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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CELAYA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
PRÁCTICA No. 6
“CONTINUIDAD”
COMPETENCIA
Identifica la continuidad de las funciones aplicando el concepto de límite y empleando el software GeoGebra
MARCO TEÓRICO
CONTINUIDAD.
En el lenguaje coloquial, decir que un proceso es “continuo” equivale a decir que transcurre sin interrupción y sin
cambios abruptos. En el lenguaje matemático, la palabra “continuo” tiene el mismo significado.
Continuidad en un punto
La idea básica es la siguiente: supongamos, dada una función 𝑓 y un número 𝑐 , se calculan los valores 𝑙í𝑚
𝑥→𝑐
y
, y se comparan los resultados. La función 𝑓 es continua en 𝑐 si estos dos valores coinciden. La siguiente definición es
un enunciado formal de esta idea.
Definición
Sea 𝑓 una función definida al menos en un intervalo abierto de la forma (𝑐 − 𝑝, 𝑐 + 𝑝) con 𝑝 > 0. Diremos que 𝑓
es continua en 𝑐 si
𝑙 í 𝑚
𝑥→𝑐
Se dice que la función 𝑓 es discontinua en 𝑐 si no es continua en ese punto.
La definición anterior requiere implícitamente que se cumplan tres condiciones
- 𝑓(𝑐) está definido (𝑐 está en el dominio de 𝑓)
- 𝑙 í 𝑚
𝑥→𝑐
existe
- 𝑙 í 𝑚
𝑥→𝑐
CONTINUIDAD LATERAL.
Una función es continua por la izquierda en 𝑐 si 𝑙í𝑚
𝑥→𝑐
−
y es continua por la derecha si 𝑙í𝑚
𝑥→𝑐
Es evidente que una función 𝑓 es continua en 𝑐 si es continua en 𝑐 por ambos lados.
CONTINUIDAD EN UN INTERVALO.
Una función 𝑓 es continua sobre un intervalo abierto (𝑎, 𝑏) si es continua en todo número en el intervalo, y
Es continua en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏],si es continua en (𝑎, 𝑏) y además en los puntos extremos del intervalo
𝑙í𝑚
𝑥→𝑐
−
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐) y 𝑙 í 𝑚
𝑥→𝑐
En general si 𝑓 y 𝑔 son funciones continuas en 𝑐 entonces:
i) 𝑓 + 𝑔 es continua en 𝑐.
ii) 𝛼𝑓 es continua en 𝑐 para todo 𝛼 real.
iii) 𝑓𝑔 es continua en 𝑐.
iv) 𝑓/𝑔 es continua en 𝑐 siempre que 𝑔(𝑐) ≠ 0.
TIPOS DE DISCONTINUIDADES.
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a) Discontinuidad evitable en 𝑐: la discontinuidad puede eliminarse cambiando la definición de 𝑓 en 𝑐. Si el límite es
𝐿, el valor que debemos asignar a 𝑓 en 𝑐 es precisamente 𝐿.
Ejemplo 1. Determinar si la función 𝑓(𝑥) =
𝑥
2
− 9
𝑥− 3
es continua en 𝑥 = 3.
Se observa que 𝑓( 3 ) no está definida por lo tanto la función es discontinua en 𝑥 = 2
Al graficar 𝑓
𝑥
2
− 9
𝑥− 3
en GeoGebra visualizará la gráfica presentada en la figura 1 a), la cuál aparentemente
es continua en 𝑥 = 2 , lo cual es un error. Las graficadoras y software matemático no representan visualmente
las discontinuidades evitables, por lo que hay que poner especial cuidado en este aspecto.
a) b)
Figura 1. Gráfica de 𝑓(𝑥) =
𝑥
2
− 9
𝑥− 3
El grafico correcto se presenta en la figura 1b, donde la ruptura (discontinuidad) del grafico se representa
agregando con un circulo hueco.
Para “evitar” la discontinuidad se calcula el límite y se define la función en 𝑓( 3 ) = 𝐿
𝑙 í 𝑚
𝑥→ 3
−
2
= 𝑙 í 𝑚
𝑥→ 3
−
= 𝑙 í 𝑚
𝑥→ 3
−
𝑙 í 𝑚
𝑥→ 3
2
= 𝑙 í 𝑚
𝑥→ 3
= 𝑙 í 𝑚
𝑥→ 3
𝑙 í 𝑚
𝑥→ 3
−
2
= 𝑙 í 𝑚
𝑥→ 3
2
Por lo tanto 𝑓( 3 ) = 6 y la función quedará expresada como 𝑓(𝑥) = {
𝑥
2
− 9
𝑥− 3
y su grafico
correspondiente se muestra en la figura 2.
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c) Discontinuidad infinita: Son funciones que dejan de ser continúa en 𝑐 debido a que al menos uno de los límites
laterales 𝑙í𝑚
𝑥→𝑐
−
o 𝑙í𝑚
𝑥→𝑐
no existe, es decir 𝑓
→ ∞ o 𝑓
→ −∞ cuando 𝑥 tiende a 𝑐 por la izquierda o
por la derecha.
