Pr`actica 20, GDC-Grup A, 06/07
Superf´ıcies de revoluci´o amb curvatura de Gauss o curvatura mitjana nul·la
Considerem la parametritzaci´o
−→
x(u, v) = (cos(u)m(v),sin(u)m(v), n(v)) , u ∈]0,2π[, v ∈I.
on la corba generatriu de la superf´ıcie de revoluci´o α(s) = (m(s),0, n(s)) est`a para-
metritzada per la seua longitud d’arc, ´es a dir, es verifica la seg¨uent relaci´o:
(1) (m0)2+ (n0)2= 1.
L’objectiu de la pr`actica ´es determinar quines s´on les ´uniques superf´ıcies de revoluci´o
que tenen, b´e la curvatura de Gauss, b´e la curvatura mitjana, nul·la.
(1) Comencem amb la curvatura de Gauss. Demostra que la curvatura de Gauss d’una
superf´ıcie de revoluci´o amb corba generatriu parametritzada per la seua longitud
d’arc est`a donada per
K=−m00
m.
(Ajuda: Derivant la condici´o (1) s’arriba a una expressi´o que permet simplificar
el resultat que inicialment s’obt´e aplicant-hi la f´ormula usual per a calcular Ki
que ja vam calcular en la pr`actica 19.)
(2) Demostra que el pla, el cilindre circular recte i el con circular recte s´on les ´uniques
superf´ıcies de revoluci´o de curvatura de Gauss nul·la.
Continuem amb la curvatura mitjana. L’objectiu ara ´es demostrar que l’´unica
superf´ıcie de revoluci´o no plana amb curvatura mitjana nul·la ´es el catenoide.
(3) Demostra que, amb les mateixes condicions, la curvatura mitjana est`a donada per
H=−1
2µn0
m+n00
m0¶.
(Ajuda: Tamb´e es fa servir el mateix que en l’apartat 1, comen¸cant ara des de
la f´ormula per a Hque vam calcular en la pr`actica anterior.)
(4) Demostra que si H= 0 aleshores (mm0)0= 1.
(5) Integra l’equaci´o anterior.
(6) Tenint-hi en compte la soluci´o anterior, demostra que
n0(s) = c2
p(s+c1)2+c2
2
i per tant, si c26= 0, n(s) = c2argsinh( s+c1
c2)+c3,i aix´ı ja tenim la corba que genera
la superf´ıcie de revoluci´o amb curvatura mitjana nul·la. α(s) = (m(s), n(s)) =
(p(s+c1)2+c2
2, c2argsinh(s+c1
c2) + c3).
Qu`e passa si c2= 0? Quina ´es la superf´ıcie de revoluci´o aleshores?
(7) Ara nom´es cal fer un canvi de variable en la corba. Calcula
β(t) = α(c2sinh( t
c2
)−c1).
Quina ´es, per tant, la corba generatriu? Quina ´es la superf´ıcie de revoluci´o?
1