUSIONES
- BIBLIOGRAFÍA
- APÉNDICE
- APÉNICE
- ANEXO
- ANEXO
- ANEXO
INTRODUCCIÓN
El péndulo de Newton es un dispositivo de aspecto muy simple; y cuando se trata construcción, su diseño y montaje son triviales, pues está constituido generalmente por un conjunto de cinco esferas idénticas, colocados de tal modo que estén perfectamente alineadas, y suspendidas de dos marcos que están a una misma distancia por hilos de igual longitud e inclinación donde cada una de las bolas quedan alineadas y en contacto con las otras de forma simétrica. Pero mirando de cerca, se puede ver que este dispositivo retrata las leyes de la física. Este aparato opera claramente bajo las tres leyes de Newton y se extiende para cubrir las leyes de la conservación de la energía y del momento lineal. Un análisis en profundidad de este dispositivo podría cubrir fácilmente docenas de principios matemáticos y físicos; tomaría muchos libros para contener la información; sin embargo, el presente trabajo analizará principalmente los principios de conservación de la energía y momento lineal, enfocados en su relaciona con el péndulo de Newton. Coppola. M (2014). Recuperado de: https://www.academia.edu/31950301/pendulo-de-newton
OBJETIVOS
- Reconocer el principio de la conservación de la energía y momento lineal.
- Analizar el Péndulo de Newton como instrumento que permite demostrar un fenómeno físico.
- Demostrar mediante el Péndulo de Newton que la energía no se crea ni se destruye, solo se transforma.
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CAPÍTULO I
CONCEPTOS PREVIOS
ENERGÍA
Deriva del griego ἐνέργεια que significa eficacia, poder, actividad, operación, fuerza de acción o fuerza de trabajo. Es una propiedad o atributo de todo cuerpo o sistema material en virtud de la cual estos pueden transformarse modificando su situación o estado, así como actuar en otros originando en ellos procesos de transformación Propiedades de la energía: Se transmite: Puede pasar de un cuerpo al otro. Se almacena: Puede acumularse hasta que sea usada. Se transporta: Se puede llevar de un lugar a otro. Se transforma: Puede convertirse de unos tipos en otros. Todas las formas que toma la energía son diferentes expresiones de una misma magnitud.
Energía cinética: Es una forma de energía que depende del movimiento que posee un cuerpo con respecto a un sistema de referencia. Sabemos: 𝐹𝑇 = 𝑚𝑎𝑇 y 𝑎𝑇 = 𝑑𝑣𝑑𝑡, de donde obtenemos 𝐹𝑇 = 𝑚 𝑑𝑣𝑑𝑡. Multiplicando a cada miembro por 𝑑𝑠 resulta 𝐹𝑇(𝑑𝑠) = 𝑚 𝑑𝑣𝑑𝑡 (𝑑𝑠) = 𝑚𝑑𝑣 (𝑑𝑠𝑑𝑡), entonces 𝐹𝑇 (𝑑𝑠) = 𝑚𝑣𝑑𝑣. Tomando integrales
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La fuerza de la gravedad es una fuerza conservativa puesto que tenemos 𝑊 = ∫𝑎 𝑏𝐹 𝑑𝑟 y esto significa 𝑊 = ∫𝐴 𝐵 −𝑚𝑔𝑢̂𝑦𝑑𝑟= −𝑚𝑔𝑢̂𝑦(𝑟𝐴 − 𝑟𝐵) por lo que podemos expresar como 𝑊 = (0, −𝑚𝑔)(𝑥𝐴 − 𝑥𝐵, 𝑦𝐴 − 𝑦𝐵) seguidamente concluimos con la siguiente expresión 𝑊 = −𝑚𝑔(𝑦𝐴 − 𝑦𝐵) No hay referencia a la trayectoria. Solo hace referencia a la diferencia de posiciones.
La suma de la energía cinética y potencial recibe el nombre de ENERGÍA MECÁNICA que permanece constante. Si la energía potencial es cero, entonces la velocidad de la partícula es máxima. Si la energía cinética es cero, entonces se denominan punto de retorno y la energía potencial es máxima
Conservación de la energía de una partícula Cuando la fuerza que actúa sobre una partícula es conservativa entonces la energía total de una partícula es igual a la suma de su energía cinética y energía potencial. Matemáticamente sabemos que 𝑊 = 𝐸𝐾𝐵−𝐸𝐾𝐴 y 𝑊 = 𝐸𝑃𝐵−𝐸𝑃𝐴. Igualándolos tenemos 𝐸𝐾𝐵 − 𝐸𝐾𝐴 = 𝐸𝑃𝐴 − 𝐸𝑃𝐵, entonces (𝐸𝐾 + 𝐸𝑃)𝐵 = (𝐸𝐾 + 𝐸𝑃)𝐴 De donde (𝐸𝐾 + 𝐸𝑃) es la energía total E, esto es 𝐸 = 𝐸𝐾 + 𝐸𝑃 = 12 𝑚𝑣^2 + 𝐸𝑃(𝑥; 𝑦: 𝑧) y se muestra que cuando las fuerzas son conservativas la energía total E de la partícula se conserva y permanece constante. Esto significa 𝐸 = 𝐸𝐾 + 𝐸𝑃 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒.