Ejemplo 3. La función 𝑓(𝑥) =
1
𝑥− 5
no es continua debido a que
𝑙í𝑚
𝑥→ 5
−
= 𝑙í𝑚
𝑥→ 5
−
1
𝑥− 5
= −∞ o no existe y 𝑙 í 𝑚
𝑥→ 5
= 𝑙 í 𝑚
𝑥→ 5
1
𝑥− 5
= ∞ o no existe.
En la gráfica de la función 𝑓(𝑥) =
1
𝑥− 5
(figura 4) se observa como la función crece y decrece infinitamente por la
derecha e izquierda respectivamente.
Figura 4. Grafica de 𝑓(𝑥) =
1
𝑥− 5
DESARROLLO
CONTINUIDAD
MATERIAL O EQUIPO : Computadora con software
requerido instalado
SOFTWARE : GeoGebra
INSTRUCCIONES :
Graficar la función y determinar visualmente lo que se te pide.
GeoGebra proporciona varias herramientas para fundamentar el análisis visual. En caso de que visualmente
sea posible verificar los valores para la función para todo su dominio, utilice los siguientes comandos para
determinar valores en puntos específicos:
Para la identificación del límite exacto en un valor específico: límite[ <Función>, <Valor numérico> ]
Para la identificación del límite por la izquierda a un valor: LímiteIzquierda[ <Función>, ]
Para la identificación del límite por la derecha a un valor: LímiteDerecha[ <Función>, ]
Ejemplo: Límite[𝑥
2
, 2 ]
Calcular el límite de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥
2
en el valor de 𝑥 = 2 , lo cual arrojará como resultado el valor de 4,
este resultado se visualizará en la ventana de vista algebraica en objeto dependiente.
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- También se puede realizar el análisis de la gráfica de la función, esto se puede hacer con un punto móvil
sobre la gráfica utilizando la herramienta deslizador , para ello primero crea un deslizador y nómbralo
“𝑐”. Se recomienda colocar el deslizador en un punto alejado de la gráfica a fin de que no perjudique su
visualización.
Para lograr la correspondencia del deslizador con un punto en la gráfica, en la barra de Entrada escribe:
(𝑐, 𝑓(𝑐)) y presiona la tecla Enter. Automáticamente aparecerá un punto A sobre la gráfica en el valor de 𝑥
indicado en el deslizador.
- Mueva el deslizador “c” de izquierda a derecha , incrementando los valores. El punto sobre la gráfica se
desplazará y podrá observar cuando la función crece o decrece.
- Otra forma de brindar valores más cercanos al límite que se busca es utilizando la herramienta Inspección
de función que se encuentra en el menú de texto , al dar clic sobre el ícono se verá la ventana
mostrada en la figura 5.
Figura 5. Herramienta inspección de función.
- La ventana aparecerá ubicada en la pestaña intervalo ( figura 6), para obtener valores específicos de 𝑥
evaluados en la función, abre la pestaña punto.
Figura 6.
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Solución.
Se introduce en la barra de herramientas de GeoGebra de la siguiente forma
Se llama anidado ya que en el tercer argumento de la condición: Si[ <Condición>, , ], se emplea
nuevamente el comando: Si[ <Condición>, , ] para poder cumplir con las tres condiciones. En la
figura 14 se muestra la función a trozos que se obtiene.
Figura 14. Grafica de la función definida a trozos: 𝑓(𝑥) = {
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REPORTE
NOMBRE DE LA PRÁCTICA:
PRÁCTICA No. 6
Continuidad
DATOS GENERALES:
NOMBRE:
GRUPO/ESPECIALIDAD: FECHA DE ENTREGA:
PERIODO:
AGOSTO-DICIEMBRE- 2016
CALIFICACIÓN:
LISTA DE VALORES PARA EL REPORTE DE LA PRÁCTICA
NOTA:
Para que el reporte sea revisado y se otorgue la puntuación convenida, es necesario que cumpla con las siguientes características:
El reporte debe ser entregado engrapado o en folder (no entregar hojas sueltas). Cumple No cumple
Demuestra compromiso ético en la realización del reporte (en caso que los ejercicios
resulten fotocopiados o con los mismos errores cometidos por otros compañeros
serán anulados).
Cumple No Cumple
ASPECTOS A EVALUAR PUNTUACIÓN
MÁXIMA
PUNTUACIÓN
OBTENIDA
OBSERVACIONES
Entrega el reporte en tiempo y forma.
5
Cumple con las indicaciones respecto al
orden, limpieza (sin manchones o
tachaduras) y letra legible para el reporte.
5
Hace uso correcto del software de forma que
la presentación y visualización de sus
gráficos es fácil de entender.
10
Identifica y aplica los conceptos revisados en
clase para dar respuesta a los ejercicios
propuestos, utilizando la simbología
matemática correcta.
