Pr`actica 5, GDC-Grup A, 07/08
Curvatura i torsi´o. La corba de Viviani
Un problema que apareix en arquitectura ´es la determinaci´o de la intersecci´o de dues
superf´ıcies, per exemple, entre una c´upula esf`erica i una b`oveda de can´o que no ´es altra
cosa que una superf´ıcie cil´ındrica. Doncs b´e, aquesta intersecci´o t´e un nom, ´es diu corba
de Viviani, i ´es la que estudiarem en aquesta pr`actica.
(1) Siga S2l’esfera centrada en l’origen i de radi 2 (x2+y2+z2= 4) i siga Cel cilindre
paral·lel a l’eix z, centrat en el punt (1,0,0) i de radi 1 ((x−1)2+y2= 1). Anem
a trobar una parametritzaci´o d’aquesta corba. Fixeu-vos primer que la projecci´o
de la corba en el pla xy ´es una circumfer`encia, per tant podem parametritzar
aquesta circumfer`encia en la forma usual. Ara nom´es queda determinar la tercera
coordenada de la parametritzaci´o de la corba de Viviani.
(Resp.: α(t) = (1 + cos(t),sin(t),2 sin( t
2)).)
-2
-1
0
1
2-2
-1
0
1
2
0
0.5
1
1.5
2
-2
-1
0
1
2
(2) En la figura nom´es apareix l’hemisferi superior de l’esfera. Si considerem tota
l’esfera la corba de Viviani t´e la forma d’un vuit que reposa sobre la superf´ıcie.
Considerem per tant que t∈[0,4π]. Comprova si ´es o no una corba tancada,
simple i regular.
(3) Calcula la curvatura i comprova si ´es o no una corba 2-regular.
(Resp. κ=(13+3 cos(t)) 1
2
(3+cos(t)) 3
2
.)
(4) Calcula la torsi´o. (Resp. τ=−6 cos( t
2)
13+3 cos(t).)
(5) Calcula el triedre de Frenet.
(6) Quines s´on les rectes tangent, normal i binormal en el punt α(2π).
(7) ´
Idem en el punt α(π).
(8) Quins s´on els plans osculador, normal i rectificant en el punt α(2π).
(9) ´
Idem en el punt α(π).
1
