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Escuela: CENS Juan de Garay.
Docente: Sánchez, Viviana Edith.
Año: 2° Divisiones: 1° y 2°
Nivel: Secundario para adultos.
Turno: Noche.
Área Curricular: Matemática.
Guía N°: 10
Título: Polinomios. Operaciones. Regla de Ruffini. Teorema del resto.
Hasta el momento, hemos sumado, restado y multiplicado polinomios. En la presente Guía dividiremos polinomios y trabajaremos con dos resultados muy importantes, a saber, la Regla de Ruffini y el Teorema del Resto. ¡Manos a la obra!
DIVISIÓN DE POLINOMIOS:
Comenzaremos por recordar las partes de la división :
Como así también el algoritmo de la división:
Al momento de dividir polinomios se deben dar previamente las siguientes condiciones:
El grado del polinomio dividendo debe ser mayor o igual que el grado del polinomio divisor. El polinomio dividendo debe estar completo y ordenado en forma decreciente.
El polinomio divisor debe estar ordenado en forma decreciente.
Se pueden presentar los siguientes casos:
División de monomios: En este caso simplemente se dividen los coeficientes (números), se aplica regla de los signos y propiedad “cociente o división de potencias de igual base:
𝐱𝐦: 𝐱𝐧^ = 𝐱𝐦−𝐧^ ” en la parte literal.
Veamos un ejemplo:
−64 x^3 : 8 x^2 = (−64 ∶ 8) x3−2^ = −𝟖 𝐱
También lo puedes encontrar escrito de la siguiente manera: −64 x
3
8 x^2 = −8x
División entre un polinomio y un monomio: Para dividir un polinomio por un monomio, se aplica la propiedad distributiva de la división respecto de la suma o la resta:
En este caso, si P(x)^ es un polinomio el cual se desea dividir en un monomio Q(x),
debemos dividir cada término de P(x)^ en Q(x). Esto es, se divide cada coeficiente de
cada término de P(x) en el coeficiente de Q(x), aplicando regla de los signos y
propiedad “cociente de potencias de igual base” en la parte literal.
Veamos un ejemplo: Sean P(x) = 10x^3 − 5x^2 + 15x y Q(x) = 5x
10x^3 − 5x^2 + 15x
5x =
10x^3
5x −
5x^2
5x +
15x
5x = 𝟐𝐱
División entre polinomios: Para dividir dos polinomios, veremos el paso a paso en el siguiente ejemplo: Sean P(x) = x^4 − 2x^3 − 11x^2 + 30x − 20 y Q(x) = x^2 + 3x − 2, calculemos P(x) ∶ Q(x)
Colocamos los polinomios igual que en la división de números
Se divide el primer monomio del dividendo por el primer monomio del divisor. El resultado se pone en el cociente
- Se multiplica por 6 el divisor y el producto obtenido se resta del dividendo:
(x^2 + 3x − 2) ∙ 6 = 6x^2 + 18x − 12 , nuevamente consideramos el opuesto:
−6x^2 − 18x + 12 y sumamos
Como 2x no se puede dividir por x^2 , la división se ha terminado. Así obtenemos el
polinomio cociente (resultado): C(x) = x^2 − 5x + 6 y el polinomio resto
Cada vez que realices una división, puede utilizar el algoritmo de la división para comprobar si el resultado obtenido es correcto.
Ejercicio 1: Resuelve las siguientes divisiones
a) 72x^4 ∶ 9x =
b) −165x^10 ∶ 5x^8 =
c) (4x^6 + 2x^5 − 2x^4 ) ∶ 2x^2 =
d) (2x^6 + 10x^4 − 3x^3 + 2x^2 − 6) ∶ 2x^5 =
e) (x^4 − x^2 + x + 17) ∶ (x + 4) =
f) (2x^3 − 9x^2 + 4x + 10) ∶ (2x − 5) =
REGLA DE RUFFINI:
Para calcular los coeficientes (números) del cociente de una división de un polinomio, por otro de la forma 𝐱 + 𝐚 se adopta una disposición práctica conocida con el nombre de “Regla de Ruffini”.
Es importante tener presente que: x − a = x + (−a) Veamos en qué consiste, con un ejemplo: Dados los polinomios P(x) = 3x^4 − 4x^2 + 8 y Q(x) = x + 2. Calculemos P(x) ∶ Q(x)^ aplicando la Regla de Ruffini. Para ello debemos:
- Completar y ordenar el polinomio dividendo.
- Escribimos, en la primera fila, los coeficientes del polinomio dividendo.
- En la segunda fila a la izquierda, se escribe el opuesto de 𝐚 que es – 𝟐, en este caso.
- En la tercera fila se escriben los coeficientes que se van obteniendo de la siguiente manera: El primer coeficiente de la tercera fila se repite tal y como está en la primera, es decir 3. Calculamos (−2) ∙ 3 = −6, luego anotamos en la segunda fila −6 debajo de 0 y sumamos −6 + 0 = −𝟔. Ahora multiplicamos dicho resultado por −2, esto es, (−2) ∙ (−6) = 12. Lo anotamos debajo de 4 y sumamos −4 + 12 = 𝟖. Calculamos (−2) ∙ 8 = −16, anotamos debajo de 0 y sumamos 0 − 16 = −𝟏𝟔. Calculamos (−2) ∙ (−16) = 32, anotamos debajo de 8 y sumamos, finalmente obtenemos 𝟒𝟎.
RESTO
- Ya estamos en condiciones de proporcionar el cociente y el resto de dicha división.
R(x) = 40 es el resto y C(x) = 3x^3 − 6x^2 + 8x − 16 es el cociente que se construye
con un grado menor , respecto al grado del dividendo, y con los coeficientes obtenidos en la tercera fila, excepto el último que es el resto.
Ejercicio 2: Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones aplicando Regla de Ruffini
a) (4x^3 + 5x^2 − x + 12) ∶ (x + 2) =
b) (4x^3 + 5x^2 − x + 12) ∶ (x − 2) =