30
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Condición 3 𝑙𝑖𝑚
𝑥→− 7
TIENE DISCONTINUIDAD INFINITA
Tipo de
discontinuidad
DISCONTINUIDAD POR INFINITO
b) En 𝑥 = − 4
CONDICION EVALUACIÓN CONCLUSIÓN
Condición 1
𝑓(− 4 ) = 𝟏 ESTÁ DDEFINIDO
Condición 2
𝑙 í 𝑚
𝑥→− 4
−
𝑙 í 𝑚
𝑥→− 4
EXISTE
Condición 3
𝑥→− 4
EXISTE
ES CONTINUA
Tipo de
discontinuidad
LA FUNCIÓN ES CONTINUA
c) En 𝑥 = 0
CONDICION EVALUACIÓN CONCLUSIÓN
Condición 1
ESTÁ DEFINIDO
Condición 2
𝑙 í 𝑚
𝑥→ 0
−
𝑙 í 𝑚
𝑥→ 0
NO EXISTE
Condición 3
𝑥→ 0
NO ES CONTINUA
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Tipo de
discontinuidad
DISCONTINUIDAD POR SALTO
d) En 𝑥 = 3
CONDICION EVALUACIÓN CONCLUSIÓN
Condición 1
𝑓( 3 ) = 𝟏 ESTÁ DEFINIDO
Condición 2
𝑙 í 𝑚
𝑥→ 3
−
𝑙 í 𝑚
𝑥→ 3
EXISTE
Condición 3
𝑥→ 3
EXISTE
EXISTE
Tipo de
discontinuidad
LA FUNCIÓN ES CONTINUA
e) En 𝑥 = 4
CONDICION EVALUACIÓN CONCLUSIÓN
Condición 1
ESTÁ DEFINIDO
Condición 2
𝑙 í 𝑚
𝑥→ 4
−
𝑙 í 𝑚
𝑥→ 4
NO EXISTE AL SER DIFERENTES LLOS
RESULTADOS CORRESPONDIENTES A LOS
LÍMITES LATERALES
Condición 3
𝑥→ 4
NO EXISTE
Tipo de
discontinuidad
DISCONTINUIDAD REMOVIBLE
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f) Escriba el dominio de la función en notación de intervalo:
[
[
g) Escriba el rango de la función:
[
EJERCICIO No. 3
a) Para la función 𝑔(𝑥) determine los valores A, B, C y D para que la función sea continua en todo su dominio.
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PROBLEMA No. 1
Si una esfera hueca de radio 1 cm se carga con una unidad de electricidad estática, entonces la intensidad del campo 𝐸
en el punto 𝑃 situado a 𝑥 unidades del centro de la esfera satisface el modelo:
2
2
a) ¿Es continua la función 𝐸(𝑥) para 𝑥 > 0? (𝑆𝑖) (𝑁𝑜)
b) Aplique el criterio de continuidad para justificar su respuesta.
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c) Si la función es discontinua ¿qué tipo de discontinuidad presenta?
PRESENTA UNA DISCONTIUNUIDAD POR SALTO.
d) Con el programa GeoGebra dibuje su función y péguela en la parte de abajo.
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c) ¿Qué tipo de discontinuidad presenta la función? Discontinuidad evitable
d) A partir de la gráfica de la función determine el dominio de la función en notación de conjunto: ( 0 , ∞)
e) Quite la discontinuidad y determina el espesor que tiene la fuente.
GUÍA DE PREGUNTAS
- Indique el tipo de funciones que son continuas de en el intervalo (− ∞ , ∞ ).
Los tipos de funciones continuas son las funciones trigonometricas, las funciones racianels, las funciones
exponenciales, funciones logaritmicas y las funciones polinomicas son funciones continuas en todo R, desde
menos infinito hasta infinito.
- Si 𝑓 es continua en 𝑥 = 1 , 𝑓( 1 ) = 7 y 𝑙í𝑚
𝑥→ 1
𝑔(𝑥) = 9 ,entonces 𝑙 í 𝑚
𝑥→ 1
[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] = ___________ressultado es
igual a (-2)
- De acuerdo con lo observado en la práctica, los puntos de discontinuidad se presentan cuando:
La funcion presenta discontinuidad si existe limite en el punto, y con eso rompe la continuidad de la funcion y es
como se puede observar que ocurre discontinuidad por salto o tambien por que la funcion no esta definida.
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- La función 𝑓(𝑥) presenta una asíntota vertical en 𝑥 = 𝑐 por lo que se puede afirmar que es una función de
tipo funciones racionales con una discontinuidad en _(X) cuyo dominio en ℝ se expresa como:__Df= R -
( el valor de la asintota vertical)_el dominio son todos los reales menos el valor de la asintota vertical. __
- Si 𝑓 es continua en un número 𝑎 y 𝑙í𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 5 entonces 𝑓(𝑎) = ________f(a)= X
MANUAL DE PRÁCTICAS DE CÁLCULO DIFERENCIAL
Elaborado por: Ing. Ana María Palma Tirado y M.C. Gloria Reyna Gómez Páez
Revisado por: Dra. María Teresa Villalón Guzmán, M.C. Ma. Guadalupe Medina Torres, M.C. Ma. Del Carmen Cornejo
Serrano y M.C. Eloisa Bernardette Villalobos Oliver.