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MOMENTO LINEAL
Es la capacidad de un cuerpo para transferir movimiento mecánico que depende de la masa y la velocidad, escalarmente la energía cinética mide esa capacidad pues se combina las ideas de inercia y movimiento. También obedece a un principio, la Ley de la conservación de la energía lo cual significa que la cantidad de movimiento total de todo sistema aislado no puede ser cambiada y permanece en el tiempo, esta cualidad no permite calcular y predecir lo que ocurrirá cuando los objetos que forman parte del sistema chocan unos contra otros, o también conociendo el resultado de una colisión podemos deducir cuál era el estado inicial de dicho sistema. Cuando se tenga un conjunto constituido por N partículas que se mueven en forma discreta, la cantidad de movimiento del sistema que expresada por la suma vectorial de la cantidad de movimiento de cada una de las partículas, es decir: 𝑝⃗𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = 𝑚 1 𝑣⃗ 1 + 𝑚 2 𝑣⃗⃗⃗⃗ 2 ⃗ + ⋯ + 𝑚𝑛−1𝑣⃗𝑛−1 + 𝑚𝑛𝑣⃗𝑛 𝑝⃗𝑠𝑖𝑠𝑡 = 𝑝⃗ 1 + ⋯ + 𝑝⃗𝑛 = ∑ 𝑝⃗𝑖
𝑛 𝑖= Podemos sintetizar que a partir de estos de estos conceptos se estudian y explican muchos fenómenos como por ejemplo los choques. Pero antes definamos el principio de conservación de momento lineal.
Principio de la conservación del momento lineal. La conservación del momento lineal es equivalente al principio de inercia, es decir, si las resultantes de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son nula; entonces su momento lineal es constante al igual que la velocidad, lo cual nos dice que la cantidad de movimiento antes y después van a ser iguales en tanto que no afecte fuerzas externas.
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Choque excentral: Los centros de masa no están en la línea de choque. Luego de la colisión los cuerpos realizan movimiento de traslación y rotación. De acuerdo a la dirección de sus velocidades antes y después de la colisión. Choque directo: Los centros de masa están en la línea de choque. La dirección de sus velocidades iniciales y finales se mantienen en la línea de choque. Choque indirecto: Los centros de masa están en direcciones distintas al de la línea de choque. Sus movimientos antes y después del choque siguen diferentes direcciones. Da acuerdo al número de dimensiones en el análisis del movimiento. Choque unidimensional: En esta parte se emplea el modelo de sistema aislado (cantidad de movimiento) para describir lo que ocurre cuando colisionan dos partículas. Las colisiones se caracterizan como elásticos o inelásticos , en función de si la energía cinética se conserva o no. Choque elástico: Una colisión elástica entre dos objetos es aquella donde la energía cinética total así como la cantidad de movimiento total del sistema es la misma antes y después de la colisión. Las colisiones entre ciertos objetos en el mundo macroscópico, como las bolas de billar, solo son aproximadamente elásticas porque tiene lugar alguna deformación y pérdida de energía cinética. Por ello, una colisión elástica debe ser perfectamente silenciosa, como por ejemplo, las que se dan entre partículas subatómicas.
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𝐸𝐾 : 12 𝑚𝑣𝑖1^2 + 12 𝑚𝑣𝑖2^2 = 12 𝑚𝑣𝑓1^2 + 12 𝑚𝑣𝑓2^2
Choque inelástico: En una colisión inelástica la energía total del sistema no es la misma antes ni después del choque (aun cuando la cantidad de movimiento del sistema se conserve). Esta colisión es de dos tipos: Inelástico: Es cuando en una colisión no se unen, pero parte de la energía cinética se transforma o transfiere. Estas colisiones se describen mediante el modelo de sistema aislado (cantidad de movimiento). Plástico o perfectamente inelástico: El término perfectamente inelástico no quiere decir que la energía cinética inicial de las partículas se pierda totalmente, sino más bien que la pérdida es tan grande como lo permita la conservación de la cantidad de movimiento. Por otro lado, también describe el modelo de sistema aislado.
Ilustración 1 (fuente: creación propia)
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Sobre B: 𝑚𝐵𝑉⃗⃗ + ∫ 𝐹⃗𝐴𝐵 𝑑𝑇 = 𝑚𝐵𝑉′⃗⃗⃗⃗ (^) 𝐵, luego 𝑚𝐵𝑉 + ∫ 𝐹𝐴𝐵 𝑑𝑇 = 𝑚𝐵𝑉′𝐵, despejando tenemos ∫ 𝐹𝐴𝐵 𝑑𝑇 = 𝑚𝐵𝑉′𝐵 − 𝑚𝐵𝑉^ (I de recuperación) Por conservación de 𝑃⃗⃗ se tiene que 𝑚𝐵𝑉⃗⃗𝐵 + ∫ 𝐹⃗𝐴𝐵 𝑑𝑇 = 𝑚𝐵𝑉⃗⃗ , luego 𝑚𝐵𝑉𝐵 + ∫ 𝐹𝐴𝐵 𝑑𝑇 = 𝑚𝐵𝑉 despejando tenemos (^) ∫ 𝐹𝐴𝐵 𝑑𝑇 = 𝑚𝐵𝑉 − 𝑚𝐵𝑉𝐵 (I de deformación)
Ahora 𝑒 = 𝐼 𝐼𝐷𝑅 = 𝑚𝑚𝐵𝐵𝑉′𝑉−𝑚𝐵−𝑚𝐵𝐵𝑉𝐵𝑉 = 𝑉′𝑉−𝑉𝐵−𝑉𝐵 (1)
Sobre A: 𝑚𝐴𝑉⃗⃗ + ∫ 𝐹⃗𝐵𝐴 𝑑𝑇 = 𝑚𝐴𝑉′⃗⃗⃗⃗𝐴, luego 𝑚𝐴𝑉 − ∫ 𝐹𝐵𝐴 𝑑𝑇 = 𝑚𝐴𝑉′𝐴, despejando tenemos ∫ 𝐹𝐵𝐴 𝑑𝑇 = 𝑚𝐴𝑉 − 𝑚𝐴𝑉′𝐴 (I de recuperación) Por conservación de 𝑃⃗⃗ se tiene que 𝑚𝐴𝑉⃗⃗𝐴 + ∫ 𝐹⃗𝐵𝐴 𝑑𝑇 = 𝑚𝐴𝑉⃗⃗ , luego 𝑚𝐴𝑉𝐴 − ∫ 𝐹𝐵𝐴 𝑑𝑇 = 𝑚𝐴𝑉 despejando tenemos ∫ 𝐹𝐵𝐴 𝑑𝑇 = 𝑚𝐴𝑉𝐴 − 𝑚𝐴𝑉 (I d deformación)
Ahora 𝑒 = 𝐼 𝐼𝐷𝑅 = 𝑚 𝑚𝐴𝐴𝑉−𝑚𝑉𝐴−𝑚𝐴𝑉′𝐴𝑉𝐴 = 𝑉−𝑉′ 𝑉𝐴−𝑉𝐴 (2)
De (1) y (2) se cumple 𝑒 = 𝑉′𝑉−𝑉𝐵−𝑉𝐵 = 𝑉−𝑉′ 𝑉𝐴−𝑉𝐴 = 𝑉′ 𝑉𝐵𝐴−𝑉′−𝑉𝐵𝐴 , por lo que definimos al
coeficiente de restitución como 𝑒 = 𝑉′ 𝑉𝐵𝐴−𝑉′−𝑉𝐵𝐴 y se le clasifica como sigue.
Choque elástico: 𝑒 = 1 𝑦 𝑄 = 0 Choque inelástico: 0 < 𝑒 < 1 𝑦 𝑄 ≠ 0 Choque perfectamente inelástico: 𝑒 = 0 𝑦 𝑄 ≠ 0 De lo cual se concluye que en un sistema unidimensional, el coeficiente de restitución varía: 0 ≤ 𝑒 ≤ 1
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Choque bidimensional: Si una partícula de masa 𝑚 1 que se mueve con una determinada velocidad inicial 𝑈̅ 1 , choca de costado con otro de masa 𝑚 2 inicialmente en reposo (no tiene que estar necesariamente en reposo, pero en este caso considerémosla en ese estado), el movimiento final será bidimensional, por lo que se considera un choque en dos dimensiones, ya que las partículas se desvían cierto ángulo y sus direcciones son alteradas; sin embargo, el momentum lineal se mantiene tanto como en el eje coordenados.
Ilustración 4 (fuente: creación propia)
